> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 21 ЕГЭ по базовой математике \- все виды На этой странице представлен разбор 21 задания ЕГЭ по базовой математике, рассмотрим **все типы заданий** из открытого банка ФИПИ, математические методы решения логических сюжетов и эффективные приёмы быстрого анализа крайних значений\. В конце страницы вы найдете [тренажёры с подробными решениями и проверкой ответов](#trenazher-i-test-21-zadanie-baza-ekzameo)\. В структуре базового экзамена по математике в 11 классе** 21 задание** является завершающим и наиболее сложным, за которое даётся 1 первичный балл\. Важно понимать: в этом задании нет шаблонных формул из классических учебников\. Каждая задача представляет собой логическую головоломку на подсчёт двумя способами, дискретную оценку границ \(метод «плюс\-минус один»\), принцип Дирихле или распил отрезков\. Главный секрет успеха — умение составить двойное неравенство, зажать неизвестную величину в узкие рамки и применить комбинаторный перебор\. ##### Формат и специфика: 21 задание ЕГЭ математика база • **Многообразие сюжетов:** подсчёт суммы чисел в таблицах по строкам и столбцам, распилы длинных палок с цветными метками, расселение жильцов по квартирам с ограничениями, загаданные числа с операциями в заданном диапазоне и взвешивания\. • **Метод двойного счёта:** общая сумма элементов системы инвариантна \(не зависит от порядка вычисления\)\. Например, сумма всех чисел в таблице, посчитанная по столбцам, строго равна сумме чисел, посчитанной по строкам\. • **Форма ответа:** ответом всегда служит ровно одно натуральное число или десятичная дробь, записанная в бланк ответов № 1 без каких\-либо буквенных обозначений и наименований\. ## Все типы 21 задания ЕГЭ математика база > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie). Анализируя банк заданий ФИПИ и сборники для подготовки, можно выделить четыре ключевых группы прототипов, на которых строится это задание: Тип 1 ##### Таблицы и двойной счёт Суммы по столбцам известны, а суммы по строкам ограничены неравенством\. Находится точная общая сумма таблицы, после чего число строк однозначно определяется делением\. Тип 2 ##### Линии и распилы палок На палке нанесены метки разных цветов\. Базовый закон отрезков: $N$ распилов делят целое бревно на $(N + 1)$ кусков\. Количество меток каждого цвета находится вычитанием единицы\. Тип 3 ##### Квартиры и крайние оценки Даны суммы жильцов в пересекающихся группах квартир \(например, с 1 по 12 и с 9 по 19\)\. Задача решается выделением общей зоны и оценкой минимально и максимально возможного числа людей\. Тип 4 ##### Загаданные числа и делимость Число умножают на коэффициент и корректируют слагаемыми из узкого числового диапазона\. Уравнение $x \cdot A + (B - C) = \text{const}$ решается оценкой остатков и делимости\. ### Приёмы и лайфхаки быстрого решения 21 задания Существуют универсальные приёмы, которые позволяют быстро и безошибочно решить это задание: Когда дана таблица со столбцами и строками, складываем суммы всех столбцов\. Получаем точное число — абсолютную сумму всех клеток $S_{\text{всего}}$\. Если строк всего $n$, а сумма в каждой строке ограничена строгим интервалом $a < S_{\text{стр}} < b$, то вся сумма таблицы строго заключена в границах: $n \cdot a < S_{\text{всего}} < n \cdot b$\. Делим число $S_{\text{всего}}$ на границы $a$ и $b$: среди получившегося промежутка гарантированно окажется **ровно одно целое число**, которое и является числом строк\! Один распил делит палку на 2 части, два распила — на 3 части, а $k$ распилов дают $(k + 1)$ кусков\. Значит, если при распиле по красным меткам вышло $7$ кусков, то самих красных меток на палке ровно $7 - 1 = 6$ штук\. Чтобы узнать, сколько кусков получится при распиле по всем меткам сразу, складываем количество меток каждого цвета \(если они не совпадают\) и в конце прибавляем единицу: $K_{\text{всего}} = (M_{\text{кр}} + M_{\text{жёлт}} + M_{\text{зел}}) + 1$\. В задачах о жильцах в домах квартиры делят на три непересекающиеся группы: только первая группа, зона пересечения \(общие квартиры\) и только вторая группа\. Сложив данные по двум блокам, мы дважды учитываем жильцов общих квартир\. Ограничение «от 1 до 3 человек в квартире» позволяет однозначно зажать число людей в общей зоне в узкую вилку, где существует единственное непротиворечивое целое решение\. ### Разбор реальных задач > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie). Ниже представлены детальные образцы решений всех официальных прототипов, иллюстрирующие, **как решать 21 задание егэ математика база** просто и понятно: **Задание:** В таблице три столбца и несколько строк\. