Целые и дробно-рациональные уравнения - разбор 20 задания ОГЭ по математике

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Целые и дробно-рациональные уравнения» для успешного выполнения Задания №20 ОГЭ по математике. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь выпускникам 9 класса освоить методы решения сложных уравнений второй части, научиться правильно учитывать ОДЗ, применять замену переменной и разложение на множители, а также безошибочно оформлять решение для получения максимальных 2 баллов на экзамене.

Задание №20 — это первое задание с развёрнутым ответом в ОГЭ по математике. Уравнения в этом номере требуют глубокого понимания алгебраических преобразований. Здесь проверяется не только умение находить корни, но и строгость математического обоснования и учет области допустимых значений (ОДЗ).

Понятие целых и дробно-рациональных уравнений — Задание 20 ОГЭ

Рациональным уравнением называют уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями.

• Целое рациональное уравнение: не содержит деления на выражение с переменной в знаменателе (например, биквадратные уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ или уравнения высокой степени). ОДЗ — все действительные числа ( $x \in \mathbb{R}$ ).

• Дробно-рациональное уравнение: содержит переменную в знаменателе хотя бы одной из дробей. Обязательным шагом решения является учёт ОДЗ (знаменатель не равен нулю!).

Критерии проверки ФИПИ (2 балла):

• 2 балла: Ход решения верный, все шаги обоснованы, учтено ОДЗ (или проверены корни), получен верный ответ.

• 1 балл: Допущена одна описка или вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно.

• 0 баллов: Не учтено ОДЗ (в ответ попал посторонний корень), допущены грубые алгебраические ошибки или решение неверно.

3 главных метода решения уравнений в Задании 20

Все прототипы целых и дробно-рациональных уравнений из банка ФИПИ решаются с помощью трех основных алгебраических методов, поэтому их очень важно запомнить и понять.

В тренажерах по 20 заданию ОГЭ по математике вы сможете отработать каждый из представленных методов

1. Замена переменной (Метод введения новой переменной) 🔄

Если в уравнении неоднократно встречается одно и то же сложное выражение, его заменяют новой буквой (например, $t = x^2$ или $t = x^2 + 2x$ ), сводя уравнение к простому квадратному.

2. Разложение на множители (Группировка) 🧩

Все слагаемые переносят в левую часть, чтобы справа получился ноль: $f(x) = 0$ . Затем выраженние слева раскладывают на множители с помощью группировки, ФСУ или вынесения за скобки:

$A(x) \cdot B(x) = 0 \implies A(x) = 0 \quad \text{или} \quad B(x) = 0$

3. Приведение к общему знаменателю 🧮

Для дробно-рациональных уравнений: переносим всё в одну часть, находим общий знаменатель, приводим подобные в числителе и используем условие равенства дроби нулю:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=0\iff\begin{cases}P(x)=0\\ Q(x)\neq0\end{cases}{\frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff\begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq0 \end{cases}}$

Пошаговый алгоритм решения и оформления Задания 20

Чтобы без потери баллов за оформление решить целое или дробно-рациональное уравнение на ОГЭ, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий:

Найдите и запишите ОДЗ (если уравнение содержит дроби): выпишите условия ограничений на знаменатели (знаменатель $\neq 0$ ).

Выберите подходящий метод решения: введите новую переменную, перенесите слагаемые в одну часть для группировки или приведите дроби к общему знаменателю.

Найдите корни промежуточных уравнений: при использовании замены переменной обязательно выполните обратную замену и найдите значения исходной переменной $x$ .

Сверьте полученные корни с ОДЗ: отбросьте посторонние корни, не входящие в область допустимых значений, и аккуратно запишите итоговый ответ.

Типичные ошибки учеников в Задании 20 ОГЭ

При проверке работ второй части эксперты ОГЭ чаще всего выставляют 0 баллов за следующие популярные ошибки:

Сокращение на выражение с переменной

Делить обе части уравнения на скобку, содержащую $x$ (например, в уравнении $x^3 = 4x$ разделить на $x$ ❌). При этом безвозвратно теряется корень $x = 0$ ! Правильно: переносить всё влево и выносить за скобки ✅!

