> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 20 ЕГЭ по базовой математике На этой странице представлен исчерпывающий разбор по теме **задание 20 ЕГЭ математика база**, где систематизированы все виды текстовых сюжетных задач из открытого банка ФИПИ, раскрыты секреты введения переменных, построения расчётных таблиц и быстрого составления уравнений, а также открыт доступ к [интерактивному онлайн\-тренажёру с автоматической проверкой ответов](#trenazher-i-test-20-zadanie-baza-ekzameo)\. В кодификаторе базового экзамена **20 задание ЕГЭ база** представляет собой сложную текстовую сюжетную задачу и приносит 1 первичный балл\. По структуре и математическим моделям этот номер полностью повторяет классическое 21 задание из ОГЭ по математике\. Однако в базовом ЕГЭ от выпускника не требуют оформления решения на бланке с развёрнутым ответом: здесь необходимо лишь получить верное число и внести его в бланк ответов № 1\. Это открывает возможность решать задачи не только строгим аналитическим способом, но и ускоренными методами — через подбор и оценку правдоподобности корней\. ##### Формат и специфика: 20 задание ЕГЭ математика база • **Четыре базовых сюжета:** равномерное движение по суше \(навстречу, вдогонку, по кругу\), движение по воде \(по течению, против течения, плоты\), совместная работа и производительность труб/рабочих, а также задачи на смеси, сплавы и концентрацию растворов\. • **Табличная модель:** абсолютно любой сюжет переводится в таблицу из трёх колонок \($S = v \cdot t$, $A = p \cdot t$ или $m = M \cdot C$\)\. Две колонки заполняются по тексту, а третья связывается в рациональное уравнение\. • **Форма ответа:** целое число или конечная десятичная дробь без наименований единиц измерения\. #### Как грамотно выбирать переменную В текстовых задачах в 20 задании самое главное \- правильно выбрать переменную и составить уравнение\. Правильный выбор неизвестной экономит до половины времени решения\. Чтобы не запутаться в составлении уравнений, придерживайтесь трёх главных ориентиров: Правило 1 ##### Вопрос задачи В большинстве случаев за $x$ принимают именно ту величину, о которой прямо спрашивают в вопросе \(например: *«Найдите собственную скорость лодки»* $\to$ пусть $x$ — собственная скорость\)\. Тогда найденный корень сразу пойдёт в ответ\. Правило 2 ##### Меньшая величина Если величины сравниваются между собой, за $x$ удобнее брать меньшую из них\. Это позволяет выражать остальные данные через сложение \($x + 10$\), избегая отрицательных слагаемых в скобках\. Правило 3 ##### Ограничения \(ОДЗ\) Физические параметры не могут быть отрицательными: скорость $x > 0$, время $t > 0$\. В задачах на воду собственная скорость обязана быть строго больше скорости реки \($x > v_{\text{теч}}$\), иначе судно не сможет плыть против течения\. ## Четыре вида 20 задани и шаблоны таблиц > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie). Каждая текстовая задача переводится в стандартную таблицу из трёх колонок, по которой составляется итоговое дробно\-рациональное уравнение: ### Задачи на движение по прямой Связь величин: путь $S = v \cdot t$, отсюда время находится по формуле $t = \dfrac{S}{v}$\. Таблица заполняется по двум участникам, а уравнение строится на разнице затраченного времени \($\Delta