> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 19 задание ЕГЭ по математике база На этой странице представлен исчерпывающий разбор темы **задание 19 ЕГЭ математика база**, где систематизированы **все типы 19 задания ЕГЭ база** из официального банка ФИПИ, изложена наглядная теория признаков делимости целых чисел, описаны быстрые приёмы подбора ответов и открыт доступ к [интерактивному онлайн\-тренажёру с моментальной проверкой ответов](#trenazher-i-test-19-zadanie-baza-ekzameo)\. В структуре базового экзамена **ЕГЭ база 19 задание** относится к разделу элементарной теории чисел и приносит 1 первичный балл\. Для одиннадцатиклассников важно понимать специфику формулировок: почти в каждом условии сказано «в ответе запишите какое\-нибудь одно такое число»\. Это означает, что правильных вариантов у задачи может быть несколько десятков, а проверяющая система засчитает любое число, удовлетворяющее всем заявленным условиям\. Чтобы стабильно забирать этот балл, достаточно твёрдо знать классические признаки делимости, формулу деления с остатком и алгоритмы поразрядного конструирования чисел\. ##### Формат и специфика: 19 задание ЕГЭ математика база • **Суть номера:** подбор или конструирование трёхзначного, четырёхзначного или пятизначного натурального числа, которое делится на заданное составное число \(например, на 12, 15, 18, 24, 45\), даёт равные остатки при делении или удовлетворяет балансу между суммой и произведением своих цифр\. • **Форма ответа:** в бланк заносится ровно одно целое натуральное число без пробелов, запятых, пояснений и кавычек\. • **Главное правило составных чисел:** если делитель составной, его раскладывают на взаимно простые множители \(без общих делителей\)\. Например, делимость на 15 — это одновременная делимость на 3 и на 5; делимость на 24 — это одновременная делимость на 3 и на 8\. ## Все типы 19 задания ЕГЭ база > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie). Если проанализировать официальный банк ФИПИ, можно выделить пять основных математических моделей 19 задания: Тип 1 ##### Вычёркивание цифр Дано длинное число \(7–8 знаков\)\. Нужно вычеркнуть 3 цифры так, чтобы оставшееся делилось на 12, 15, 18, 30 или 45\. Начинают всегда с последней цифры\! Тип 2 ##### Равные остатки Число при делении на $a$ и на $b$ даёт одинаковый ненулевой остаток $r$\. Число строится по формуле: $N = \text{НОК}(a, b) \cdot k + r$\. Тип 3 ##### Сумма и произведение цифр Сумма цифр пятизначного числа равна их произведению\. Решается методом единиц: произведение небольшое, поэтому большинство цифр обязано быть единицами\. Тип 4 ##### Диапазон и сумма цифр Найти число в интервале \(например, от 1500 до 2000\), делящееся на 24, сумма цифр которого фиксирована\. Фиксируют первую цифру и перебирают окончания\. Тип 5 ##### Карточки с цифрами Составление суммы однозначного, двузначного и трёхзначного чисел из выданного набора карточек с условием делимости на 10 и неделимости на 20\. ### Теория: признаки делимости чисел Признак делимости позволяет быстро определить, делится ли число нацело на другое число, не выполняя деления уголком в столбик\. Ниже представлена полная справочная таблица базовых и составных признаков делимости: ##### Делитель ##### Формулировка признака ##### Пример **На 2** Последняя цифра числа чётная \(оканчивается