> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 15 задание ЕГЭ по математике база \- разбор и задачи **Задание 15 ЕГЭ по математике базового уровня** входит в блок практических текстовых задач и приносит **1 первичный балл**\. Оно проверяет умение оперировать понятиями **частей, долей, отношений и процентов** в контексте реальных жизненных ситуаций: расчёта скидок и наценок в магазинах, начисления банковских процентов, определения доли голосов на выборах, состава сплавов или распределения площадей\. Многие выпускники, сдающие базовый ЕГЭ по математике путают, когда величину нужно умножать на дробь, когда делить, а когда составлять пропорцию\. На этой странице подробно разобраны законы работы с долями и частями, классический алгоритм нахождения части от целого и целого по его части, а также **все 3 фундаментальных типа задач на проценты** с пошаговыми примерами из открытого банка ФИПИ\. Отработать навыки решения задач пятнадцатого номера помогут [тренажёры Задания 15 базового ЕГЭ по математике](#zadaniye-15-ege-baza-na-platforme-ekzameo) с мгновенной проверкой ответов\. ## Основные виды 15 задания на базовом ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie). ### Задачи на доли и части **Доля** — это одна из равных частей, на которые разделено единое целое \(например, $\frac{1}{2}$ — половина, $\frac{1}{3}$ — треть, $\frac{1}{4}$ — четверть\)\. **Часть** выражается обыкновенной дробью $\dfrac{m}{n}$ или десятичной дробью, где знаменатель $n$ показывает, на сколько равных долей разделили целое, а числитель $m$ — сколько таких долей взяли\. В задачах на части встречаются две взаимно обратные операции: ##### 1 Нахождение части от целого Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью $\frac{m}{n}$, нужно **умножить целое число на эту дробь**: $$ B = A \cdot \dfrac{m}{n} $$ • *Смысл:* целое число $A$ делим на $n$ равных долей и умножаем на $m$\. ##### 2 Нахождение целого по его части Чтобы найти целое число по известной его части $B$, составляющей дробь $\frac{m}{n}$, нужно **разделить эту часть на дробь**: $$ A = B : \dfrac{m}{n} = B \cdot \dfrac{n}{m} $$ • *Смысл:* число $B$ делим на $m$ \(находим одну долю\) и умножаем на $n$ \(все доли\)\. Смысл всех этих делений и умножений заключается в одном \- вам нужно найти одну часть или долю и затем просто умножить на необходимое количество долей Место под иллюстрацию: круговая диаграмма или отрезок, разбитый на равные доли, показывающий переход от целого к части умножением на $\frac{m}{n}$ и обратно делением на $\frac{m}{n}$\. **Условие:** В школьной библиотеке $480$ учебников\. Учебники по математике составляют $\dfrac{3}{8}$ всех книг, а остальное — учебники по гуманитарным предметам\. Сколько учебников по гуманитарным предметам в библиотеке? **Способ 1 \(через количество учебников\):** 1\) Найдём количество учебников по математике \(часть от числа\): 480 \- это общее число учебников\. Учебники по математике составляют $\dfrac{3}{8}$ \- значит всего 8 частей, найдем сначала одну часть\. $$ 480:8=60 $$ Учебники по математике это $\dfrac{3}{8}$ от общего числа, то есть 3 части из 8, значит надо одну часть умножить на 3 $$ 60\cdot3 = 180 $$ Эти же вычисления можно провести в одно действие, умножив на дробь, фактически умножая на $\dfrac{3}{8}$ вы умножаете на 3 и делите на 8\. $$ 480 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{480 \cdot 3}{8} = 60 \cdot 3 = 180\text{ учебников} $$ 2\) Чтобы найти количество учебников по гуманитарным предметам нужно вычесть учебники по математике из общего количества: $$ 480 - 180 = 300\text{ учебников} $$ **Способ 2 \(через доли\):** 1\) Всё количество книг принимаем за $1$ \(единое целое\)\. Доля гуманитарных предметов равна: $$ 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} $$ 2\) Найдём $\dfrac{5}{8}$ от общего числа $480$: $$ 480 \cdot \dfrac{5}{8} = 60 \cdot 5 = 300\text{ учебников} $$ **Ответ:** $300$\. ### Проценты в базовом ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie). Одна из самых нужных вещей в математике это проценты, в базе они используются не только в 15 задании, давайте разберем что это: **Процент \(**$1\%$**\)** — это просто специальное название для **одной сотой части** величины: $$ 1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01 \implies p\% = \dfrac{p}{100} = 0{,}01 \cdot p $$ Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно число процентов разделить на $100$ \(например, $25\% = 0{,}25$; $5\% = 0{,}05$; $140\% = 1{,}4$\)\. Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, её нужно умножить на $100\%$\. В открытом банке ФИПИ по базовому ЕГЭ по математике существует ровно **три фундаментальных типа задач на проценты**: ##### Вид задачи на проценты ##### Расчётная формула ##### Смысл и пример вопроса **1\. Нахождение процента от числа** \(дано целое $A$ и процент $p\%$\) $$ B = A \cdot \dfrac{p}{100} $$ Переводим $p\%$ в дробь и умножаем на число $A$\. *«Товар стоил *$800$* руб\. На распродаже скидка составила *$15\%$*\. Сколько рублей составляет скидка?»