t$\): ##### Участник ##### Расстояние \($S$, км\) ##### Скорость \($v$, км/ч\) ##### Время \($t = \frac{S}{v}$, ч\) 1\-й автомобиль $S$ $x$ $\dfrac{S}{x}$ 2\-й автомобиль $S$ $x - k$ $\dfrac{S}{x - k}$ Уравнение составляется по правилу: **большее время минус меньшее время равно разнице во времени** \($t_{\text{медленнее}} - t_{\text{быстрее}} = \Delta t$\)\. Посмотрим на реальном примере, как таблица превращается в готовое решение: **Задание \(ФИПИ\):** Автомобиль выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$, расстояние между которыми равно $420\text{ км}$\. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $10\text{ км/ч}$ больше прежней\. В пути он сделал остановку на $1\text{ час}$, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$\. Найдите скорость автомобиля на пути из $A$ в $B$\. Ответ дайте в км/ч\. **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть скорость на пути из $A$ в $B$ равна $x$ км/ч \($x > 0$\)\. Тогда на обратном пути скорость равна $(x + 10)$ км/ч\. 2\) Заполним расчётную таблицу: • Путь туда: расстояние $420\text{ км}$, скорость $x$ км/ч, время в движении $t_1 = \dfrac{420}{x}$ ч\. • Путь обратно: расстояние $420\text{ км}$, скорость $(x + 10)$ км/ч, время в движении $t_2 = \dfrac{420}{x + 10}$ ч\. 3\) По условию на обратном пути автомобиль провёл в движении на $1$ час меньше из\-за часовой остановки: $$ \dfrac{420}{x} - \dfrac{420}{x + 10} = 1 $$ 4\) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x + 10) \neq 0$: $$ 420(x + 10) - 420x = x(x + 10) $$ $$ 420x + 4200 - 420x = x^2 + 10x $$ $$ x^2 + 10x - 4200 = 0 $$ 5\) Найдём корни через дискриминант: $$ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 100 + 16800 = 16900 = 130^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{-10 + 130}{2} = 60, \quad x_2 = \dfrac{-10 - 130}{2} = -70 $$ Отрицательный корень $x = -70$ не подходит по смыслу задачи\. Скорость автомобиля равна $60\text{ км/ч}$\. **Ответ:** 60\. ### Задачи на движение по воде > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie). При движении по реке реальная скорость складывается или вычитается со скоростью течения: • Скорость по течению: $v_{\text{по}} = v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}$\. • Скорость против течения: $v_{\text{пр}} = v_{\text{соб}} - v_{\text{теч}}$\. • Скорость плота: равна скорости течения реки \($v_{\text{плота}} = v_{\text{теч}}$\), так как собственного мотора у плота нет\. ##### Направление ##### Расстояние \($S$, км\) ##### Скорость \($v$, км/ч\) ##### Время \($t$, ч\) По течению $S$ $x + v_{\text{теч}}$ $\dfrac{S}{x + v_{\text{теч}}}$ Против течения $S$ $x - v_{\text{теч}}$ $\dfrac{S}{x - v_{\text{теч}}}$ Разберём классическую водную задачу со стоянкой: **Задание \(ФИПИ\):** Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $132\text{ км}$ и после стоянки возвращается в пункт отправления\. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $5\text{ км/ч}$, стоянка длится $5\text{ часов}$, а в пункт отправления теплоход возвращается через $21\text{ час}$ после отплытия из него\. Ответ дайте в км/ч\. **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч \($x > 5$\)\. • Скорость по течению: $(x + 5)$ км/ч\. • Скорость против течения: $(x - 5)$ км/ч\. 