Потеря второго корня при снятии квадрата

При сбрасывании четных степеней в равенстве вида $(x-1)^2 = (2x+3)^2$ писать только $x-1 = 2x+3$ ❌. Запомните: при извлечении корня получается **два случая со знаком $\pm$ **: $x-1 = \pm(2x+3)$ ✅!

Постарайтесь обращать на это внимание при оформлении решений на чистовике.

Разбор прототипов Задания 20 ОГЭ из банка ФИПИ

Рассмотрите полные образцы оформления решений целых и дробно-рациональных уравнений из банка заданий ОГЭ по математике.

Пример 1: Целое уравнение 4 степени (Метод замены переменной)

Задание 20 ОГЭ: Решите уравнение: $(x - 2)^4 - 3(x - 2)^2 - 4 = 0$ .

Подробное оформление для чистовика ОГЭ:

1) Введём новую переменную:
Пусть $(x - 2)^2 = t$ , где $t \ge 0$ .

2) Запишем уравнение относительно $t$ :

$t^2 - 3t - 4 = 0$ .

3) Найдем корни квадратного уравнения:
По теореме Виета или через дискриминант ( $D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25$ ):

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$ .

Значение $t_2 = -1 < 0$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$ .

4) Выполним обратную замену для $t = 4$ :

$(x - 2)^2 = 4$

$x - 2 = 2 \quad \text{или} \quad x - 2 = -2$

$x_1 = 4$

$x_2 = 0$ .

Ответ: $0; \, 4$ .

Пример 2: Дробно-рациональное уравнение с учётом ОДЗ

Задание 20 ОГЭ: Решите уравнение: $x^2 - 3x + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} - 2$ .

Подробное оформление для чистовика ОГЭ:

1) Запишем область допустимых значений (ОДЗ):
Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$ .

2) Перенесём все члены уравнения в левую часть:

$x^2 - 3x + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} + 2 = 0$ .

3) Взаимно уничтожим дроби (на ОДЗ):

$x^2 - 3x + 2 = 0$ .

4) Найдем корни квадратного уравнения:
По теореме Виета:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$ .

5) Сверим корни с ОДЗ:
Значение $x_2 = 2$ не входит в ОДЗ ( $x \neq 2$ ), следовательно, является посторонним корнем.

Единственным корнем уравнения является $x = 1$ .

Ответ: $1$ .

Пример 3: Целое уравнение 3 степени (Метод группировки)

Задание 20 ОГЭ: Решите уравнение: $x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0$ .

Подробное оформление для чистовика ОГЭ:

1) Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:
Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым:

$(x^3 + 4x^2) - (9x + 36) = 0$ .

2) Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0$ .

3) Вынесем общий многочлен $(x + 4)$ за скобки:

$(x + 4)(x^2 - 9) = 0$ .

4) Разложим скобку $(x^2 - 9)$ по формуле разности квадратов:

$(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$ .

5) Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$ .

Ответ: $-4; \, -3; \, 3$ .

Задания и тренажёры по Заданию 20 ОГЭ на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео подготовлены интерактивные онлайн-тренажёры по теме «Задание 20 ОГЭ: Целые и дробно-рациональные уравнения». Систематические тренировки помогут до автоматизма отработать методы замены переменной, грамотную группировку слагаемых, исключение посторонних корней и безупречное оформление решений для второй части, что гарантирует получение максимальных 2 баллов на ОГЭ по математике!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Задание 20 ОГЭ: Целые и дробно-рациональные уравнения» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!

Задача 1

Простейшее рациональное уравнение

Темы4

Курсы5

Самый простой вид рациональных уравнений, решаемых в том числе с использованием пропорцийВариант 1

Найдите корень уравнения $$\frac{6x - 10}{-12} = \frac{2x + 10}{12}$$

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Дробно-рациональное уравнение с переменной в знаменателе

Темы3

Курсы4

Пример дробно-рациональных дробей в первой частиВариант 1

Найдите корень уравнения $$\frac{15}{x + 4} = 6$$

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план