> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 11 задание ЕГЭ по базовой математике На этой странице представлен исчерпывающий разбор по теме **задание 11 база ЕГЭ** по математике, где подробно разобраны **все типы 11 задания ЕГЭ математика база** из официального банка ФИПИ, раскрыты секреты решения задач на переливание жидкостей, подобие тел и подсчёт элементов многогранников, а также доступен [интерактивный онлайн\-тренажёр с автопроверкой ответов](#trenazher-i-test-11-zadanie-baza-ekzameo)\. В кодификаторе экзамена **11 задание ЕГЭ математика база** представляет блок практической стереометрии и приносит 1 первичный балл\. Для выпускников, которые изучают **задания ЕГЭ база 11 класс** и готовятся к **ЕГЭ математика база 11 задание 2026** года, важно понимать: этот номер не требует громоздких пространственных чертежей или сложных тригонометрических выкладок\. Вся практическая стереометрия здесь построена на наглядных бытовых моделях: сосудах, кружках, переливании жидкостей, погружении деталей и отпиливании уголков у многогранников\. Главное — чётко понимать, как меняется объём при изменении высоты и линейных размеров основания\. ##### Формат и специфика: 11 задание ЕГЭ математика база • **Ключевая суть:** вычисление объёмов тел, определение уровня жидкости при переливании в более широкий или узкий сосуд, нахождение объёма погружённой детали по закону Архимеда, отношение объёмов подобных тел и подсчёт числа рёбер или граней усечённых фигур\. • **Квадратичная зависимость площади:** площадь основания призмы или цилиндра зависит от стороны или радиуса квадратично \($S = a^2$ или $S = \pi r^2$\)\. Если сосуд в 2 раза шире, площадь его дна больше в $2^2 = 4$ раза, а значит, уровень жидкости упадёт ровно в 4 раза\. • **Кубическая зависимость объёма:** если объёмное тело масштабируется целиком во всех измерениях \(как уровень жидкости в конусе\), объёмы подобных фигур соотносятся как куб коэффициента подобия: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$\. ## Все типы 11 задания ЕГЭ математика база > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie). Анализируя банк заданий ФИПИ и варианты **Решу ЕГЭ база 11 задание**, можно выделить пять основных прототипов, на которых строится **тип 11 задание ЕГЭ база**: Тип 1 ##### Переливание жидкостей Воду переливают в сосуд, сторона основания или радиус которого шире в $k$ раз\. Уровень столба жидкости уменьшается в $k^2$ раз\. Тип 2 ##### Отношение объёмов коробок и кружек Сравнение двух призм или цилиндров, где одновременно меняются и высота, и ширина основания\. Расчёт отношения $V = S_{\text{осн}} \cdot h$\. Тип 3 ##### Погружение детали в бак Объём детали равен объёму вытесненной жидкости\. Если уровень вырос в $k$ раз, то деталь занимает $(k - 1)$ от начального объёма воды\. Тип 4 ##### Уровень жидкости в конусе Подобие конических сосудов\. Если налита половина высоты, объём жидкости составляет лишь $\frac{1}{8}$ от полного объёма \(долить нужно $\frac{7}{8}$\)\. Тип 5 ##### Отпиливание вершин многогранников Подсчёт количества рёбер, вершин и граней после срезания уголков у призм или кубов\. Каждая вершина превращается в треугольную грань\. ### Теоретическая база для практической стереометрии Перед переходом к практике повторите формулы стереометрии, сгруппированные в тематические блоки: Объём любого прямого тела с постоянным сечением \(призмы, параллелепипеда, цилиндра\) равен произведению площади основания на высоту: $$ V = S_{\text{осн}} \cdot h $$ #### **Правильная четырёхугольная призма** В основании лежит квадрат со стороной $a$\. Площадь основания $S_{\text{осн}} = a^2$\. Объём равен $V = a^2 \cdot h$\. Если сторону квадрата увеличить в 2 раза, площадь дна вырастет в $2^2 = 4$ раза\. #### **Цилиндр **  В основании лежит круг радиуса $r$ \(диаметра $d = 2r$\)\. Площадь основания $S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$\. Объём равен $V = \pi r^2 h$\. Если кружка в 1,5 раза шире \(диаметр больше в 1,5 раза\), площадь её дна больше в $1{,}5^2 = 2{,}25$ раза\. #### **Закон сохранения объёма жидкости** при переливании одной и той же жидкости в другой сосуд её объём остаётся неизменным: $V_1 = V_2 \implies S_1 h_1 = S_2 h_2$\. Отсюда отношение высот обратно пропорционально отношению площадей дна: $\dfrac{h_2}{h_1} = \dfrac{S_1}{S_2}$\.  • **Объём конуса:** $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$\. • **Подобие конусов:** уровень налитой жидкости в коническом сосуде отсекает меньший конус, подобный исходному\. Линейные размеры \(высота, радиус поверхности жидкости, образующая\) соотносятся с коэффициентом $k$\. • **Отношение объёмов подобных тел:** объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия: $$ \dfrac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{общ}}} = k^3 $$ Если уровень жидкости достигает половины высоты \($k = \frac{1}{2}$\), то объём налитой части составляет всего лишь $V_{\text{жидк}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 V_{\text{общ}} = \frac{1}{8} V_{\text{общ}}$\. Чтобы наполнить сосуд полностью, требуется долить оставшиеся $\frac{7}{8}$ объёма\! При решении комбинаторных геометрических задач на отпиливание вершин у призм или параллелепипедов опираются на формулы подсчёта: • **Правильная треугольная призма в исходном состоянии:** имеет $6$ вершин, $5$ граней \(2 треугольных основания и 3 прямоугольные боковые грани\) и $9$ рёбер \(6 рёбер оснований и 3 боковых ребра\)\. • **Операция среза вершины:** спил каждой вершины добавляет в многогранник $1$ новую треугольную грань и ровно $3$ новых коротких ребра, образующих срез, в то время как старые рёбра лишь укорачиваются, сохраняя своё число\. • **Формула для рёбер:** $N_{\text{рёбер}} = N_{\text{исходных рёбер}} + 3 \cdot N_{\text{спиленных вершин}}$\. #### Разбор реальных 11 задач ФИПИ Ниже приведён подробный разбор официальных прототипов банка ФИПИ, иллюстрирующий, **как решать 11 задание ЕГЭ математика база** быстро и без ошибок: **Задание \(ФИПИ\):** Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 100\text{ см}$\. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах\. **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть сторона основания исходного сосуда равна $a$\. Тогда площадь дна $S_1 = a^2$\. Объём налитой воды равен: $$ V = S_1 \cdot h_1 = a^2 \cdot 100 $$ 2\) У второго сосуда сторона основания вдвое больше: $2a$\. Найдём площадь его дна: $$ S_2 = (2a)^2 = 4a^2 $$ Площадь дна нового сосуда оказалась больше ровно в $4$ раза\. 3\) Объём налитой воды при переливании не изменился \($V_1 = V_2$\): $$ a^2 \cdot 100 = 4a^2 \cdot h_2 $$ 4\) Сократим обе части на $a^2$ и выразим уровень воды $h_2$: $$ 100 = 4h_2 \implies h_2 = \dfrac{100}{4} = 25\text{ см} $$ **Ответ:** 25\. **Задание \(ФИПИ\):** Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании\. Первая коробка в полтора раза ниже второй, а вторая в два раза шире первой\. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй? **Пошаговый разбор:** 1\) Обозначим параметры первой коробки: сторона основания $a_1$, высота $h_1$\. Тогда её объём равен: $$ V_1 = a_1^2 \cdot h_1 $$ 2\) Выразим параметры второй коробки: • Вторая коробка в $1{,}5$ раза выше первой: $h_2 = 1{,}5 h_1$\. • Вторая коробка в $2$ раза шире первой: $a_2 = 2 a_1$\. 3\) Найдём объём второй коробки: $$ V_2 = a_2^2 \cdot h_2 = (2a_1)^2 \cdot (1{,}5 h_1) = 4a_1^2 \cdot 1{,}5 h_1 = 6 a_1^2 h_1 $$ 4\) Найдём отношение объёмов: $$ \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{6 a_1^2 h_1}{a_1^2 h_1} = 6 $$ **Ответ:** 6\. **Задание \(ФИПИ\):** В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито $5\text{ л}$ воды\. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в $1{,}8$ раза\. Найдите объём детали\. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре $1000$ кубических сантиметров\. **Пошаговый разбор:** 1\) Так как бак имеет вертикальные стенки \(форма прямой призмы\), объём содержимого прямо пропорционален уровню жидкости: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$\. 2\) Если уровень воды вырос в $1{,}8$ раза, то и общий объём \(вода вместе с погружённой деталью\) стал больше в $1{,}8$ раза: $$ V_{\text{общ}} = 5 \cdot 1{,}8 = 9\text{ л} $$ 3\) По закону вытеснения объём погружённой детали равен разности общего объёма и объёма воды: $$ V_{\text{детали}} = V_{\text{общ}} - V_{\text{воды}} = 9 - 5 = 4\text{ л} $$ 4\) Переведём литры в кубические сантиметры \($1\text{ л} = 1000\text{ см}^3$\): $$ V_{\text{детали}} = 4 \cdot 1000 = 4000\text{ см}^3 $$ **Ответ:** 4000\. **Задание \(ФИПИ\):** В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты\. Объём жидкости равен $70\text{ мл}$\. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху? **Пошаговый разбор:** 1\) Меньший конус \(заполненный жидкостью\) подобен всему коническому сосуду\. Коэффициент линейного подобия равен отношению высот: $k = \dfrac{1}{2}$\. 