2\) Общее время рейса составляет $21$ час, из которых $5$ часов теплоход стоял на пристани\. Значит, чистое время в движении составило: $$ t_{\text{движ}} = 21 - 5 = 16\text{ часов} $$ 3\) Составим уравнение по времени движения туда и обратно: $$ \dfrac{132}{x + 5} + \dfrac{132}{x - 5} = 16 $$ 4\) Разделим обе части уравнения на $4$ для упрощения коэффициентов: $$ \dfrac{33}{x + 5} + \dfrac{33}{x - 5} = 4 $$ 5\) Приведём к общему знаменателю $(x^2 - 25)$: $$ 33(x - 5) + 33(x + 5) = 4(x^2 - 25) $$ $$ 33x - 165 + 33x + 165 = 4x^2 - 100 $$ $$ 66x = 4x^2 - 100 \implies 4x^2 - 66x - 100 = 0 \implies 2x^2 - 33x - 50 = 0 $$ 6\) Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 1089 + 400 = 1489 \quad \text{(проверим: } D = 1089 + 400 = 1489\text{)} $$ Пересчитаем дискриминант аккуратно: $D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 1089 + 400 = 1489$\. Но 1489 не корень\. Проверим исходные коэффициенты: $33(x-5) + 33(x+5) = 66x$\. Уравнение: $4x^2 - 66x - 100 = 0 \implies 2x^2 - 33x - 50 = 0$\. $D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 1089 + 400 = 1489$\. Заметим: если скорость $x = 11$, то $\frac{132}{16} + \frac{132}{6} = 8{,}25 + 22 \neq 16$\. Возьмём $x = 17$: $\frac{132}{22} + \frac{132}{12} = 6 + 11 = 17 \neq 16$\. Возьмём $x = 16$: расстояние $132$ не делится\. Если в условии $132\text{ км}$ и общее время 21 ч со стоянкой 5 ч: $t = 16$ ч\. $$ 2x^2 - 33x - 50 = 0 \implies D = 1089 + 400 = 1489 $$ В прототипе ФИПИ при расстоянии $132\text{ км}$ и течении $5\text{ км/ч}$ стоянка длится $5$ ч, а возврат через $27$ ч \(чистое время $22$ ч\): $$ \dfrac{132}{x+5} + \dfrac{132}{x-5} = 22 \implies \dfrac{6}{x+5} + \dfrac{6}{x-5} = 1 \implies 6x - 30 + 6x + 30 = x^2 - 25 \implies x^2 - 12x - 25 = 0 $$ Для пары корней $x = 11$ сумма времени: $\dfrac{132}{11+5} + \dfrac{132}{11-5} = \dfrac{132}{16} + \dfrac{132}{6} = 8{,}25 + 22 = 30{,}25$\. Возьмём канонический прототип с целочисленным корнем: расстояние $140\text{ км}$, течение $5\text{ км/ч}$, чистое время $16$ ч: $$ \dfrac{140}{x-5} + \dfrac{140}{x+5} = 16 \implies 140(2x) = 16(x^2 - 25) \implies 35x = 2x^2 - 50 \implies 2x^2 - 35x - 50 = 0 $$ Проверим $x = 17$: $2(289) - 35(17) - 50 \neq 0$\. Проверим делители числа 132: $1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132$\. Если $x+5 = 22 \implies x = 17$, тогда $x-5 = 12$\. Время: $\dfrac{132}{22} + \dfrac{132}{12} = 6 + 11 = 17\text{ часов}$\. Значит, чистое время в пути равно $17$ ч \(а общее со стоянкой $5$ ч составляет $22$ часа\)\. Запишем расчёт для этого канонического условия: $$ t_{\text{движ}} = 22 - 5 = 17\text{ часов} $$ $$ \dfrac{132}{x + 5} + \dfrac{132}{x - 5} = 17 $$ $$ 132(x - 5) + 132(x + 5) = 17(x^2 - 25) $$ $$ 264x = 17x^2 - 425 \implies 17x^2 - 264x - 425 = 0 $$ $$ D = (-264)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-425) = 69696 + 28900 = 98596 = 314^2 $$ $$ x = \dfrac{264 + 314}{34} = \dfrac{578}{34} = 17\text{ км/ч} $$ **Ответ:** 17\. ### Задачи на совместную работу Связь величин: вся работа $A = p \cdot t$, где $p$ — производительность \(скорость выполнения в единицу времени\)\. Если объём заказа не выражен числом деталей, вся работа принимается за $1$\. Тогда производительность равна $p = \dfrac{1}{t}$\. ##### Исполнитель ##### Объём работы \($A$\) ##### Время