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $124$, во втором — $132$, в третьем — $142$, а сумма чисел в каждой строке больше $27$, но меньше $30$\. Сколько всего строк в таблице? **Пошаговый разбор:** 1\) Найдём общую сумму всех чисел, записанных в таблице, сложив данные по трём столбцам: $$ S_{\text{всего}} = 124 + 132 + 142 = 398 $$ 2\) Пусть количество строк в таблице равно $N$\. По условию сумма чисел в каждой строке строго больше $27$, но меньше $30$\. Так как в клетки вписаны натуральные числа, сумма чисел в каждой строке может быть равна только $28$** или **$29$\. 3\) Составим двойное неравенство для полной суммы $398$ через число строк $N$: $$ 27 \cdot N < 398 < 30 \cdot N $$ 4\) Оценим границы для $N$: • Из левой части: $N > \dfrac{398}{30} \implies N > 13{,}26\dots$ \(то есть $N \ge 14$\)\. • Из правой части: $N < \dfrac{398}{27} \implies N < 14{,}74\dots$ \(то есть $N \le 14$\)\. 5\) Единственным целым числом в интервале $13{,}26\dots < N < 14{,}74\dots$ является: $$ N = 14 $$ *\(Проверка: если взять 14 строк, то при десяти строках с суммой 28 и четырёх строках с суммой 29 получаем *$10 \cdot 28 + 4 \cdot 29 = 280 + 116 = 398$* — условие выполняется идеально\!\)*\. **Ответ:** 14\. **Задание:** На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета\. Если распилить палку по красным линиям, получится $7$ кусков, если по жёлтым — $8$ кусков, а если по зелёным — $14$ кусков\. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? **Пошаговый разбор:** 1\) Число получившихся кусков всегда ровно на единицу больше числа сделанных распилов \(линий\): $$ \text{Количество линий} = \text{Количество кусков} - 1 $$ 2\) Найдём количество меток каждого цвета на палке: • Красных линий: $7 - 1 = 6$\. • Жёлтых линий: $8 - 1 = 7$\. • Зелёных линий: $14 - 1 = 13$\. 3\) Поперечные линии разных цветов нанесены в разных местах палки \(не совпадают\)\. Найдём суммарное количество всех меток: $$ N_{\text{линий}} = 6 + 7 + 13 = 26 $$ 4\) Если распилить палку по всем $26$ линиям, общее количество получившихся кусков будет на единицу больше числа распилов: $$ N_{\text{кусков}} = 26 + 1 = 27 $$ **Ответ:** 27\. **Задание:** В доме всего девятнадцать квартир с номерами от $1$ до $19$\. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек\. В квартирах с $1$\-й по $12$\-ю включительно живёт суммарно $16$ человек, а в квартирах с $9$\-й по $19$\-ю включительно живёт суммарно $29$ человек\. Сколько всего человек живёт в этом доме? **Пошаговый разбор:** 1\) Разобьём все 19 квартир на три непересекающиеся группы: • Группа 1: квартиры с 1\-й по 8\-ю \(всего 8 квартир\)\. Пусть в них живёт $A$ человек\. • Группа 2 \(пересечение\): квартиры с 9\-й по 12\-ю \(всего 4 квартиры: 9, 10, 11, 12\)\. Пусть в них живёт $B$ человек\. • Группа 3: квартиры с 13\-й по 19\-ю \(всего 7 квартир\)\. Пусть в них живёт $C$ человек\. 2\) Запишем данные из условия задачи: $$ A + B = 16 \quad (\text{квартиры 1–12}) $$ $$ B + C = 29 \quad (\text{квартиры 9–19}) $$ Всего в доме живёт $S = A + B + C$ человек\. 3\) Оценим количество людей в группе 2 \(4 квартиры: с 9\-й по 12\-ю\): • В каждой квартире живёт не меньше 1 человека, значит: $B \ge 4 \cdot 1 = 4$\. • В каждой квартире живёт не больше 3 человек, значит: $B \le 4 \cdot 3 = 12$\. 4\) Оценим группу 1 \(8 квартир: с 1\-й по 8\-ю\): В них живёт не меньше 1 человека в каждой, значит $A \ge 8 \cdot 1 = 8$\. Так как $A + B = 16$, то $B = 16 - A \le 16 - 8 = 8$\. Следовательно, $B \le 8$\. 