2\) Объёмы подобных фигур относятся как куб коэффициента линейного подобия: $$ \dfrac{V_{\text{жидк}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} $$ 3\) Выразим полный объём сосуда, зная, что $V_{\text{жидк}} = 70\text{ мл}$: $$ V_{\text{сосуда}} = 8 \cdot V_{\text{жидк}} = 8 \cdot 70 = 560\text{ мл} $$ 4\) Вычислим, сколько жидкости требуется **долить**: $$ V_{\text{долить}} = V_{\text{сосуда}} - V_{\text{жидк}} = 560 - 70 = 490\text{ мл} $$ *\(Быстрый способ: так как налита *$\frac{1}{8}$* часть, долить необходимо *$\frac{7}{8}$* от полного объёма, то есть *$7 \cdot V_{\text{жидк}} = 7 \cdot 70 = 490\text{ мл}$*\)*\. **Ответ:** 490\. **Задание \(ФИПИ\):** Даны две кружки цилиндрической формы\. Первая кружка в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой\. Во сколько раз объём первой кружки меньше объёма второй? **Пошаговый разбор:** 1\) Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h = \dfrac{\pi d^2}{4} h$, где $d$ — диаметр \(ширина\) кружки, $h$ — высота\. Пусть для первой кружки диаметр равен $d$, а высота $h$\. 2\) Вторая кружка в $4$ раза выше \($h_2 = 4h$\) и в $1{,}5$ раза шире \($d_2 = 1{,}5d$\)\. 3\) Запишем объём второй кружки: $$ V_2 = \dfrac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2 = \dfrac{\pi (1{,}5d)^2}{4} \cdot (4h) = \dfrac{\pi d^2}{4} h \cdot (2{,}25 \cdot 4) $$ 4\) Перемножим числовые коэффициенты: $$ 2{,}25 \cdot 4 = 9 $$ Следовательно, $V_2 = 9 V_1$, и объём первой кружки меньше объёма второй ровно в $9$ раз\. **Ответ:** 9\. **Задание \(ФИПИ\):** От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины \(см\. рисунок\)\. Сколько рёбер у получившегося многогранника \(невидимые рёбра на рисунке не изображены\)? **Пошаговый разбор:** 1\) У исходной правильной треугольной призмы было $6$ вершин и $9$ рёбер \($3$ боковых и $6$ в двух треугольных основаниях\)\. 2\) При отпиливании одного угла на месте вершины появляется новая грань в виде треугольника, образованная $3$ новыми рёбрами\. Старые $9$ рёбер при этом сохраняются \(они лишь укорачиваются\)\. 3\) Всего отпилили все $6$ вершин призмы: $$ N_{\text{новых рёбер}} = 6 \cdot 3 = 18 $$ 4\) Сложим старые сохранившиеся рёбра и все вновь образованные: $$ N_{\text{всего}} = 9 + 18 = 27 $$ **Ответ:** 27\. ### Как решать 11 задание ЕГЭ математика база > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie). Для безошибочного решения стереометрических задач придерживайтесь чёткой последовательности шагов: ### Порядок действий **Определите тип фигуры и характер изменения:** выясните, меняется ли тело только по высоте \(линейная зависимость\), по ширине дна \(квадратичная зависимость\) или целиком во всех измерениях \(кубическая зависимость\)\. **Возведите коэффициенты в нужные степени:** помните, что при изменении диаметра или стороны основания площадь дна масштабируется в квадрате \($k^2$\), а объём подобного конуса — в кубе \($k^3$\)\. **Внимательно перечитайте вопрос задачи:** обратите внимание на слова «во сколько раз меньше», «сколько нужно **долить**» или «найдите объём детали»\. Не путайте итоговый объём сосуда с объёмом доливаемой порции\! **Проверьте единицы измерения:** если в условии даны литры, а в ответе требуют кубические сантиметры, умножьте полученный результат на $1000$ \($1\text{ л} = 1000\text{ см}^3$\)\. ### Ошибкоопасные места в 11 задании Анализ экзаменационных работ выпускников показывает три главные стереометрические ловушки: ##### Забытый квадрат при расширении сосуда Если сосуд в 2 раза шире, ученики делят высоту на 2 вместо 4 \($2^2 = 4$\)\. Запомните: уровень жидкости при увеличении ширины в $k$ раз падает ровно в $k^2$ раз\! ##### Запись полного объёма вместо доливаемого В задаче про конический бокал находят полный объём сосуда \($560\text{ мл}$\) и записывают его в бланк, забывая вычесть уже налитые $70\text{ мл}$ \($560 - 70 = 490\text{ мл}$\)\. ##### Игнорирование перевода литров в кубические сантиметры Получив объём детали $4\text{ л}$, в ответ записывают число $4$ вместо требуемых $4000\text{ см}^3$\. Всегда сверяйте единицы измерения в последнем предложении условия\. ## Тренажёры по 11 заданию базового ЕГЭ на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie). Чтобы научиться безошибочно щёлкать задачи по практической стереометрии, переходите к онлайн\-тренажёру платформы Экзамео\. В систему загружены все прототипы 11 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ\. Тренируйтесь в удобном темпе, проверяйте свои решения с пошаговыми подсказками и гарантируйте себе максимальный результат на государственном экзамене\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/11-zadanie).