на $0, 2, 4, 6, 8$\)\. $1574$ делится, так как оканчивается на 4\. **На 3** Сумма всех цифр числа делится на 3\. $234$: $2 + 3 + 4 = 9$ \(делится на 3\)\. **На 4** Число из двух последних цифр делится на 4 \(или оканчивается на $00$\)\. $5736$: $36$ делится на 4\. **На 5** Последняя цифра числа равна $0$ или $5$\. $1285$ делится на 5\. **На 6** Число одновременно чётное \(делится на 2\) и сумма цифр делится на 3\. $516$: чётное, сумма цифр $5+1+6=12$\. **На 8** Число, образованное тремя последними цифрами, делится на 8\. $15\ 128$: $128 : 8 = 16$ \(делится\)\. **На 9** Сумма всех цифр числа делится на 9\. $7884$: $7 + 8 + 8 + 4 = 27$ \(делится на 9\)\. **На 10** Последняя цифра строго равна $0$\. $12\ 490$ делится на 10\. **На 12** Число делится на 3 \(сумма цифр\) и на 4 \(две последние цифры\)\. $432$: сумма цифр $9$, две последние цифры $32$\. **На 15** Число оканчивается на $0$ или $5$, и сумма его цифр делится на 3\. $2835$: на конце 5, сумма цифр $18$\. **На 18** Число чётное, и сумма его цифр делится на 9\. $3438$: чётное, сумма цифр $18$\. **На 24** Сумма цифр делится на 3, и три последние цифры образуют число, делящееся на 8\. $1560$: сумма $12$, $560 : 8 = 70$\. ### Разбор 19 задания ЕГЭ математика база: реальные прототипы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie). Ниже приведены подробные пошаговые разборы пяти официальных задач из демонстрационных вариантов и открытого банка ФИПИ, показывающие, **как решать 19 задание ЕГЭ база** с минимальными затратами времени: **Задание \(ФИПИ\):** Вычеркните в числе $26583542$ три цифры так, чтобы получившееся число делилось на $15$\. В ответе запишите какое\-нибудь одно получившееся число\. **Пошаговый разбор:** 1\) Разложим делитель 15 на множители: $15 = 3 \cdot 5$\. Число обязано делиться на 5 и на 3 одновременно\. 2\) **Шаг 1: Обеспечим делимость на 5\.** Число должно оканчиваться на 0 или на 5\. В исходном числе $26583542$ нулей нет, но есть цифры 5\. Последняя цифра сейчас 2, перед ней 4\. Значит, цифры 4 и 2 на конце нужно обязательно вычеркнуть\! После вычёркивания двух последних цифр число оканчивается на вторую пятёрку: $265835\dots$ Мы уже вычеркнули две цифры, осталось вычеркнуть ровно **одну** цифру\. 3\) **Шаг 2: Обеспечим делимость на 3\.** Сейчас перед нами цифры: $2, 6, 5, 8, 3, 5$\. Посчитаем их сумму: $2 + 6 + 5 + 8 + 3 + 5 = 29$\. Чтобы число делилось на 3, новая сумма цифр после удаления одной цифры должна делиться на 3\. Ближайшие числа, кратные 3 и меньшие 29: это 27, 24, 21\. • Если вычесть из 29 цифру 2, получим $29 - 2 = 27$ \(делится на 3\)\. Вычеркнем первую двойку\! Останутся цифры: $6, 5, 8, 3, 5$\. Число: $65835$\. Проверим: оканчивается на 5 \(делится на 5\), сумма цифр $6+5+8+3+5 = 27$ \(делится на 3\)\. Значит, $65835$ делится на 15\. • Если бы мы вычеркнули цифру 5 \(первую или вторую\), сумма стала бы $29 - 5 = 24$ \(тоже делится на 3\), что дало бы числа $26835$ или $26583$\. Но $26583$ оканчивается на 3 и на 15 не делится, а $26835$ оканчивается на 5 и подходит\! **Ответ:** 65835 \(или 26835\)\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $5$, и на $16$ даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является суммой двух других его цифр\. В ответе запишите какое\-нибудь одно такое число\. **Пошаговый разбор:** 1\) Обозначим остаток через $r$\. По правилу деления с остатком остаток строго меньше делителя: при делении на 5 остаток $r < 5$, а при делении на 16 остаток $r < 16$\. Так как остатки равны и ненулевые, возможные значения остатка: $r \in \{1, 2, 3, 4\}$\. 