> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Центральные и вписанные углы ОГЭ по математике На этой странице представлен исчерпывающий справочник по теме **«Центральные и вписанные углы» для подготовки к ОГЭ по математике**\. Методисты и эксперты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический курс с подробной теорией, формулами, наглядными свойствами и пошаговыми алгоритмами, чтобы вы могли легко научиться находить вписанные и центральные углы в любых прототипах геометрии ОГЭ\. В экзаменационных КИМ ОГЭ по математике задачи на углы в окружности занимают одно из главных мест: это базовое **Задание №16** в первой части, задачи на клетчатой бумаге **№18**, а также сложнейшие задачи на вычисление и доказательство во второй части \(**№23 и №24**\)\. ## Что нужно знать о вписанных и центральных углах на ОГЭ по математике? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly). Чтобы успешно найти угол, вписанный в окружность, или центральный угол в Задании 16 ОГЭ, важно запомнить следующие ключевые принципы: • **Вершина определяет тип угла:** если вершина лежит в центре окружности — угол **центральный**, если на самой окружности — угол **вписанный**; • **Связь с дугой:** градусная мера центрального угла равна дуге, на которую он опирается, а вписанный угол всегда **в **$2$** раза меньше** своей дуги и соответствующего центрального угла; • **Опора на диаметр:** любой вписанный угол, который опирается на диаметр окружности, всегда является **прямым \(**$90^\circ$**\)**\. #### Главная формула Задания 16 ОГЭ: $$ \angle_{\text{вписанный}} = \dfrac{1}{2} \cup AB = \dfrac{1}{2} \angle_{\text{центральный}} $$ Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну и ту же дугу\! ## Центральный и вписанный угол: определения и разбор различий Рассмотрим подробно, чем различаются два основных вида углов в окружности: **1\. Центральный угол** — угол, вершина которого находится в центре окружности $O$, а стороны образуются двумя радиусами \($OA$ и $OB$\)\. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается: $$ \angle AOB = \cup AB $$ **2\. Вписанный угол** — угол, вершина которого лежит на самой линии окружности, а стороны образуются двумя хордами \($CA$ и $CB$\)\. Градусная мера вписанного угла равна **половине** градусной меры дуги, на которую он опирается: $$ \angle ACB = \dfrac{1}{2}\cup AB $$ ##### Признак ##### Центральный угол ##### Вписанный угол **Где находится вершина** В центре окружности $O$ На окружности **Чем являются стороны** Два радиуса \($OA$ и $OB$\) Две хорды \($CA$ и $CB$\) **Формула угла** $\angle AOB = \cup AB$ $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$ \[ Место для иллюстрации 1: Чертеж окружности с центральным углом $\angle AOB = \cup AB$ и вписанным углом $\angle ACB = \frac{1}{2}\cup AB$, опирающимися на одну дугу $AB$ \] ### 4 главных следствия из свойств вписанных углов для ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly). При решении задач ОГЭ вам регулярно понадобятся следующие теоремы: ##### 1\. Углы на одну дугу 💡 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(или на равные дуги одной окружности\), **равны между собой**: $$\\angle C\_1 = \\angle C\_2 = \\angle C\_3$$ ##### 2\. Опора на диаметр 📐 Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является **прямым \(**$90^\circ$**\)**: $$\\angle C = 90^\\circ$$ \[ Место для иллюстрации 2: Чертеж нескольких равных вписанных углов, опирающихся на дугу $AB$, и прямого угла, опирающегося на диаметр $MN$ \] ##### 3\. Угол вписанного четырёхугольника 🔲 Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$: $$\\angle A \+ \\angle C = 180^\\circ, \\quad \\angle B \+ \\angle D = 180^\\circ$$ ##### 4\. Угол между касательной и хордой 🔀 Угол, образованный касательной и хордой с вершиной в точке касания, равен **половине дуги**, заключённой внутри него: $$\\angle \(l, AB\) = \\dfrac\{1\}\{2\}\\cup AB$$ #### Пошаговый алгоритм: Как найти вписанный или центральный угол на ОГЭ Чтобы безошибочно найти любой угол в Задании 16 ОГЭ по математике, придерживайтесь этого алгоритма: ### Порядок действий: **Определите положение вершины угла:** • Если вершина в центре $O$ $\implies$ угол **центральный**\. • Если вершина на окружности $\implies$ угол **вписанный**\. **Найдите дугу, на которую опирается угол:** проведите пальцем или карандашом от вершины по сторонам угла до пересечения с окружностью\. **Вычислите дугу через известную информацию:** • Вся окружность содержит $360^\circ$\. • Половина окружности \(полуокружность от диаметра\) равна $180^\circ$\. **Запишите искомый угол:** • Если надо найти вписанный угол $\implies$ разделите дугу на $2$ \($\angle = \cup : 2$\)\. • Если надо найти центральный угол $\implies$ значение равно дуге \($\angle = \cup$\)\. ##### Разбор реальных задач Задания 16 ОГЭ из банка ФИПИ Рассмотрите подробные решения официальных прототипов задач на вписанные и центральные углы из базы ФИПИ\. **Задание \(ФИПИ\):** Точки $A$, $B$, $C$, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как $2 : 3 : 7$\. Найдите больший угол треугольника $ABC$\. Ответ дайте в градусах\. **Подробное решение:** 1\) **Пусть одна часть равенства дуг равна **$x$** градусов\.** Вся окружность равна $360^\circ$: $2x + 3x + 7x = 360^\circ$ $12x = 360^\circ \implies x = 30^\circ$\. 2\) **Найдем градусные меры трёх дуг:** • Первая дуга: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$\. • Вторая дуга: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$\. • Третья дуга: $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$\. 3\) **Определим больший угол треугольника **$ABC$**:** Углы треугольника $ABC$ являются вписанными\. Больший вписанный угол опирается на **самую большую дугу** \($210^\circ$\)\. 4\) **Вычислим больший вписанный угол:** $\angle_{\text{наиб}} = \dfrac{210^\circ}{2} = 105^\circ$\. **Ответ:** $105$\. **Задание \(ФИПИ\):** Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность\. Угол $ABC$ равен $108^\circ$\. Найдите угол $ADC$\. Ответ дайте в градусах\. **Подробное решение:** 1\) По свойству вписанного четырёхугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ 2\) Вычислим искомый вписанный угол $\angle ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$\. **Ответ:** $72$\. **Задание \(ФИПИ\):** Отрезок $AB$ — диаметр окружности с центром $O$\. Точка $C$ лежит на окружности\. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $52^\circ$\. Ответ дайте в градусах\. **Подробное решение:** 1\) Так как $AB$ — диаметр, вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, является **прямым**: $\angle ACB = 90^\circ$\. 2\) Рассмотри прямоугольный треугольник $ABC$: сумма острых углов в нём равна $90^\circ$: $\angle ABC + \angle BAC = 90^\circ$ 3\) Найдем искомый угол $\angle ABC$: $\angle ABC = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$\. **Ответ:** $38$\. ## Тренажёры по центральным и вписанным углам на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Центральные и вписанные углы» для подготовки к ОГЭ по математике** с подробными решениями и автоматической проверкой ответов\. База содержит сотни реальных прототипов Заданий №16 и №18 из открытого банка ФИПИ\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Вписанные и центральные углы ОГЭ»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас темпе, отрабатывайте решение геометрии и уверенно забирайте баллы на ОГЭ по математике 2026\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly](https://exameo.ru/subjects/math/courses/oge_math/topics/tsentralnye-i-vpisannye-ugly).