> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 16 задание ЕГЭ по математике база На этой странице представлен разбор **16 задания ЕГЭ по математике базового уровня** \- всех виды числовых и алгебраических выражений из открытого банка ФИПИ, собраны все свойства степеней, корней, логарифмов и тригонометрических выражений\. После теории вы найдете [тренажёры с подробными решениями и автопроверкой ответов](#trenazher-i-test-16-zadanie-baza-ekzameo)\. В структуре базового экзамена **ЕГЭ математика база 16 задание** проверяет умение выпускников выполнять тождественные преобразования и находить точные числовые значения выражений, принося 1 первичный балл\. В отличие от уравнений, здесь нет знака равенства с неизвестной переменной: дано конкретное составное выражение, которое требуется упростить до одного числа\. Главное преимущество задания — все иррациональности, корни, логарифмы и тригонометрические функции обязаны взаимно уничтожиться или сократиться, дав в итоге простое целое число или конечную десятичную дробь\. ##### Формат и специфика: 16 задание ЕГЭ математика база • **Четыре ключевых блока выражений:** действия со степенями \(включая отрицательные и дробные показатели\), преобразование квадратных корней и внесение под общий радикал, свойства логарифмов \(вынесение степеней и основное логарифмическое тождество\), а также тригонометрические формулы \(основное тригонометрическое тождество, углы больше 360° и связь тангенса с котангенсом\)\. • **Контроль знака тригонометрических функций:** при нахождении косинуса через синус обязательно учитывайте четверть единичной окружности \(например, во второй четверти от 90° до 180° косинус принимает строго отрицательные значения\)\. • **Форма ответа:** целое число или конечная десятичная дробь \(никаких знаков корней, логарифмов или $\pi$ в бланке быть не может\)\. ## Все виды выражений 16 задания базового ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie). Все прототипы задания 16 из открытого банка ФИПИ разделяются на четыре основных математических раздела: Вид 1 ##### Степени и показатели Дроби с одинаковыми или кратными основаниями, умножение степеней при возведении и деление с вычитанием отрицательных показателей\. Вид 2 ##### Квадратные корни Раскрытие скобок с корнями, перемножение иррациональностей и деление с внесением под общий радикал для получения точного квадрата\. Вид 3 ##### Логарифмические выражения Использование основного тождества $a^{\log_a b} = b$, разложение степени с разностью в показателе и сокращение одинаковых логарифмов\. Вид 4 ##### Тригонометрия Произведение тангенса и котангенса одного аргумента, вычисление значений углов за пределами первого оборота и поиск косинуса через основное тождество\. ### Теоретическая база и справочные формулы Перед переходом к разбору прототипов повторите ключевые формулы, скрытые в тематические блоки: • **Произведение степеней с одинаковым основанием:** $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$\. • **Деление степеней с одинаковым основанием:** $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$\. • **Возведение степени в степень:** $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$\. • **Отрицательная степень:** $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, соответственно $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$\. • **Разложение разности в показателе:** $a^{m - n} = \dfrac{a^m}{a^n}$\. • **Корень из произведения:** $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ \(при $a \ge 0, b \ge 0$\)\. • **Корень из частного:** $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ \(при $a \ge 0, b > 0$\)\. • **Квадрат корня:** $(\sqrt{a})^2 = a$ \(при $a \ge 0$\)\. • **Вынесение множителя из\-под знака корня:** $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$\. • **Основное логарифмическое тождество:** $a^{\log_a b} = b$\. • **Вынесение степени аргумента:** $\log_a (b^k) = k \cdot \log_a b$\. • **Логарифм основания:** $\log_a a = 1$\. • **Степень с вычитанием в показателе:** $a^{\log_a b - c} = \dfrac{a^{\log_a b}}{a^c} = \dfrac{b}{a^c}$\. • **Основное тригонометрическое тождество:** $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$\. • **Произведение тангенса и котангенса одного угла:** $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$\. • **Периодичность функций:** период синуса и косинуса равен $360^\circ$: $\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos \alpha$\. • **Табличные значения:** $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$\. ### Практический разбор прототипов 16 задания > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie). Ниже приведены подробные решения типовых заданий, охватывающих все возможные конструкции экзаменационного номера: **Задание:** Найдите значение выражения $\dfrac{9^4}{3^5} : 3^2$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Приведём основание $9$ к степени с основанием $3$: $$ 9 = 3^2 \implies 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 $$ 2\) Выполним деление в дроби $\dfrac{3^8}{3^5}$, вычитая показатели степеней: $$ \dfrac{3^8}{3^5} = 3^{8 - 5} = 3^3 $$ 3\) Разделим полученный результат на $3^2$: $$ 3^3 : 3^2 = 3^{3 - 2} = 3^1 = 3 $$ **Ответ:** 3\. **Задание:** Найдите значение выражения $\dfrac{(3^{-2})^3}{3^{-9}}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Раскроем скобки в числителе по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ (3^{-2})^3 = 3^{(-2) \cdot 3} = 3^{-6} $$ 2\) Применим деление степеней $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$, помня, что вычитание отрицательного числа даёт плюс: $$ \dfrac{3^{-6}}{3^{-9}} = 3^{-6 - (-9)} = 3^{-6 + 9} = 3^3 $$ 3\) Вычислим куб тройки: $$ 3^3 = 27 $$ **Ответ:** 27\. **Задание:** Найдите значение выражения $(\sqrt{75} - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Разложим подкоренное число $75$ на множители $25 \cdot 3$ и вынесем