> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Средняя линия треугольника \- разбор темы ОГЭ по математике На этой странице представлен актуальный материал по теме **«Средняя линия треугольника» для подготовки к ОГЭ по математике за 9 класс**\. Сначала подробно разберем теорию, а затем вы сможете отработать теорию на тренажёрах, составленных по заданиям из открытого банка заданий ФИПИ\. Средняя линия треугольника — одна из самых частых тем в 15 задании ОГЭ по математике\. Знание её свойств позволяет за решить задачи в первой и второй части и набрать необходимые для сдачи экзамена баллы\. Так же в ОГЭ по математике средняя линия встречается во второй части, в качестве элемента решения задач\. ## Средняя линия треугольника \- вся теория для ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika). Все задачи на ОГЭ связанные со средней линией треугольника можно решить с использованием всего одной теоремы и четырех главных свойств\. Ниже разберем каждое из них \- ваша задача их запомнить и записать\. ### Определение и ключевая теорема **Средняя линия треугольника** \- отрезок, который соединяет между собой середины двух любых его сторон\.  #### Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника обладает двумя важнейшими свойствами: 1\. Она **параллельна** стороне, с которой не имеет общих точек \(основанию\): $KL \parallel AC$\. 2\. Ее длина **равна половине** длины этой стороны: $KL = \dfrac{AC}{2}$\. **Доказательство:** 1\) В $\triangle ABC$ проведем среднюю линию $KL$ \($K \in AB, L \in BC$\)\. Рассмотрев вершину $B$, сравним малый треугольник $\triangle KBL$ и исходный $\triangle ABC$\. 2\) Так как $K$ и $L$ — середины сторон, получаем равенство отношений: $$ \dfrac{BK}{BA} = \dfrac{BL}{BC} = \dfrac{1}{2} $$ 3\) Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников\. Следовательно, треугольники $\triangle KBL$ и $\triangle ABC$ подобны по двум сторонам и углу между ними \($\triangle KBL \sim \triangle ABC$\)\. 4\) Из подобия треугольников следуют два вывода: • Равенство соответственных углов $\angle BKL = \angle BAC$\. Поскольку они являются соответственными при прямых $KL, AC$ и секущей $AB$, то $KL \parallel AC$\. • Отношение оставшихся сторон равно коэффициенту подобия: $\dfrac{KL}{AC} = \dfrac{1}{2} \implies KL = \dfrac{1}{2}AC$\. ### Главные свойства средней линии для сдачи ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika). Чтобы успешно выполнять геометрический блок на экзамене, запомните четыре свойства: #### 1\. **Подобие малого и большого треугольников:** Средняя линия всегда отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом $k = \dfrac{1}{2}$\. #### 2\. **Периметр малого треугольника:** Периметр отсечённого треугольника ровно в $2$ раза меньше периметра первоначального треугольника \($P_{\text{мелк}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{исходн}}$\)\. #### 3\. **Отношение площадей:** Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия \($k^2 = \dfrac{1}{4}$\)\. Поэтому **площадь отсекаемого треугольника составляет четвертую часть от площади всего треугольника**: $$ S_{\text{отсеч}}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle ABC} $$ #### 4\. **Связь средней линии трапеции и треугольника:** При проведении средней линии в треугольнике образуются отсечённый треугольник и **трапеция**\. Площадь этой трапеции всегда составляет $\dfrac{3}{4}$ от площади исходного треугольника\. #### Полезный лайфхак для 15 задания ОГЭ по математике\! Если в задании ОГЭ дан треугольник со средней линией и известна его площадь, запомните простое соотношение: Площадь разбивается в отношении $1 : 3$ \($1$ часть — на верхний треугольник, $3$ части — на нижнюю трапецию\)\. Это помогает моментально устно найти среднюю линию или площадь в ОГЭ по математике\! ### Алгоритм решения задач со средней линией на ОГЭ При решении задач на треугольник со средней линией, или если вам нужно найти среднюю линию на ОГЭ используйте данный алгоритм: **Найдите параллельное основание:** определите, к какой именно стороне треугольника проведена средняя линия\. **Определите тип величины:** \- Для длин сторон, медиан или периметра применяйте деление или умножение на $2$\. \- Для площадей используйте деление или умножение на $4$\. **Запишите ответ:** перепроверьте условия и перенесите полученный результат в бланк ответов ОГЭ\. ### Разбор 15 заданий ОГЭ по математике на среднюю линию треугольника Рассмотрите решения типовых задач на среднюю линию треугольника из банка ФИПИ ОГЭ\. **Задание:** Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно\. Отрезок $AB = 21$, сторона $BC = 28$, а сторона $AC = 36$\. Найдите длину средней линии $MN$\. **Подробное решение:** 1\) По условию задачи $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$\. Значит, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$\. 2\) Средняя линия треугольника параллельна той стороне, с которой не имеет общих точек, и равна её половине\. Отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$\. 3\) Вычислим длину средней линии $MN$: $MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$\. *\(Значения сторон *$AB$* и *$BC$* в задаче являются избыточными данными\)\.* **Ответ:** $18$\. **Задание:** Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, проходит через середину стороны $AB$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$\. Площадь треугольника $ABC$ равна $76$\. Найдите площадь треугольника $MBK$\. **Подробное решение:** 1\) Так как прямая проходит через середину $AB$ и параллельна $AC$, по теореме Фалеса она делит сторону $BC$ пополам\. Значит, отрезок $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$\. 2\) Треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{1}{2}$\. 3\) Площади подобных треугольников относятся как $k^2 = \dfrac{1}{4}$\. $S_{\triangle MBK} = \dfrac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \dfrac{76}{4} = 19$\. **Ответ:** $19$\. ## Тренажёры по теме «Средняя линия треугольника» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika). Закрепите теорию и отработайте навыки решения геометрических задач на практике с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров образовательной платформы **Экзамео**\. Все задания и проверочные тесты по теме **«Средняя линия треугольника в ОГЭ по математике»** составлены строго на основе открытого банка заданий ФИПИ и соответствуют демоверсиям экзамена в 9 класс --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/srednyaya-liniya-treugolnika).