> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 17 ЕГЭ по базовой математике На этой странице представлен разбор по **17 заданию ЕГЭ базового уровня по математике**, все виды уравнений из официального банка ФИПИ, систематизированы правила работы со степенями, корнями и логарифмами, показаны приёмы быстрой проверки корней и открыт доступ к [тренажёрам с проверкой ответов и подробными решениями](#trenazher-i-test-17-zadanie-baza-ekzameo)\. В структуре базового экзамена по математике **17 задание** проверяет умение выпускников находить корни уравнений различных типов и приносит 1 первичный балл\. В отличие от профильного уровня, здесь не встречаются громоздкие системы или расщепляющиеся тригонометрические конструкции: каждое уравнение сводится к элементарному линейному или квадратному соотношению\. Главная задача — аккуратно выполнить преобразования, не потерять знак минус и проверить ограничения ОДЗ при наличии дробей, корней или логарифмов\. ##### Формат и специфика: 17 задание ЕГЭ математика база • **Шесть ключевых категорий:** линейные, квадратные \(с выбором меньшего или большего корня\), кубические \(со снятием одинаковой нечётной степени\), иррациональные \(с корнем\), простейшие дробно\-рациональные \(с переменной в знаменателе\), а также базовые показательные и логарифмические уравнения\. • **Указание в условии при двух корнях:** если квадратное уравнение имеет два корня, в формулировке всегда строго указано: *«Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший \(или больший\) из корней»*\. • **Форма записи ответа:** в бланк заносится целое число или конечная десятичная дробь \(знак минус и запятая пишутся в отдельных клетках\)\. ## Все виды уравнений 17 задания базового ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie). Все прототипы 17 задания открытого банка ФИПИ можно разделить на шесть основных алгебраических групп: Вид 1 ##### Линейные и дробные Уравнения вида $ax + b = 0$ или $\frac{a}{bx + c} = d$\. Дробные решаются умножением крест\-накрест по правилу пропорции с исключением нуля в знаменателе\. Вид 2 ##### Квадратные и кубические Квадратные $ax^2 + bx + c = 0$ решаются через дискриминант или теорему Виета\. В кубических $(x - a)^3 = b^3$ просто извлекается кубический корень из обеих частей\. Вид 3 ##### Иррациональные \(с корнем\) Уравнения вида $\sqrt{ax + b} = c$\. Решаются возведением обеих частей в квадрат: $ax + b = c^2$ \(при обязательном условии $c \ge 0$\)\. Вид 4 ##### Показательные уравнения Уравнения вида $a^{f(x)} = a^c$ или $a^{f(x)} = b$\. Числа приводятся к единому основанию степени, после чего показатели просто приравниваются: $f(x) = c$\. Вид 5 ##### Логарифмические уравнения Уравнения вида $\log_a (bx + c) = d$\. По определению логарифма переходят к степени: $bx + c = a^d$ с проверкой положительности подлогарифмического выражения\. ### Теория для решения всех видов уравнений Перед переходом к практике повторите формулы, на которых строятся преобразования в 17 задании: • **Отрицательный показатель:** $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, в частности $\left(\dfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ и $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}$\. • **Возведение степени в степень:** $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$\. Например: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, а $27^{x-1} = (3^3)^{x-1} = 3^{3x - 3}$\. • **Умножение и деление степеней:** $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$\. • **Нулевая степень:** любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$\. • **Определение логарифма:** $\log_a b = c \iff a^c = b$ \(при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$\)\. • **Логарифм числа по тому же основанию:** $\log_a a = 1$, а логарифм единицы равен нулю: $\log_a 1 = 0$\. • **Сумма и разность логарифмов:** $$ \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y), \quad \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) $$ • **Потенцирование:** если $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, то $f(x) = g(x)$ при условии $f(x) > 0$\. • Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен: $\sqrt{A} \ge 0$\. Поэтому в уравнении $\sqrt{f(x)} = c$ число $c$ обязано быть $\ge 0$\. Если справа стоит отрицательное число \(например, $\sqrt{2x + 1} = -5$\), уравнение сразу не имеет действительных корней\. • При возведении обеих частей в квадрат $(\sqrt{f(x)})^2 = c^2 \implies f(x) = c^2$\. Так как $c^2 \ge 0$, подкоренное выражение автоматически становится неотрицательным, однако контрольная подстановка корня в исходное уравнение остаётся обязательной\. #### Примеры решения прототипов 17 задания из банка ФИПИ Ниже приведены подробные решения реальных уравнений из открытого банка базового ЕГЭ по математике: **Задание \(ФИПИ\):** Найдите корень уравнения $\dfrac{1}{3x - 4} = \dfrac{1}{5}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Так как числители дробей одинаковы и равны $1$, их знаменатели также обязаны быть равны между собой \(при условии, что знаменатель не равен нулю: $3x - 4 \neq 0$\): $$ 3x - 4 = 5 $$ 2\) Перенесём $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $$ 3x = 5 + 4 \implies 3x = 9 $$ 3\) Разделим обе части на $3$: $$ x = \dfrac{9}{3} = 3 $$ 4\) Проверка: $\dfrac{1}{3 \cdot 3 - 4} = \dfrac{1}{9 - 4} = \dfrac{1}{5}$ — верно\. **Ответ:** 3\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$\. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней\. **Пошаговый разбор:** 1\) Определим коэффициенты квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$\. 2\) Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ 3\) Найдём корни: $$ x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 - 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 + 3}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 $$ 4\) В условии требуется указать **меньший** из корней\. Сравниваем: $2 < 5$, значит в ответ записываем число $2$\. **Ответ:** 2\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите корень уравнения $(x - 2)^3 = -125$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Представим правую часть в виде третьей степени: $$ -125 = (-5)^3 $$ 2\) Уравнение принимает вид: $$ (x - 2)^3 = (-5)^3 $$ 3\) Так как степень $3$ нечётная, функция $y = t^3$ строго монотонна, и из равенства кубов следует равенство оснований \(без появления знака $\pm$\): $$ x - 2 = -5 $$ 4\) Перенесём $-2$ вправо: $$ x = -5 + 2 \implies x = -3 $$ **Ответ:** \-3\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите корень уравнения $\sqrt{15 - 2x} = 3$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Правая часть равна $3 \ge 0$, значит уравнение имеет действительные корни\. Возведём обе части уравнения во вторую степень: $$ (\sqrt{15 - 2x})^2 = 3^2 $$ $$ 15 - 2x = 9 $$ 2\) Перенесём число $15$ в правую часть: $$ -2x = 9 - 15 \implies -2x = -6 $$ 3\) Разделим обе части на $-2$: $$ x = \dfrac{-6}{-2} = 3 $$ 4\) Проверим корень подстановкой: $\sqrt{15 - 2 \cdot 3} = \sqrt{15 - 6} = \sqrt{9} = 3$ — верно\. **Ответ:** 3\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите корень уравнения $4^{x - 3} = \dfrac{1}{64}$\. **Пошаговый разбор:** 1\) Приведём обе части уравнения к одинаковому основанию $4$: $$ 64 = 4^3 \implies \dfrac{1}{64} = 4^{-3} $$ 2\) Запишем равенство степеней: $$ 4^{x - 3} = 4^{-3} $$ 3\) Так как основания одинаковы и равны $4$, приравняем их показатели: $$ x - 3 = -3 $$ 4\) Перенесём $-3$ вправо с противоположным знаком: $$ x = -3 + 3 \implies x = 0 $$ **Ответ:** 0\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите корень уравнения $\log_3 (4 - x) = 4$\. **Пошаговый разбор:** 1\) По определению логарифма перейдём к показательному выражению: $$ 4 - x = 3^4 $$ 2\) Вычислим значение степени: $3^4 = 81$: $$ 4 - x = 81 $$ 3\) Перенесём $4$ в правую часть: $$ -x = 81 - 4 \implies -x = 77 \implies x = -77 $$ 4\) Проверка ОДЗ: подставим $x = -77$ под логарифм: $4 - (-77) = 4 + 77 = 81 > 0$\. Значение строго положительно, корень верен\. **Ответ:** \-77\. ### Как решать 17 задание ЕГЭ математика база > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie). Чтобы избежать случайных ошибок при вычислении корней, придерживайтесь универсального алгоритма действий: **Определите тип уравнения:** по внешнему виду выделите, с чем вы работаете — с дробью, корнем, степенью или логарифмом\. **Примените обратную операцию:** корень снимите возведением в квадрат, логарифм переведите в степень по определению, а показательное уравнение сведите к одинаковым основаниям с обеих сторон\. **Решите получившееся линейное или квадратное уравнение:** аккуратно найдите корни, обращая внимание на знаки при переносе через равенство\. **Сделайте проверку подстановкой:** подставьте полученное число в самое исходное условие и убедитесь, что равенство сходится, а знаменатели и выражения под логарифмами не нарушают ОДЗ\. **Перечитайте требование к ответу:** если корней два, проверьте, какой именно корень требуется записать в бланк — **меньший** или **больший**\. ### Распространенные ошибки в 17 задании При анализе результатов базового экзамена чаще всего выявляются три типичные ошибки: ##### Запись большего корня вместо меньшего Получив корни квадратного уравнения $2$ и $5$, ученики невнимательно читают вопрос и выписывают больший корень $5$, когда в условии прямо просили записать меньший\. ##### Потеря минуса при делении В уравнениях вида $-2x = -6$ или $-x = 77$ допускают механическую ошибку со знаком, получая $x = -3$ вместо $+3$ или $x = 77$ вместо $-77$\. ##### Ошибки с отрицательной степенью Перевод дроби $\frac{1}{64}$ в основание $4$ путают с положительной степенью $4^3$ вместо $4^{-3}$, из\-за чего показатель получает неверный знак\. ## Тренажёры по 17 заданию базового ЕГЭ на Экзамео Чтобы закрепить навыки нахождения корней, переходите к онлайн\-тренажёру платформы Экзамео\. Вы найдете задания по всем видам уравнений в 17 задании базового ЕГЭ по математике с подробными решениями и проверкой ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/17-zadanie).