2\) Если число даёт одинаковый остаток $r$ при делении на 5 и на 16, то при вычитании $r$ число делится и на 5, и на 16\. Так как числа 5 и 16 взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно: $$ \text{НОК}(5, 16) = 5 \cdot 16 = 80 $$ Общий вид такого числа: $$ N = 80k + r, \quad \text{где } r \in \{1, 2, 3, 4\} $$ 3\) Число $N$ трёхзначное \(от 100 до 999\)\. Переберём значения $80k$: • $k = 2 \implies 80 \cdot 2 = 160$ • $k = 3 \implies 80 \cdot 3 = 240$ • $k = 4 \implies 80 \cdot 4 = 320$ • $k = 5 \implies 80 \cdot 5 = 400$ • $k = 6 \implies 80 \cdot 6 = 480$ 4\) Проверим условие по цифрам: «первая цифра равна сумме двух других» \($a = b + c$ для числа $\overline{abc}$\): • Возьмём базу $240$: первая цифра 2, сумма двух других $4 + r$\. Но $4 + r \ge 5 > 2$ — не подходит\. • Возьмём базу $320$: первая цифра 3, сумма двух других $2 + r$\. Если положить остаток $r = 1$, получим число: $$ N = 320 + 1 = 321 $$ Проверяем: первая цифра равна $3$, две другие цифры $2$ и $1$\. Их сумма: $2 + 1 = 3$\. Условие $3 = 2 + 1$ выполняется идеально\! Проверим остатки: $321 = 5 \cdot 64 + 1$ \(остаток 1\)\. $321 = 16 \cdot 20 + 1$ \(остаток 1\)\. • Возьмём базу $480$: $N = 480 + r$\. Если $r = 4$, $N = 484$ — не подходит\. • Возьмём базу $400$: $N = 400 + r \implies r = 4 \implies N = 404$\. Первая цифра 4, сумма двух других $0 + 4 = 4$\. $404 = 5 \cdot 80 + 4$ \(остаток 4\)\. $404 = 16 \cdot 25 + 4$ \(остаток 4\)\. Число $404$ тоже подходит\! **Ответ:** 321 \(или 404\)\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите четырёхзначное число, большее $1500$, но меньшее $2000$, которое делится на $24$ и сумма цифр которого равна $21$\. В ответе запишите какое\-нибудь одно такое число\. **Пошаговый разбор:** 1\) Число четырёхзначное и лежит в границах от 1500 до 2000\. Значит, его первая цифра гарантированно равна **1**: $\overline{1bcd}$\. 2\) Сумма всех четырёх цифр равна 21: $$ 1 + b + c + d = 21 \implies b + c + d = 20 $$ 3\) Разложим делитель 24 на взаимно простые множители: $24 = 3 \cdot 8$\. • Так как сумма цифр равна 21, а 21 делится на 3, то признак делимости на 3 выполняется автоматически для любых цифр с такой суммой\! • Число обязано делиться на 8\. По признаку делимости на 8 число из трёх последних цифр $\overline{bcd}$ должно делиться на 8 \(и обязательно оканчиваться на чётную цифру\)\. 4\) Так как число больше 1500, цифра сотен $b \ge 5$\. Переберём возможные значения $b$: • Пусть сотни $b = 9$: Тогда $c + d = 20 - 9 = 11$\. Цифра $d$ чётная\. Возможные пары $(c; d)$: $(9; 2)$, $(7; 4)$, $(5; 6)$, $(3; 8)$\. Составим трёхзначные числа $\overline{9cd}$ и проверим их делимость на 8: $992 : 8 = 124$ — делится нацело\! Проверяем исходное четырёхзначное число: **1992**\. • $1500 < 1992 < 2000$ — верно\. • Сумма цифр: $1 + 9 + 9 + 2 = 21$ — верно\. • Делимость на 24: $1992 : 24 = 83$ — делится нацело\! • Проверим пару $(5; 6) \implies 956 : 8 = 119{,}5$ \(нет\)\. • Проверим пару $(3; 8) \implies 938 : 8 = 117{,}25$ \(нет\)\. • Проверим пару $(7; 4) \implies 974 : 8 = 121{,}75$ \(нет\)\. • Пусть сотни $b = 7 \implies c + d = 13 \implies (5; 8) \implies 758 : 8$ \(нет\), $(7; 6) \implies 776 : 8 = 97$ \(делится\!