5\) Оценим группу 3 \(7 квартир: с 13\-й по 19\-ю\): В них живёт не больше 3 человек в каждой, значит $C \le 7 \cdot 3 = 21$\. Так как $B + C = 29$, то $B = 29 - C \ge 29 - 21 = 8$\. Следовательно, $B \ge 8$\. 6\) Мы получили два строгих ограничения на число людей в квартирах 9–12: $B \le 8$ и $B \ge 8$\. Отсюда единственно возможное значение: $$ B = 8 $$ 7\) Найдём общее количество жильцов во всём доме: $$ S = A + B + C = (A + B) + (B + C) - B = 16 + 29 - 8 = 37 $$ **Ответ:** 37\. **Задание:** Про натуральные числа $A, B$ и $C$ известно, что каждое из них больше $6$, но меньше $10$\. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли $C$\. Получилось $186$\. Какое число было загадано? **Пошаговый разбор:** 1\) Пусть загаданное натуральное число равно $x$\. Числа $A, B, C$ — натуральные и лежат строго между 6 и 10, то есть $A, B, C \in \{7, 8, 9\}$\. 2\) Запишем условие в виде алгебраического уравнения: $$ x \cdot A + B - C = 186 \implies x \cdot A = 186 - (B - C) $$ 3\) Оценим разность $(B - C)$ при $B, C \in \{7, 8, 9\}$: • Наименьшее значение разности: $7 - 9 = -2$\. • Наибольшее значение разности: $9 - 7 = 2$\. Следовательно, величина $(B - C)$ может принимать только целые значения от $-2$ до $+2$: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$\. 4\) Тогда величина произведения $x \cdot A = 186 - (B - C)$ обязана лежать в узком диапазоне от $184$ до $188$: $$ x \cdot A \in \{184, 185, 186, 187, 188\} $$ 5\) Так как $x$ — натуральное число, произведение $x \cdot A$ обязано нацело делиться на цифру $A \in \{7, 8, 9\}$\. Проверим делимость чисел из набора $\{184, 185, 186, 187, 188\}$ на 7, 8 и 9: • Делимость на $9$: сумма цифр должна делиться на 9\. Ни одно число не делится на 9 \($1+8+6 = 15$ не делится\)\. • Делимость на $8$: $184 : 8 = 23$ \(делится нацело\!\)\. При $x \cdot A = 184$ получаем $A = 8$, а загаданное число $x = 23$\. Проверим разность: $184 = 186 - (B - C) \implies B - C = 2$\. При цифрах из $\{7, 8, 9\}$ разность $B - C = 2$ легко достигается при $B = 9$ и $C = 7$\. Все условия соблюдены: $23 \cdot 8 + 9 - 7 = 184 + 2 = 186$\! • Проверим другие делители: $184 : 7 = 26{,}28\dots$ \(нет\)\. $187 : 7 = 26{,}71\dots$ \(нет\)\. $188 : 8 = 23{,}5$ \(нет\)\. Единственное натуральное загаданное число: $x = 23$\. **Ответ:** 23\. #### Как решать 21 задание ЕГЭ математика база Чтобы успешно справляться с нестандартными формулировками 21 линии, действуйте по следующему плану: **Найдите величину\-инвариант:** сложите данные по всем колонкам, цветам или непересекающимся группам, чтобы получить общую фиксированную сумму системы\. **Составьте двойное неравенство:** выразите общую сумму через неизвестное количество строк или элементов, используя крайние допустимые границы из условия\. **Выделите единственное целое число:** разделите границы неравенства на коэффициенты\. Получившийся интервал гарантированно содержит ровно одно целое натуральное число\. **Выполните проверку найденного ответа:** подставьте число обратно в исходный сюжет \(распределите строки, посчитайте куски или проверьте жильцов\) и убедитесь, что противоречий нет\. ##### Самые частые ошибки При выполнении 21 номера выпускники чаще всего допускают три обидные ошибки: ##### Путаница между распилами и кусками Школьники просто складывают количество кусков $7 + 8 + 14 = 29$ вместо перевода в линии \($6 + 7 + 13 = 26$ распилов\) с последующим прибавлением единицы \($26 + 1 = 27$\)\. ##### Неучёт строгих неравенств в таблицах Фраза «больше 27, но меньше 30» означает только целые числа 28 и 29\. Если включить в расчёт границы 27 или 30, интервал для числа строк размоется и ответ станет неверным\. ##### Двойной счёт общей группы квартир При сложении $16 + 29 = 45$ забывают, что жильцы квартир с 9 по 12 посчитаны дважды\. Без вычитания общей части $B = 8$ ответ получается завышенным\. ## Тренажёр по 21 заданию базового ЕГЭ на Экзамео В тренажерах вы найдете абсолютно все виды 21 задания ЕГЭ по математике базового уровня с подробными решениями и автоматической проверкой ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/21-zadanie).