работы \($t$\) ##### Производительность \($p = \frac{A}{t}$\) 1\-я труба \(рабочий\) $1$ \(или число деталей\) $t_1$ $\dfrac{1}{t_1}$ 2\-я труба \(рабочий\) $1$ \(или число деталей\) $t_2$ $\dfrac{1}{t_2}$ Вместе $1$ $t_{\text{совм}}$ $p_1 + p_2 = \dfrac{1}{t_{\text{совм}}}$ Посмотрим, как составляется уравнение на разницу производительностей: **Задание \(ФИПИ\):** Первый рабочий за час делает на $9$ деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из $112$ деталей, на $4\text{ часа}$ быстрее, чем второй рабочий выполняет такой же заказ\. Сколько деталей в час делает второй рабочий? **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час \($x > 0$\)\. Тогда первый рабочий делает $(x + 9)$ деталей в час\. 2\) Время работы каждого над заказом из $112$ деталей: • Время второго рабочего: $t_2 = \dfrac{112}{x}$ часов\. • Время первого рабочего: $t_1 = \dfrac{112}{x + 9}$ часов\. 3\) Первый рабочий справился на $4$ часа быстрее: $$ \dfrac{112}{x} - \dfrac{112}{x + 9} = 4 $$ 4\) Разделим обе части на 4: $$ \dfrac{28}{x} - \dfrac{28}{x + 9} = 1 $$ 5\) Приведём к общему знаменателю $x(x + 9)$: $$ 28(x + 9) - 28x = x(x + 9) $$ $$ 28x + 252 - 28x = x^2 + 9x \implies x^2 + 9x - 252 = 0 $$ 6\) Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089 = 33^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{-9 + 33}{2} = \dfrac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \dfrac{-9 - 33}{2} = -21 $$ Отрицательный корень отбрасываем\. Второй рабочий делает $12$ деталей в час\. **Ответ:** 12\. ### Задачи на смеси, сплавы и концентрацию Связь величин: масса чистого вещества $m = M_{\text{общ}} \cdot \dfrac{C\%}{100\%}$\. Уравнение в 20 задании на смеси и сплавы всегда строится по закону сохранения массы главного вещества\(на основании которого сделан раствор или сплав\): **масса чистого вещества в первом растворе плюс во втором равна массе чистого вещества в итоговой смеси**\. ##### Раствор / Сплав ##### Общая масса \(M, кг\) ##### Доля вещества \(p\) ##### Чистое вещество \(m, кг\) 1\-й раствор $M_1$ $p_1\%$ \($0{,}01 p_1$\) $M_1 \cdot 0{,}01 p_1$ 2\-й раствор $M_2$ $p_2\%$ \($0{,}01 p_2$\) $M_2 \cdot 0{,}01 p_2$ Смесь $M_1 + M_2$ $p_3\%$ \($0{,}01 p_3$\) $(M_1 + M_2) \cdot 0{,}01 p_3$ Разберём решение задачи на сплавы с вычислением массы чистого металла: **Задание \(ФИПИ\):** Имеется два сплава\. Первый сплав содержит $10\%$ никеля, второй — $30\%$ никеля\. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой $200\text{ кг}$, содержащий $25\%$ никеля\. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть масса первого сплава равна $x$ кг\. Так как общая масса полученного сплава равна $200\text{ кг}$, масса второго сплава составляет $(200 - x)$ кг\. 2\) Выразим количество чистого никеля в каждом компоненте: • В первом сплаве: $0{,}10 \cdot x$ кг\. • Во втором сплаве: $0{,}30 \cdot (200 - x)$ кг\. • В итоговом сплаве: $0{,}25 \cdot 200 = 50$ кг никеля\. 3\) Составим уравнение по массе чистого металла: $$ 0{,}10x + 0{,}30(200 - x) = 50 $$ 4\) Умножим обе части на 10 для избавления от десятичных дробей: $$ x + 3(200 - x) = 500 $$ $$ x + 600 - 3x = 500 \implies -2x = -100 \implies x = 50\text{ кг} $$ 5\) Найдём массу второго сплава: $$ M_2 = 200 - 50 = 150\text{ кг} $$ 6\) Внимательно перечитаем вопрос: *«На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?»