> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 13 ЕГЭ по базовой математике: стереометрия, формулы объёмов и площадей На этой странице представлен разбор **13 задания ЕГЭ по математике базового уровня**, все стереометрические задачи из официального банка ФИПИ по типам пространственных тел: параллелепипеды, пирамиды, конусы, цилиндры с осевыми сечениями и шары, а также [тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов](#trenazher-i-test-13-zadanie-baza-ekzameo)\. **13 задание** проверяет академические знания стереометрии за курс 10–11 классов и приносит 1 первичный балл\. В отличие от прикладного 11 номера, где моделируются бытовые переливания и уровень воды в кружках, здесь исследуются строгие геометрические свойства многогранников и тел вращения: нахождение высоты пирамиды по объёму, вычисление площади сечения цилиндра через хорду основания или расчёт площади боковой поверхности конуса\. Все основные стереометрические формулы объёмов и площадей поверхностей официально присутствуют в справочных материалах КИМ, поэтому ключевой навык — свести пространственную задачу к планиметрическому прямоугольному треугольнику внутри фигуры\. ##### Формат и специфика: 13 задание ЕГЭ математика база • **Многообразие пространственных тел:** параллелепипеды и кубы \(связь рёбер и диагоналей граней\), пирамиды \(треугольные и четырёхугольные с нахождением высоты или объёма\), конусы \(отношение площадей боковых поверхностей $S = \pi R l$\), цилиндры \(прямоугольные сечения, параллельные оси\) и сферы\. • **Опорные сечения и теорема Пифагора:** решение подавляющего большинства стереометрических задач сводится к рассмотрению плоского прямоугольного треугольника: грани параллелепипеда, сечения цилиндра или осевого сечения конуса\. • **Форма ответа:** целое число или конечная десятичная дробь \(знаки корней и число $\pi$ обязательно сокращаются в процессе вычислений\)\. ## Все типа 13 задания базового ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie). Все прототипы 13 задания из открытого банка ФИПИ сгруппированы по пяти основным видам стереометрических тел : Вид 1 ##### Параллелепипед и призма Прямоугольный параллелепипед, рёбра и диагонали боковых граней\. Поиск третьего ребра по теореме Пифагора и расчёт объёма $V = abc$\. Вид 2 ##### Пирамиды Пирамиды с прямоугольником или правильным треугольником в основании\. Вычисление высоты или объёма по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h$\. Вид 3 ##### Конусы Сравнение площадей боковой поверхности двух конусов по формуле $S_{\text{бок}} = \pi R l$ через отношение радиусов и образующих\. Вид 4 ##### Цилиндры и сечения Сечение, параллельное оси цилиндра\. Представляет собой прямоугольник со сторонами $h$ и $2k$, где половина хорды $k$ находится из круга основания\. Вид 5 ##### Шар и сфера Расчёт объёма шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ и площади сферы $S = 4\pi R^2$, а также задачи на вписанные и описанные комбинации тел\. ### Теоретический справочник формул стереометрии Ниже приведены главные формулы для каждого тела, включённые в справочные материалы ЕГЭ по базовой математике: • **Объём прямоугольного параллелепипеда:** произведение трёх его измерений \(длины, ширины и высоты\): $$ V = a \cdot b \cdot c $$ • **Грани параллелепипеда:** каждая грань является прямоугольником\. Если известны ребро $a$ и диагональ грани $d$, то смежное ребро $c$ находится по теореме Пифагора: $c = \sqrt{d^2 - a^2}$\. • **Квадрат диагонали параллелепипеда:** $d_{\text{общ}}^2 = a^2 + b^2 + c^2$\. • **Объём прямой призмы:** $V = S_{\text{осн}} \cdot h$\. • **Объём пирамиды:** равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \implies h = \dfrac{3V}{S_{\text{осн}}} $$ • **Основание — прямоугольник:** площадь основания равна произведению сторон $S_{\text{осн}} = a \cdot b$\. • **Основание — правильный треугольник со стороной **$a$**:** площадь вычисляется по