\)\. Число **1776**: сумма цифр $1 + 7 + 7 + 6 = 21$, $1776 : 24 = 74$\. Число 1776 тоже подходит\! **Ответ:** 1992 \(или 1776\)\. **Задание \(ФИПИ\):** Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению\. В ответе запишите какое\-нибудь одно такое число\. **Пошаговый разбор:** 1\) Обозначим цифры числа: $a, b, c, d, e$\. Число чётное, значит его последняя цифра $e \in \{2, 4, 6, 8\}$ \(ноль быть не может, иначе произведение всех цифр станет 0, а сумма пяти цифр натурального числа всегда больше 0\)\. 2\) Произведение пяти цифр растёт очень быстро при увеличении цифр\. Чтобы произведение не превысило сумму, подавляющее большинство цифр обязано быть **единицами** \(умножение на 1 не увеличивает произведение, но прибавляет 1 к сумме\)\. 3\) Пусть три цифры равны 1: $a = 1, b = 1, c = 1$\. Тогда оставшиеся цифры обозначим как $x$ и $y$ \(одна из которых чётная\): $$ \text{Сумма} = 1 + 1 + 1 + x + y = 3 + x + y $$ $$ \text{Произведение} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot x \cdot y = x \cdot y $$ Приравняем их: $$ x y = x + y + 3 $$ 4\) Решим это уравнение в целых числах\. Перенесём переменные в одну сторону: $$ x y - x - y = 3 $$ Прибавим к обеим частям 1 для разложения на множители: $$ (x - 1)(y - 1) = 4 $$ 5\) Разложим число 4 на два целых множителя: • Вариант: $1 \cdot 4 = 4 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$, а $y - 1 = 4 \implies y = 5$\. Цифры числа: $1, 1, 1, 2, 5$\. Сумма: $1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 10$\. Произведение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$\. Сумма равна произведению\! • Вариант: $2 \cdot 2 = 4 \implies x - 1 = 2 \implies x = 3$, $y - 1 = 2 \implies y = 3$\. Цифры: $1, 1, 1, 3, 3$\. Сумма $9$, произведение $9$\. Но здесь нет ни одной чётной цифры, число не сможет быть чётным\. 6\) Составим чётное число из цифр $1, 1, 1, 5, 2$\. Чтобы число было чётным, цифра 2 обязана стоять на последнем месте\. Получаем число: **11152** \(или 11512, 15112, 51112\)\. **Ответ:** 11152\. **Задание \(ФИПИ\):** На шести карточках написаны цифры $5; 5; 6; 7; 8; 9$ \(по одной цифре на каждой карточке\)\. В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ квадратики заменили карточками из данного набора\. Оказалось, что полученная сумма делится на $10$, но не делится на $20$\. В ответе запишите какую\-нибудь одну такую сумму\. **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть сумма трёх чисел равна $S$\. По условию $S$ делится на 10, значит её последняя цифра равна $0$\. При этом $S$ **не делится на 20**\. Вспомним: числа, кратные 20, оканчиваются на чётный десяток \($00, 20, 40, 60, 80$\)\. Значит, чтобы число делилось на 10, но не делилось на 20, оно должно оканчиваться на **нечётный десяток**: $10, 30, 50, 70, 90$\! 2\) Сумма трёх слагаемых формируется из однозначного числа $a$, двузначного $\overline{bc}$ и трёхзначного $\overline{def}$: $$ S = a + (10b + c) + (100d + 10e + f) = (a + c + f) + 10(b + e) + 100d $$ 3\) Последняя цифра суммы определяется суммой последних цифр трёх слагаемых: $a + c + f$\. Сумма $a + c + f$ должна оканчиваться на 0 \(то есть быть равна 10 или 20\)\. Среди карточек $\{5, 5, 6, 7, 8, 9\}$ выберем три цифры с суммой, оканчивающейся на 0: • Возьмём $5 + 6 + 9 = 20$\. Тогда три последние цифры — это $5, 6, 9$\. Сумма единиц равна $20$, то есть $0$ пишем в разряд единиц, а $2$ переносим в разряд десятков\! 