> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 8 ЕГЭ по математике \(базовый уровень\) **Задание 8 ЕГЭ по математике базового уровня** входит в блок практических задач КИМ и приносит **1 первичный балл**\. Это классическая текстовая задача на **математическую логику и анализ высказываний**\. Здесь не требуется выполнять сложные арифметические расчёты или решать уравнения: проверяется умение строго рассуждать, отличать необходимое условие от достаточного, оперировать кванторами \(«все», «каждый», «хотя бы один», «некоторые»\) и делать безошибочные выводы из предложенных исходных условий\. Типичная структура восьмого номера: дано краткое описание ситуации \(например, о жильцах дома, школьниках в спортивных секциях, результатах экзамена или деревьях в саду\) и предложен перечень из четырёх логических утверждений\. Задача выпускника — определить, **какие из утверждений логически следуют из условий \(являются гарантированно верными\)**, и выписать их номера в бланк ответов без пробелов и запятых\. На этой странице детально разобраны базовые законы математической логики, метод диаграмм Эйлера–Венна, алгоритм быстрого отсева ложных высказываний методом контрпримера и эталоны решений всех видов прототипов из открытого банка ФИПИ\. Отработать все прототипы восьмой линии помогут интерактивные [тренажёры Задания 8 базового ЕГЭ по математике](#zadaniye-8-ege-baza-na-platforme-ekzameo) с подробными логическими пояснениями\. ## Фундаментальные правила математической логики для ЕГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie). Чтобы не попадаться в ловушки бытовой интуиции, опирайтесь на три базовых логических закона: ##### 1\. Прямое и обратное следствие \(«Если $A$, то $B$»\) ➡️ Если из факта $A$ следует факт $B$, то **обратное утверждение \(«Если **$B$**, то **$A$**»\) НЕ всегда верно**\! • *Пример:* «Если идёт сильный дождь \($A$\), то асфальт мокрый \($B$\)» — верно\. Но утверждение «Если асфальт мокрый \($B$\), то обязательно идёт дождь \($A$\)» — ложно \(асфальт могла полить поливальная машина\)\. • **Закон контрапозиции:** гарантированно верно только обратное отрицание: «Если асфальт сухой \($\text{не } B$\), то дождь точно не идёт \($\text{не } A$\)»\. ##### 2\. Кванторы «Все» и «Хотя бы один» 🎯 • **«Все / каждый» \(**$\forall$**\):** утверждение истинно только тогда, когда условие выполняется абсолютно для **каждого** объекта без исключения\. Для его опровержения достаточно найти **всего один** контрпример\. • **«Хотя бы один / существует» \(**$\exists$**\):** утверждение истинно, если есть как минимум один подходящий объект \(один, два или даже все\)\. • **Отрицание:** отрицанием к слову «все» является не слово «никто», а «хотя бы один НЕ обладает этим свойством»\. Место под иллюстрацию: наглядная схема логической импликации $A \implies B$ и контрапозиции $\neg B \implies \neg A$ с перечёркнутой ложной обратной связью $B \implies A$\. ## Метод кругов Эйлера \(диаграммы множеств\) Самый надёжный графический способ решения 8 задания — построение **кругов \(диаграмм\) Эйлера**\. Каждое свойство или группу объектов изображают в виде круга на плоскости: ##### Тип связи ##### Взаимное расположение кругов ##### Логический вывод **Полное включение** \(«Все $A$ являются $B$»\) Круг $A$ целиком лежит **внутри** круга $B$ \($A \subset B$\)\. Если объект входит в $A$, он гарантированно входит в $B$\. Но объект из $B$ может лежать вне круга $A$\. **Пересечение множеств** \(«Некоторые $A$ являются $B$»\) Круги $A$ и $B$ частично накладываются друг на друга \($A \cap B \neq \varnothing$\)\. Существуют объекты, обладающие обоими свойствами одновременно, но есть и те, что обладают только одним\. **Непересекающиеся множества** \(«Ни один $A$ не является $B$»\) Круги $A$ и $B$ не имеют общих точек \($A \cap B = \varnothing$\)\. Ни один объект не может одновременно принадлежать обоим множествам\. Место под иллюстрацию: три графические схемы кругов Эйлера — круг внутри круга, пересекающиеся круги и два изолированных круга с подписями множеств\. ## Метод контрпримера и скрытые ловушки формулировок > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie). Главное правило 8 задания: **утверждение считается верным ТОЛЬКО тогда, когда оно выполняется ВСЕГДА при любых допустимых условиях**\. #### Мощный приём: Метод контрпримера Если утверждение может нарушиться хотя бы в одном гипотетическом сценарии, не противоречащем условию, — **оно сразу признаётся ЛОЖНЫМ**\. Не нужно доказывать ложность для всех случаев: достаточно придумать одну непротиворечивую ситуацию\-опровержение\. #### Опасные слова\-маркеры в формулировках утверждений: 💡 1\. **«Обязательно», «всегда», «каждый»:** Если утверждение категорично заявляет «обязательно будет\.\.\.», ищите контрпример\. Очень часто такое высказывание оказывается ложным\. 2\. **«Найдётся хотя бы один»:** Чтобы опровергнуть такое утверждение, нужно доказать, что таких объектов вообще не может существовать\. 3\. **«Не более» / «не менее»:** «Не более 5» означает «меньше либо равно 5» \($\le 5$\)\. «Не менее 3» означает «больше либо равно 3» \($\ge 3$\)\. Не путайте строгие и нестрогие ограничения\! 4\. **Запись ответа:** В бланк ответов вносятся **номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и разделителей** в порядке возрастания \(например, $14$ или $23$\)\. ### Пошаговый алгоритм решения Задания 8 При выполнении Задания 8 на экзамене придерживайтесь системного алгоритма: ### Порядок действий: **Внимательно прочитайте условие и нарисуйте схему:** изобразите множества в виде кругов Эйлера или составьте краткую цепочку связей со стрелками\. **Проанализируйте каждое из 4 утверждений по отдельности:** • попытайтесь построить **контрпример** \(ситуацию, где условие выполнено, а утверждение ложно\); • если контрпример построен $\implies$ вычёркивайте утверждение как ложное; • если контрпример построить невозможно в силу правил логики $\implies$ утверждайте его как истинное\. **Проверьте вопрос задачи:** убедитесь, требуется ли указать номера **верных** утверждений \(в подавляющем большинстве прототипов\) или номера неверных\. **Запишите цифры в бланк ответов № 1:** запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания слитно, в виде двузначного числа \(например, $13$, $24$ или $14$\)\. ### Разбор типовых прототипов Задания 8 из банка ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie). Рассмотрите подробные логические разборы ключевых прототипов 8 номера открытого банка ФИПИ\. **Задание:** В школе все отличники посещают кружок по шахматам\. Некоторые ученики, посещающие кружок по шахматам, занимаются плаванием\. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях\. 1\) Если ученик — отличник, то он обязательно занимается плаванием\. 2\) Если ученик не посещает кружок по шахматам, то он не отличник\. 3\) Все ученики, которые посещают кружок по шахматам, — отличники\. 4\) Среди отличников школы могут быть те, кто занимается плаванием\. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов\. Место под иллюстрацию: диаграмма Эйлера: большой круг «Шахматисты», внутри него маленький круг «Отличники», и третий круг «Пловцы», пересекающий круг «Шахматисты» \(и потенциально задевающий «Отличников»\)\. **Подробный логический разбор:** 1\) **Анализ условия:** • Множество «Отличники» \($О$\) целиком содержится во множестве «Шахматисты» \($Ш$\): $О \subset Ш$\. • Множество «Шахматисты» частично пересекается с множеством «Пловцы» \($П$\): $Ш \cap П \neq \varnothing$\. 