> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 12 задание ЕГЭ математика База \- полный разбор и тренажёры На этой странице представлен разбор теории по **12 заданию ЕГЭ по математике базового уровня** и подробно рассмотрены все виды планиметрических задач из официального банка ФИПИ\. После теории вы найдете [тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов](#trenazher-i-test-12-zadanie-baza-ekzameo)\. 12 задание на базовом ЕГЭ по математике проверяет классическую планиметрию за 7–9 класс и приносит 1 первичный балл\. В отличие от 10 практического номера, здесь рассматриваются строгие геометрические чертежи\. Огромное преимущество для выпускников базового уровня: практически все ключевые формулы официально включены в справочные материалы ЕГЭ\. Главное — уметь быстро находить нужную формулу в раздаточном материале и применять её к конкретному рисунку\. ##### Формат и специфика: 12 задание ЕГЭ математика база • **Многообразие геометрических фигур:** прямоугольные треугольники \(поиск катетов, гипотенузы, тригонометрических функций\), равнобедренные треугольники с высотой к основанию, ромбы и квадраты \(связь площадей и углов\), прямоугольники, а также окружности с центральными и вписанными углами\. • **Тригонометрия как рабочий инструмент:** синус, косинус и тангенс в 12 задании часто используются не только в треугольниках, но и внутри прямоугольников, ромбов или трапеций через выделение прямоугольного треугольника\. • **Форма ответа:** целое число или конечная десятичная дробь \(никаких знаков корней, градусов или наименований в бланк писать нельзя\)\. ## Все типы планиметрических задач в 12 задании > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie). Все прототипы 12 задания из открытого банка ФИПИ можно разделить на пять основных геометрических направлений, каждое из них может встретиться на настоящем экзамене в 2027 году\. Тип 1 ##### Прямоугольный треугольник Нахождение катетов, гипотенузы по теореме Пифагора, вычисление $\sin$, $\cos$, $\text{tg}$ острых углов по их классическим определениям\. Тип 2 ##### Равнобедренные фигуры Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и делит его на два равных прямоугольных треугольника\. Тип 3 ##### Четырёхугольники и углы Ромбы, квадраты, прямоугольники и параллелограммы\. Связь сторон, высот, диагоналей, острых углов и тригонометрических отношений\. Тип 4 ##### Окружности и углы Центральные и вписанные углы, равнобедренные треугольники из радиусов \($OA = OB = R$\), треугольник, опирающийся на диаметр\. Тип 5 ##### Смежные углы и биссектрисы Углы на прямой, развёрнутые углы $180^\circ$, биссектрисы смежных и вертикальных углов, свойства параллельных прямых и секущих\. ### Теоретическая база: основные свойства фигур и формулы Ниже собраны самые важные планиметрические свойства\. Все эти формулы содержатся в официальных справочных материалах базового ЕГЭ:  В прямоугольном треугольнике с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$: • **Теорема Пифагора:** $a^2 + b^2 = c^2$\. • **Синус острого угла:** отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$\. • **Косинус острого угла:** отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$\. • **Тангенс острого угла:** отношение противолежащего катета к прилежащему: $\text{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}$\. • **Площадь прямоугольного треугольника:** $S = \dfrac{1}{2}ab$\. ##### **Равнобедренный треугольник:**  Боковые стороны равны, углы при основании равны\. Высота, опущенная на основание, является медианой \(делит основание пополам\) и биссектрисой\.  ##### **Формулы площади треугольника:** $$ S = \dfrac{1}{2} a h_a, \quad S = \dfrac{1}{2} a b \sin \gamma $$ ##### **Теорема косинусов:** Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma $$ ##### **Теорема синусов:** Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $$ \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} = 2R $$  **Прямоугольник:**  Противоположные стороны равны \($AB = CD$, $BC = AD$\), все углы по $90^\circ$\. Площадь $S = a \cdot b$\. ##### **Квадрат:** все стороны равны $a$, а углы равны $90^\circ$  Площадь квадрата равна $$ S=a^2 $$ Диагнональ квадрата $$ d=a\sqrt2 $$ ##### **Ромб:**  Все стороны равны $a$\. Площадь ромба через сторону и угол: $$ S=a^2\sin\alpha $$ Площадь ромба через диагонали: $$ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 $$ Если у ромба и квадрата стороны одинаковы \($a$\), то площадь ромба равна площади квадрата, умноженной на синус острого угла: $S_{\text{ромба}} = S_{\text{квадрата}} \cdot \sin \alpha$\. ##### **Параллелограмм:**  $S = a h_a = a b \sin \alpha$\. • **Связь радиуса и диаметра:** $d = 2R$\. Отрезки от центра окружности до любой точки на окружности равны между собой \($OA = OB = OC = R$\)\. • **Треугольники из радиусов:** треугольник $AOC$, образованный двумя радиусами $OA$ и $OC$, всегда равнобедренный \($OA = OC$\)\. • **Угол, опирающийся на диаметр:** вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда прямой и равен $90^\circ$\. • **Смежные углы:** сумма углов, образующих развёрнутую прямую, равна $180^\circ$ \($\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$\)\. ### Примеры решения прототипов 12 задания > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie). Ниже приведены подробные решения официальных задач открытого банка ФИПИ: **Задание \(ФИПИ\):** В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{19}$\. Найдите $\cos B$\. **Пошаговый разбор:** 1\) По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $$ \cos B = \dfrac{BC}{AB} $$ 2\) Найдём прилежащий катет $BC$ по теореме Пифагора \($AB^2 = AC^2 + BC^2$\): $$ BC^2 = AB^2 - AC^2 $$ $$ BC^2 = 20^2 - (2\sqrt{19})^2 = 400 - 4 \cdot 19 = 400 - 76 = 324 $$ 3\) Извлечём квадратный корень: $$ BC = \sqrt{324} = 18 $$ 4\) Вычислим значение косинуса угла $B$: $$ \cos B = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9 $$ **Ответ:** 0,9\. **Задание \(ФИПИ\):** В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 14$\. Найдите площадь треугольника $ABC$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC = 14$\. Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$\. 2\) В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, следовательно: $$ AH = HC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{14}{2} = 7 $$ 3\) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ с гипотенузой $AB = 25$ и катетом $AH = 7$\. Найдём высоту $BH$ по теореме Пифагора: $$ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 $$ 4\) Вычислим площадь треугольника по формуле $S = \dfrac{1}{2} a h$: $$ S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 7 \cdot 24 = 168 $$ **Ответ:** 168\. **Задание \(ФИПИ\):** На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 23$\. Найдите длину диаметра окружности\. **Пошаговый разбор:** 1\) Отрезок $AB$ — диаметр, поэтому точки $A, O, B$ лежат на одной прямой\. Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными: $$ \angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $$ 2\) Рассмотрим треугольник $AOC$\. Отрезки $OA$ и $OC$ — радиусы окружности \($OA = OC = R$\), следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный\. 3\) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $$ \angle OAC = \angle OCA = \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ $$ Так как все три угла треугольника $AOC$ равны $60^\circ$, треугольник $AOC$ является **равносторонним**\! 4\) Из равносторонности следует: $$ R = OA = OC = AC = 23 $$ 5\) Диаметр окружности вдвое больше радиуса: $$ d = 2R = 2 \cdot 23 = 46 $$ **Ответ:** 46\. **Задание \(ФИПИ\):** Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $300$, сторона $AB = 9$\. Найдите тангенс угла $CAD$\. **Пошаговый разбор:** 1\) В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: $CD = AB = 9$\. 