пятёрку из\-под корня: $$ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} $$ 2\) Выполним вычитание подобных слагаемых в скобках: $$ 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $$ 3\) Умножим полученное значение на $\sqrt{3}$: $$ 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 $$ *\(Альтернативный способ через распределительный закон: *$\sqrt{75} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{225} - 3 = 15 - 3 = 12$*\)*\. **Ответ:** 12\. **Задание:** Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{300}}{\sqrt{12}}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Объединим числитель и знаменатель под один общий знак радикала: $$ \dfrac{\sqrt{300}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\dfrac{300}{12}} $$ 2\) Сократим подкоренную дробь: $$ \dfrac{300}{12} = 25 $$ 3\) Извлечём квадратный корень из точного квадрата: $$ \sqrt{25} = 5 $$ **Ответ:** 5\. **Задание:** Найдите значение выражения $3^{\log_3 18 - 2}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Разобьём разность в показателе на отношение двух степеней: $$ 3^{\log_3 18 - 2} = \dfrac{3^{\log_3 18}}{3^2} $$ 2\) Применим к числителю основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 3^{\log_3 18} = 18 $$ 3\) Возведём тройку в квадрат в знаменателе: $3^2 = 9$\. 4\) Найдём частное: $$ \dfrac{18}{9} = 2 $$ **Ответ:** 2\. **Задание:** Найдите значение выражения $\dfrac{\log_7 (13^8)}{4\log_7 13}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Вынесем показатель степени $8$ из аргумента логарифма в числителе как множитель: $$ \log_7 (13^8) = 8 \cdot \log_7 13 $$ 2\) Запишем всю дробь целиком: $$ \dfrac{8 \cdot \log_7 13}{4 \cdot \log_7 13} $$ 3\) Сократим одинаковый логарифмический множитель $\log_7 13 \neq 0$: $$ \dfrac{8}{4} = 2 $$ **Ответ:** 2\. **Задание:** Найдите значение выражения $5 \cdot \text{tg}\,37^\circ \cdot \text{ctg}\,37^\circ$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Воспользуемся базовым тождеством связи тангенса и котангенса для одинакового угла: $$ \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1 $$ 2\) Так как углы одинаковы и равны $37^\circ$, произведение функций даёт единицу: $$ \text{tg}\,37^\circ \cdot \text{ctg}\,37^\circ = 1 $$ 3\) Умножим полученную единицу на числовой коэффициент: $$ 5 \cdot 1 = 5 $$ **Ответ:** 5\. **Задание:** Найдите значение выражения $8\sqrt{3}\cos 390^\circ$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Выделим период $360^\circ$ из аргумента косинуса: $$ 390^\circ = 360^\circ + 30^\circ $$ 2\) Отбросим полный период $360^\circ$ по свойству периодичности: $$ \cos 390^\circ = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ $$ 3\) Подставим табличное значение $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $$ 8\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{8 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = 4 \cdot 3 = 12 $$ **Ответ:** 12\. **Задание:** Найдите $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = 0{,}6$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$\. **Пошаговый разбор:** 1\) По основному тригонометрическому тождеству выразим квадрат косинуса: $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ 2\) Подставим значение синуса: $$ \cos^2 \alpha = 1 - 0{,}6^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 $$ 3\) Определим знак косинуса по заданной четверти: Угол $\alpha$ лежит в интервале $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти\. Во второй четверти косинус принимает строго **отрицательные** значения \($\cos \alpha < 0$\)\. 4\) Извлечём корень с учётом отрицательного знака: $$ \cos \alpha = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8 $$ **Ответ:** \-0,8\. ### Пошаговый алгоритм решения 16 задания Чтобы не запутаться в многоэтажных формулах, придерживайтесь чёткой последовательности шагов: ### Порядок действий **Определите математическую природу выражения:** выясните, с чем вы работаете — со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрией\. **Приведите элементы к общему основанию или аргументу:** составные числа разложите на простые множители \($9 \to 3^2$, $4 \to 2^2$\), корни объедините под один радикал, а углы тригонометрии приведите к первой четверти отбрасыванием полных периодов $360^\circ$\. **Примените базовое тождество:** используйте формулы сложения/вычитания степеней, вынесение показателя логарифма или тождество $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$\. **Переведите обыкновенную дробь в десятичную:** убедитесь, что ответ представлен в виде целого числа или конечной десятичной дроби \(например, $\frac{2}{5} \to 0{,}4$\)\. ### Ошибкоопасные места в 16 задании > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie). При выполнении 16 номера выпускники чаще всего спотыкаются на трёх ошибкоопасных ситуациях: ##### Игнорирование знака четверти При извлечении корня из $\cos^2 \alpha$ забывают проверить интервал угла\. Во второй четверти \($90^\circ < \alpha < 180^\circ$\) косинус отрицателен, поэтому перед числом обязательно ставится знак минус\. ##### Ошибки с двойным минусом в степенях При вычислении $3^{-6} : 3^{-9}$ ошибочно складывают модули и получают показатель $-15$ вместо верного $-6 - (-9) = -6 + 9 = 3$\. Деление на отрицательную степень всегда меняет знак на плюс\! ##### Неправильное раскрытие степени с логарифмом В выражении $3^{\log_3 18 - 2}$ вычитают двойку напрямую из 18, получая 16\. Разность в показателе степени раскладывается исключительно через деление степеней: $3^{\log_3 18} : 3^2 = 18 : 9 = 2$\. ## Тренажёры по 16 заданию базового ЕГЭ на Экзамео В тренажерах собраны абсолютно все прототипы уравнений, которые могут встретиться на реальном экзамене по базовой математике в 2027 году\. В каждом тренажере вы найдете большое количество вариантов, подробные решения с объяснениями и проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/16-zadanie).