2\) **Проверка утверждения 1:** *«Если ученик — отличник, то он обязательно занимается плаванием»*\. **Ложно\.** Отличник обязательно ходит на шахматы, но пловцами являются лишь *некоторые* шахматисты\. Отличник вполне может не заниматься плаванием\. 3\) **Проверка утверждения 2:** *«Если ученик не посещает кружок по шахматам, то он не отличник»*\. **Верно\.** Это закон контрапозиции\. Так как ВСЕ отличники входят в кружок шахмат, тот, кто вне кружка шахмат, никак не может быть отличником\. 4\) **Проверка утверждения 3:** *«Все ученики, которые посещают кружок по шахматам, — отличники»*\. **Ложно\.** Обратное утверждение неверно\. В шахматный кружок могут ходить и хорошисты, и троечники\. 5\) **Проверка утверждения 4:** *«Среди отличников школы могут быть те, кто занимается плаванием»*\. **Верно\.** Условие не запрещает отличнику одновременно быть тем самым шахматистом, который ходит на плавание\. Слово «могут быть» отражает принципиальную возможность пересечения множеств\. Верными являются утверждения под номерами 2 и 4\. **Ответ:** 24\. **Задание:** В доме живут жильцы разного возраста и роста\. Известно, что рост любого жильца старше $20$ лет превышает $170\text{ см}$, а рост любого жильца младше $12$ лет не превышает $150\text{ см}$\. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях\. 1\) Если рост жильца дома равен $165\text{ см}$, то ему точно меньше $20$ лет\. 2\) Если жильцу дома $25$ лет, то его рост может быть равен $168\text{ см}$\. 3\) Если жильцу дома $10$ лет, то его рост не превышает $150\text{ см}$\. 4\) Любой жилец дома ростом выше $175\text{ см}$ старше $20$ лет\. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов и знаков препинания\. **Подробный логический разбор:** 1\) **Формализация условий задачи:** • Возраст $> 20$ лет $\implies$ Рост $> 170$ см\. • Возраст $< 12$ лет $\implies$ Рост $\le 150$ см\. 2\) **Проверка утверждения 1:** *«Если рост жильца дома равен *$165\text{ см}$*, то ему точно меньше *$20$* лет»*\. **Верно\.** Если бы жильцу было больше 20 лет, его рост строго превышал бы 170 см\. Поскольку его рост $165 \le 170$ см, ему не может быть больше 20 лет \(он $\le 20$ лет, то есть строго не старше 20\)\. 3\) **Проверка утверждения 2:** *«Если жильцу дома *$25$* лет, то его рост может быть равен *$168\text{ см}$*»*\. **Ложно\.** Жильцу 25 лет \($> 20$\), значит, по условию его рост строго больше $170\text{ см}$\. Он не может иметь рост $168\text{ см}$\. 4\) **Проверка утверждения 3:** *«Если жильцу дома *$10$* лет, то его рост не превышает *$150\text{ см}$*»*\. **Верно\.** Ребёнку 10 лет \($< 12$\)\. По условию задачи рост любого жильца младше 12 лет не превышает $150\text{ см}$\. Утверждение в точности повторяет данное условие\. 5\) **Проверка утверждения 4:** *«Любой жилец дома ростом выше *$175\text{ см}$* старше *$20$* лет»*\. **Ложно\.** В условии сказано только, что старшие имеют высокий рост\. Но высокий подросток \(например, 16\-летний юноша ростом $180\text{ см}$\) вполне может жить в этом доме, условие этого не запрещает\. Верными являются утверждения 1 и 3\. **Ответ:** 13\. ## Тренажёры по 8 заданию базового ЕГЭ по математике Научиться моментально распутывать любые логические формулировки и гарантированно забирать свой балл за **Задание 8 базового ЕГЭ по математике** помогут интерактивные онлайн\-тренажёры на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит все актуальные прототипы заданий на анализ высказываний из открытого банка ФИПИ\. Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени, сразу подсвечивает ошибочно выбранные пункты и предоставляет подробный логический разбор с контрпримерами и диаграммами к каждому из четырёх утверждений\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/8-zadanie).