формуле: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} $$ • **Боковое ребро, перпендикулярное основанию:** если боковое ребро перпендикулярно основанию, его длина равна высоте всей пирамиды \($h = SA$\)\. • **Площадь боковой поверхности конуса:** равна произведению числа $\pi$, радиуса основания $R$ и образующей $l$: $$ S_{\text{бок}} = \pi R l $$ • **Сравнение двух конусов:** если образующие двух конусов одинаковы \($l_1 = l_2$\), то их боковые площади относятся строго как радиусы оснований: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{R_1}{R_2}$\. • **Связь образующей, высоты и радиуса:** образуют прямоугольный треугольник в осевом сечении: $l^2 = h^2 + R^2$\. • **Объём конуса:** $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$\. • **Сечение, параллельное оси цилиндра:** представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра \(образующей $h$\), а вторая сторона — хорде основания $AB$\. • **Геометрия основания цилиндра:** расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это перпендикуляр $OH = d$, опущенный из центра круга на хорду $AB$\. Он делит хорду пополам \($AH = HB$\)\. • **Теорема Пифагора в основании:** в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R$ \(радиус\) и катетом $d$ \(расстояние до сечения\) половина хорды равна: $$ AH = \sqrt{R^2 - d^2} \implies AB = 2 \cdot AH = 2\sqrt{R^2 - d^2} $$ • **Площадь сечения:** $S_{\text{сеч}} = AB \cdot h$\. ### Практический разбор прототипов 13 задания > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie). Ниже приведены подробные решения всех официальных задач 13 линии открытого банка ЕГЭ: **Задание:** В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ $DA_1$ боковой грани равны соответственно $3$, $5$ и $\sqrt{34}$\. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Рассмотрим прямоугольную боковую грань $ADD_1A_1$\. В ней отрезок $DA_1 = \sqrt{34}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $DAA_1$ \(угол $A = 90^\circ$\), а ребро $DA = 3$ — катетом\. 2\) Найдём третье линейное измерение параллелепипеда — боковое ребро \(высоту\) $AA_1 = DD_1$ по теореме Пифагора: $$ AA_1^2 = DA_1^2 - DA^2 $$ $$ AA_1^2 = (\sqrt{34})^2 - 3^2 = 34 - 9 = 25 \implies AA_1 = \sqrt{25} = 5 $$ 3\) Нам известны все три измерения параллелепипеда: • Длина: $DA = 3$ • Ширина: $DC = 5$ • Высота: $AA_1 = 5$ 4\) Вычислим объём параллелепипеда как произведение трёх его измерений: $$ V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75 $$ **Ответ:** 75\. **Задание:** В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $4$, а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $3\sqrt{3}$\. Найдите объём пирамиды $SABC$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $a = 4$\. Найдём площадь основания по формуле: $$ S_{\text{осн}} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} $$ 2\) Так как боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания, оно совпадает с высотой пирамиды: $$ h = SA = 3\sqrt{3} $$ 3\) Вычислим объём пирамиды по формуле $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h$: $$ V = \dfrac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} $$ 4\) Сократим тройки и перемножим корни \($\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$\): $$ V = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12 $$ **Ответ:** 12\. **Задание:** Даны два конуса\. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно $7$ и $9$, а второго — $2$ и $9$\. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго конуса? **Пошаговый разбор:** 1\) Формула площади боковой поверхности конуса: $$ S_{\text{бок}} = \pi R l $$ 2\) Запишем формулы для каждого из конусов: • Для первого конуса \($R_1 = 7, l_1 = 9$\): $S_1 = \pi \cdot 7 \cdot 9 = 63\pi$\. • Для второго конуса \($R_2 = 2, l_2 = 9$\): $S_2 = \pi \cdot 2 \cdot 9 = 18\pi$\. 