4\) Оставшиеся три карточки для старших разрядов: $\{5, 7, 8\}$\. Определим разряд десятков: он равен сумме $b + e$ плюс 2 из переноса\. Нам необходимо, чтобы десяток был **нечётным** \(чтобы не делилось на 20\)\. Возьмём в разряд десятков цифры $5$ и $8$: Сумма десятков: $5 + 8 + 2 (\text{перенос}) = 15$\. Пятёрка нечётная\! Переносим 1 в разряд сотен\. Тогда оставшаяся карточка $7$ пойдёт в разряд сотен $d = 7$\. 5\) Составим числа: Однозначное: $9$\. Двузначное: $56$\. Трёхзначное: $785$\. Сложим их: $$ 9 + 56 + 785 = 850 $$ Проверим полученное число 850: • $850 : 10 = 85$ \(делится на 10 нацело\)\. • $850 : 20 = 42{,}5$ \(не делится на 20\)\. Все условия выполнены\! В ответ записываем саму сумму — число 850\. **Ответ:** 850\. ### Как решать 19 задание ЕГЭ база: пошаговый алгоритм Чтобы быстро справиться с 19 заданием и не тратить время на бесконечный хаотичный перебор, применяйте следующий порядок действий: **Разложите делитель на простые множители:** если требуется делимость на составное число, разбейте его на взаимно простые множители \($12 \to 3 \text{ и } 4$; $15 \to 3 \text{ и } 5$; $18 \to 2 \text{ и } 9$; $24 \to 3 \text{ и } 8$; $45 \to 5 \text{ и } 9$\)\. **Начните конструирование с конца числа:** сначала зафиксируйте последнюю цифру \(по признаку делимости на 2, 5 или 10\) или две последние цифры \(по признаку на 4\), так как они зависят от фиксированных цифр, а не от суммы\. **Сбалансируйте сумму цифр:** оставшимися промежуточными цифрами доберите сумму до кратной 3 или 9\. **Сделайте контрольное деление уголком:** разделите полученное число на исходный делитель на черновике\. Если разделилось нацело и все ограничения условия соблюдены — сразу заносите число в бланк\. ### Самые частые ошибки в 19 задании При анализе экзаменационных бланков базового ЕГЭ чаще всего встречаются три обидные ошибки: ##### Забытый ноль при умножении цифр В задачах на произведение цифр школьники включают в запись числа ноль \(например, 10234\)\. Но появление нуля обнуляет всё произведение \($1 \cdot 0 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 0$\), что делает его не равным положительной сумме\. ##### Неверное разложение делителя Попытка проверять делимость на 24 через множители 4 и 6\. Так делать нельзя, потому что у 4 и 6 есть общий делитель 2\! Раскладывать необходимо только на взаимно простые числа: $24 = 3 \cdot 8$\. ##### Остаток, превышающий делитель В задачах на равные остатки при делении на 5 и 16 берут остаток больше 4 \(например, 7\)\. Помните: остаток всегда строго меньше делителя, поэтому при делении на 5 остаток не может превышать 4\. ## Тренажёры по 19 заданию базового ЕГЭ на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie). Чтобы научиться быстро подбирать числа и уверенно применять признаки делимости, переходите к онлайн\-тренажёрам на платформе Экзамео\. Ниже вы найдете все прототипы 19 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ с подробными решениями и проверкой ответов\. Это поможет отработать теорию по свойствам чисел --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/19-zadanie).