* **2\. Нахождение целого числа по проценту** \(известна часть $B$, равная $p\%$\) $$ A = \dfrac{B}{\frac{p}{100}} = \dfrac{B \cdot 100}{p} $$ Делим известную часть $B$ на процент, выраженный дробью\. *«В классе *$6$* отличников, что составляет *$20\%$* всех учеников\. Сколько всего учеников в классе?»* **3\. Нахождение процентного соотношения чисел** \(сколько процентов число $A$ составляет от $B$\) $$ P = \dfrac{A}{B} \cdot 100\% $$ Делим число $A$ на базовое число $B$ \(то, **от которого** ищется процент\!\) и умножаем на $100\%$\. *«Из *$50$* бросков баскетболист попал *$35$* раз\. Какой процент попаданий?»* Первый и второй вид 15 задания на проценты направлены на нахождение сначала одного процента, а потом на нахождение нужного количества процентов\. Для всех видов заданий всегда можно пользоваться правилом пропорции, давайте подробно его разберем ##### Метод пропорции Если формулу или вид задачи трудно вспомнить, запишите условие пропорцией крест\-накрест:  Отсюда неизвестный член находится по правилу креста: произведение известной диагонали делим на оставшееся число\. #### Лайфхаки для задания 15 базового ЕГЭ\! 1\. **Изменение величины в один шаг \(множитель\):** Если число увеличилось на $p\%$, умножьте его сразу на $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$\. Например, подорожание на $18\%$ — умножаем на $1{,}18$\. Если число уменьшилось на $p\%$, умножьте его сразу на $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$\. Например, скидка $25\%$ — умножаем на $0{,}75$\. 2\. **Что брать за **$100\%$**?** За $100\%$ всегда принимается та величина, **с которой сравнивают** \(после предлогов «от», «по сравнению с», «чем»\)\. Если цена снизилась по сравнению с первоначальной, то $100\%$ — это **первоначальная цена**\. 3\. **:** Рассмотрим все три прототипа 15 заданий из базы ЕГЭ по математике на проценты: **Задание:** Футболка стоила $1200$ рублей\. Во время сезонной распродажи её цена снизилась на $15\%$\. Сколько рублей стала стоить футболка во время распродажи? **Подробное решение:** 1\) **Способ 1 \(через размер скидки\):** • Найдём величину скидки в рублях \($15\%$ от $1200$ руб\.\): $$ 1200 : 100 \cdot 15 = 1200 \cdot \dfrac{15}{100} = 12 \cdot 15 = 180\text{ рублей} $$ • Вычтем скидку из первоначальной цены: $$ 1200 - 180 = 1020\text{ рублей} $$ 2\) **Способ 2 \(в одно действие через процент остатка\):** Изначальная стоимость составляла $100\%$\. Новая цена составляет: $$ 100\% - 15\% = 85\% = 0{,}85 $$ Умножим исходную цену на коэффициент $0{,}85$: $$ 1200 \cdot 0{,}85 = 1020\text{ рублей} $$ **Ответ:** $1020$\. **Задание:** В городе $42\,000$ жителей составляют дети и подростки\. Это составляет $28\%$ всего населения города\. Сколько всего жителей в этом городе? **Подробное решение:** 1\) Нам известна часть \($42\,000$ человек\) и её процентная доля \($28\%$\)\. Требуется найти целое \($100\%$\)\. 2\) Переведём процент в десятичную дробь: $28\% = 0{,}28$\. 3\) Разделим часть на дробь: $$ A = \dfrac{42\,000}{0{,}28} = \dfrac{4\,200\,000}{28} $$ 4\) Сократим дробь на $14$: $$ \dfrac{4\,200\,000}{28} = \dfrac{300\,000}{2} = 150\,000\text{ жителей} $$ *\(Проверка через пропорцию: *$\dfrac{42\,000 \cdot 100}{28} = 150\,000$*\)\.* **Ответ:** $150000$\. **Задание:** В избирательном округе зарегистрировано $25\,000$ избирателей\. В выборах приняли участие $16\,500$ человек\. Найдите явку избирателей на выборах \(в процентах\)\. **Подробное решение:** 1\) Требуется найти, сколько процентов число явившихся избирателей \($A = 16\,500$\) составляет от общего числа избирателей \($B = 25\,000$\)\. 2\) Составим отношение и умножим на $100\%$: $$ P = \dfrac{16\,500}{25\,000} \cdot 100\% $$ 3\) Упростим вычисления: сократим на $100$ и на $10$: $$ \dfrac{165}{250} \cdot 100\% = \dfrac{165 \cdot 10}{25} = \dfrac{1650}{25} = 66\% $$ **Ответ:** $66$\. #### Пошаговый алгоритм решения Задания 15 При выполнении Задания 15 на экзамене придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите тип математической модели:** задача на доли/части \(обыкновенные дроби\) или на проценты\. Определите, какая величина принимается за целое \($1$ или $100\%$\)\. **Классифицируйте вид задачи:** • найти часть/процент от известного числа $\implies$ умножение; • найти исходное целое по известной части $\implies$ деление; • найти долю/процент одного числа от другого $\implies$ деление чисел и перевод в проценты\. **Выполните расчёт и запишите ответ в бланк № 1:** запишите результат в виде целого числа или конечной десятичной дроби \(знак процента «$\%$» в бланк не пишется\)\. ## Тренажёры по Заданию 15 базового ЕГЭ на Экзамео Ниже собраны все прототипы 15 задания базового ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с пояснениями и подробными решениями двумя способами\. Для каждого задания доступна автоматическая проверка\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/15-zadanie).