3\) Найдём отношение площадей: $$ \dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{63\pi}{18\pi} = \dfrac{63}{18} $$ 4\) Сократим дробь на $9$ и переведём в десятичную форму: $$ \dfrac{63}{18} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5 $$ **Ответ:** 3,5\. **Задание:** Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами $9$ и $4$\. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен $48$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Найдём площадь прямоугольного основания пирамиды: $$ S_{\text{осн}} = a \cdot b = 9 \cdot 4 = 36 $$ 2\) Запишем формулу объёма пирамиды: $$ V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h $$ 3\) Подставим известные числовые значения \($V = 48$, $S_{\text{осн}} = 36$\): $$ 48 = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot h $$ 4\) Упростим уравнение: $$ 48 = 12h $$ 5\) Найдём высоту $h$: $$ h = \dfrac{48}{12} = 4 $$ **Ответ:** 4\. **Задание:** Радиус основания цилиндра равен $17$, а его образующая равна $10$\. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное $8$\. Найдите площадь этого сечения\. **Пошаговый разбор:** 1\) Сечение цилиндра, параллельное его оси, является прямоугольником\. Высота прямоугольника равна образующей цилиндра: $h = 10$\. Вторая сторона сечения — это хорда $AB$ нижнего основания\. 2\) Рассмотрим круг основания цилиндра с центром $O$\. Расстояние от оси до плоскости сечения равно перпендикуляру $OH = 8$, опущенному из центра $O$ на хорду $AB$\. 3\) Отрезок $OA$ является радиусом основания: $OA = R = 17$\. 4\) В прямоугольном треугольнике $OHA$ \(угол $H = 90^\circ$\) найдём половину хорды $AH$ по теореме Пифагора: $$ AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 $$ 5\) Так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам, найдём полную длину хорды $AB$: $$ AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 15 = 30 $$ 6\) Найдём площадь прямоугольного сечения: $$ S_{\text{сеч}} = AB \cdot h = 30 \cdot 10 = 300 $$ **Ответ:** 300\. ### Пошаговый алгоритм решения 13 задания Чтобы безошибочно рассчитывать объёмы и площади в стереометрии, придерживайтесь чёткой последовательности шагов: **Определите тип объёмного тела:** выделите фигуру из условия — параллелепипед, призма, пирамида, конус или цилиндр\. **Сделайте выносной плоский чертёж:** перерисуйте основание пирамиды или круг цилиндра отдельно на черновике, чтобы применить теорему Пифагора на плоскости\. **Найдите точную формулу в справочнике КИМ:** сверьтесь со справочными материалами первой страницы экзаменационного бланка \(не забывайте коэффициент $\frac{1}{3}$ у пирамид и конусов\)\. **Проверьте сокращение иррациональностей:** в ответе не должно оставаться корней из $3$, квадратов или числа $\pi$\. Если они не сократились — проверьте промежуточные вычисления\. ### Ошибкоопасные места в 13 задании При проверке работ выпускников чаще всего выявляются три характерные ошибки: ##### Потеря коэффициента 1/3 у пирамид и конусов Объём пирамиды или конуса вычисляют как $S_{\text{осн}} \cdot h$, забывая разделить результат на $3$\. Это приводит к завышению ответа ровно в три раза\! ##### Половина хорды вместо целой стороны сечения В задаче о сечении цилиндра находят катет $AH = 15$ по теореме Пифагора и сразу умножают его на образующую $10$, забывая удвоить хорду основания \($AB = 2 \cdot 15 = 30$\)\. ##### Путаница диагонали грани с ребром В параллелепипеде перемножают все три заданных в условии числа \($3 \cdot 5 \cdot \sqrt{34}$\), не замечая, что $\sqrt{34}$ — это диагональ боковой грани, а не третье измерение тела\. ## Тренажёры по 13 заданию базового ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie). Тренажёры по 13 заданию базового ЕГЭ по математике включают в себя все задания на стереометрию из открытого банка ФИПИ и сборников для подготовки к экзамену\. Для каждого задания вы найдете подробное решение и пошаговое объяснение, чтобы лучше запомнить теорию и формулы\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/13-zadanie).