2\) Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = AD \cdot AB$\. Найдём сторону $AD$: $$ 300 = AD \cdot 9 \implies AD = \dfrac{300}{9} = \dfrac{100}{3} $$ 3\) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ \(угол $D = 90^\circ$\)\. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: $$ \text{tg}\angle CAD = \dfrac{CD}{AD} $$ 4\) Подставим известные стороны $CD = 9$ и $AD = \dfrac{100}{3}$: $$ \text{tg}\angle CAD = \dfrac{9}{\frac{100}{3}} = 9 \cdot \dfrac{3}{100} = \dfrac{27}{100} = 0{,}27 $$ **Ответ:** 0,27\. **Задание \(ФИПИ\):** На прямой $AB$ отмечена точка $M$\. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$\. Известно, что $\angle DMC = 78^\circ$\. Найдите величину угла $CMA$\. Ответ дайте в градусах\. **Пошаговый разбор:** 1\) Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, значит он делит угол $CMB$ на два равных угла: $$ \angle DMB = \angle DMC = 78^\circ $$ 2\) Найдём полную величину угла $CMB$: $$ \angle CMB = \angle DMC + \angle DMB = 78^\circ + 78^\circ = 156^\circ $$ 3\) Углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными, так как точка $M$ лежит на прямой $AB$\. Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $$ \angle CMA + \angle CMB = 180^\circ $$ 4\) Вычислим угол $\angle CMA$: $$ \angle CMA = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ $$ **Ответ:** 24\. **Задание \(ФИПИ\):** Ромб и квадрат имеют равные стороны\. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $64$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть сторона квадрата и ромба равна $a$\. Площадь квадрата вычисляется по формуле: $$ S_{\text{кв}} = a^2 = 64 $$ 2\) Площадь ромба со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вычисляется по формуле: $$ S_{\text{ромба}} = a^2 \sin \alpha $$ 3\) Так как $a^2 = 64$, а острый угол $\alpha = 30^\circ$, подставим известные величины: $$ S_{\text{ромба}} = 64 \cdot \sin 30^\circ $$ 4\) Вспомним табличное значение $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$: $$ S_{\text{ромба}} = 64 \cdot 0{,}5 = 32 $$ **Ответ:** 32\. ### Как решать 12 задание ЕГЭ математика база Для решения 12 задания на геометрию\-планиметрию существует единый алгоритм, который поможет избежать ошибок при выполнении задач\. **Нанесите все данные на чертёж:** отметьте известные стороны, углы, центры окружностей и перпендикуляры прямо на рисунке в КИМе\. **Выделите опорный прямоугольный треугольник:** в большинстве задач на тригонометрию, площади или равнобедренные треугольники решение строится через проведение высоты и теорему Пифагора\. **Сверьтесь со справочными материалами:** откройте первую страницу экзаменационного листа и проверьте точную формулу связи элементов \(теорему косинусов, синусов или площадь через синус угла\)\. **Переведите ответ в десятичную дробь:** убедитесь, что ответ выражен целым числом или конечной десятичной дробью, без значков градусов и единиц длины\. ##### Самые распространенные ошибки При анализе экзаменационных бланков чаще всего встречаются три характерные ошибки: ##### Путаница между синусом и косинусом Для косинуса берут противолежащий катет вместо прилежащего\. Всегда чётко проверяйте: $\cos$ — это *прилежащий* к углу катет, делённый на гипотенузу\. ##### Забытый радиус вместо диаметра В задачах на окружность находят длину радиуса $R = 23$ и сразу вписывают её в бланк, забывая, что в вопросе просили найти **диаметр** \($d = 2R = 46$\)\. ##### Потеря коэффициента 1/2 в площади треугольника При вычислении площади треугольника перемножают основание и высоту \($14 \cdot 24$\), забывая разделить произведение на $2$ \($S = \frac{1}{2}ah = 168$\)\. ## Тренажёр по 12 заданию базового ЕГЭ на Экзамео Чтобы закрепить навыки решения планиметрических задач на треугольники, четырёхугольники и окружности, переходите к онлайн\-тренажёру платформы Экзамео\. В тренажёрах вы найдете все официальные прототипы 12 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ с подробными решениями и автоматической проверкой ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/12-zadanie).