> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 9 ЕГЭ по базовой математике **9 задание ЕГЭ по математике базового уровня** входит в практический геометрический блок первой части экзамена и приносит **1 первичный балл**\. В этом номере предлагается геометрический чертёж, выполненный на клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1\text{ см}$\. Основные проверяемые умения: нахождение **площадей плоских фигур**, расчёт **длин отрезков,** а также вычисление **углов и значений тригонометрических функций**\. На этой странице разбираем все способы решения задач, в том числе безотказный универсальный приём — **метод описанного прямоугольника**\. Отработать решение геометрических задач на координатной сетке помогут интерактивные [тренажёры задания 9 базового ЕГЭ на платформе Экзамео](#trenazhery-zadaniye-9-ege-baza-ekzameo) с моментальной проверкой ответов\. ## Все виды задач на клетчатой бумаге в 9 задании ЕГЭ база > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie). Все прототипы девятой линии открытого банка ФИПИ делятся на 4 ключевых направления: ##### 1\. Нахождение площадей фигур 📐 Треугольники всех видов, параллелограммы, ромбы, прямоугольные и равнобедренные трапеции, а также произвольные четырёхугольники\. Решаются либо по стандартным геометрическим формулам через подсчёт клеток, либо методом разрезания и достраивания\. ##### 2\. Длины линий и отрезков 📏 Вычисление средней линии треугольника или трапеции, высоты, медианы или расстояния от точки до прямой\. Если отрезок лежит под наклоном к сетке, его длину находят по теореме Пифагора из вспомогательного прямоугольного треугольника\. ##### 3\. Тригонометрия углов 📐 Поиск $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ или $\operatorname{tg}\alpha$ угла, изображённого на клетках\. Обязательный приём: опустить перпендикуляр из узла сетки на луч угла, образовав прямоугольный треугольник, катеты которого точно считаются по клеткам\. ##### 4\. Круги, секторы и кольца ⭕ Нахождение площади закрашенного сектора круга, сегмента или кольца\. Радиус круга определяется подсчётом клеток от центра до узла окружности, а угол сектора оценивается через доли полного круга \($360^\circ$\)\. ## Универсальный метод решения 9 задания Если стороны фигуры идут под углом к линиям сетки и посчитать основание или высоту напрямую невозможно, применяется **метод описанного прямоугольника**\. Это самый надёжный способ, исключающий любые ошибки с формулами\. #### Суть метода прямоугольника: 🎯 Исходную фигуру заключают в прямоугольник минимального размера, стороны которого идут **строго по линиям сетки** через крайние вершины многоугольника\. Искомая площадь равна площади этого прямоугольника минус площади всех лишних внешних фигур \(прямоугольных треугольников и маленьких прямоугольников\): $$ S_{\text{фигуры}} = S_{\text{прямоугольника}} - \sum S_{\text{лишних деталей}} $$ Предположим, что необходимо найти площадь шестиугольника на рисунке снизу:  Самый простой способ найти площадь \- провести рядом с фигурой прямоугольник и сделать шестиугольник вписанным в него\.  Тогда общая площадь будет считаться по простейшей формуле, а площади треугольников рассчитать можно через формулу для прямоугольных треугольников, а затем просто их вычесть\. ### Пошаговый алгоритм нахождения площади методом прямоугольника: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie). **Опишите прямоугольник по линиям сетки:** проведите горизонтальные и вертикальные прямые через самую верхнюю, нижнюю, левую и правую вершины фигуры\. Получится внешний прямоугольник со сторонами $a$ и $b$\. **Вычислите площадь внешнего прямоугольника:** $S_{\text{прям}} = a \cdot b$ где $a$ и $b$ — количество клеток по горизонтали и вертикали\. **Найдите площади внешних «лишних» треугольников:** Все лишние угловые фигуры являются прямоугольными треугольниками\. Площадь каждого из них равна половине произведения катетов \(клеток\):$S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$ **Вычтите лишние площади:** из общей площади прямоугольника вычтите сумму площадей всех внешних треугольников\. Полученное число и есть точная площадь искомой фигуры\. #### Стандартные формулы площадей фигур на клетках Если хотя бы одна сторона фигуры идёт строго по горизонтальной или вертикальной линии сетки, площадь удобнее и быстрее находить по прямой формуле: ##### Фигура ##### Формула на клетках ##### Как считать клетки **Треугольник** $$ S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a $$ $a$ — основание \(на линии сетки\), $h_a$ — высота, опущенная из третьей вершины перпендикулярно основанию\. **Параллелограмм** $$ S = a \cdot h_a $$ $a$ — горизонтальная или вертикальная сторона, $h_a$ — расстояние между параллельными сторонами\. **Трапеция** $$ S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h $$ $a$ и $b$ — параллельные основания \(считаем по клеткам\), $h$ — высота между основаниями\. **Ромб** $$ S = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 $$ $d_1, d_2$ — диагонали ромба \(в большинстве задач идут строго вдоль линий сетки\)\. #### Поиск тригонометрии угла на клетках: 💡 Чтобы найти тангенс угла $\angle AOB$, вершина $O$ которого лежит в узле сетки: 1\. Выберите на луче $OB$ точку, попадающую **строго в перекрестие \(узел\) клеток**\. 2\. Опустите из неё перпендикуляр на луч $OA$ \(по линии сетки\)\. 3\. Тангенс равен отношению противолежащего катета \(клеток\) к прилежащему катету: $$ \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{вертикальный катет}}{\text{горизонтальный катет}} $$ **Задание:** Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке\.  **Пошаговое решение:**  Опускаем точки конца наклонной перпендикуляр на другой луч\. Образовался прямоугольный треугольник \- это самое главное, что вы тут должны сделать: • Противолежащий катет \(вертикальный\): равен $3$ клеткам\. • Прилежащий катет \(горизонтальный\): равен $2$ клеткам\. 4\) По определению тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$ \operatorname{tg}\alpha=\dfrac32=1{,}5 $$ ## Тренажёры 9 задания базового ЕГЭ по математике Ниже собраны все возможные варианты 9 заданий в базовом ЕГЭ по математике, составленные по прототипам из открытого банка ФИПИ и экзаменов прошлых лет\. Для каждого задания вы найдете подробное понятное решение, которое поможет подготовиться к экзамену и автоматическую проверку ответов, --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-bazovyy-uroven/slots/9-zadanie).