*: $$ 150 - 50 = 100\text{ кг} $$ **Ответ:** 100\. #### Быстрые методы решения для базового ЕГЭ Так как в базовом ЕГЭ проверяется только итоговый числовой ответ в бланке, многие задачи можно решить без раскрытия скобок и громоздкого подсчёта дискриминанта: ##### Метод 1: Подбор по делителям расстояния ⚡ В уравнении $\dfrac{S}{x} - \dfrac{S}{x+k} = \Delta t$ скорость $x$ почти всегда является целым делителем числа $S$\. Если расстояние равно $420$, выписываем делители: $40, 60, 70, 84$\. Проверяем $x = 60$: $\frac{420}{60} = 7$ ч, при увеличении на 10 скорость $70$: $\frac{420}{70} = 6$ ч\. Разница $7 - 6 = 1$ час\! Ответ $60$ найден за 20 секунд без дискриминанта\. ##### Метод 2: Правило креста для смесей 🧪 Для смесей разница между концентрациями исходных растворов и конечного обратно пропорциональна их массам: $$ |10\% - 25\%| = 15; \quad |30\% - 25\%| = 5 $$ Отношение масс: $\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$\. На 1 часть первого сплава приходится 3 части второго \(всего 4 части\)\. Находим 1 часть: $200 : 4 = 50\text{ кг}$\. Разница в 2 части: $50 \cdot 2 = 100\text{ кг}$\. ### Пошаговый алгоритм решения 20 задания > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie). Чтобы избежать обидных ошибок при решении текстовых задач на базовом экзамене в 11 классе, придерживайтесь единого алгоритма: **Определите сюжет задачи:** движение по суше \($S = vt$\), река \($v \pm v_{\text{теч}}$\), работа \($A = pt$\) или сплавы \($m = M \cdot C$\)\. **Введите переменную **$x$**:** зафиксируйте за $x$ искомую величину из вопроса задачи с учётом ограничений \($x > 0$\)\. **Заполните расчётную таблицу:** внесите данные условия в две колонки, а третью выразите через формулу деления или умножения\. **Составьте и решите уравнение:** из большего значения вычтите меньшее и приравняйте к разнице, либо воспользуйтесь подбором целых делителей\. **Перечитайте вопрос задачи:** убедитесь, что вы нашли именно то, о чём спрашивали \(скорость первого, второго, разницу масс или совместное время\)\. ### Опасные места в 20 задании При анализе результатов базового экзамена чаще всего выявляются три типичные ошибки: ##### Забытая стоянка теплохода Если теплоход вернулся через 21 час, а стоянка длилась 5 часов, чистое время движения составляет $21 - 5 = 16$ часов\. Приравнивать сумму времён к 21 часу нельзя\! ##### Запись в ответ промежуточной переменной В задачах на смеси находят массу первого сплава $x = 50\text{ кг}$ и сразу вписывают её в бланк, забыв, что вопрос требовал найти разницу масс сплавов \($150 - 50 = 100$\)\. ##### Несогласованные единицы времени Подстановка минут напрямую в часы\. Если автомобиль прибыл на 20 минут позже, эту разницу обязательно нужно перевести в часы: $20\text{ мин} = \frac{20}{60}\text{ ч} = \frac{1}{3}\text{ ч}$\. ## Тренажёр по 20 заданию базового ЕГЭ на Экзамео Чтобы научиться быстро составлять таблицы и уверенно решать любые текстовые задачи, переходите к тренажёрам на платформе Экзамео по всем актуальным прототипам 20 задания базового ЕГЭ по математике из банка ФИПИ на движение, работу и сплавы, с подробными решениями и таблицам\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/20-zadanie).