> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 1 задание ЕГЭ по математике профиль \- планиметрия **Задание 1 профильного ЕГЭ по математике** направлено на планиметрию и проверяет умение решать геометрические задачи на плоскости\. Задание проверяет свойства треугольников \(произвольных, прямоугольных, равнобедренных\), параллелограммов, ромбов, трапеций, правильных многоугольников и окружностей, а также все ключевые формулы вычисления площадей и углов\. На этой странице собраны основные формулы и свойства планиметрии из кодификатора ФИПИ: от теоремы Пифагора и тригонометрии до свойств вписанных и описанных окружностей и теорем о касательных и секущих\. Подробные разборы всех теорем можно найти на страницах посвященной каждой теме\. Отработать теорию по планиметрии можно после теории в [тренажёрах 1 задания ЕГЭ по математике](#zadaniye-1-ege-na-platforme-ekzameo) с подробными пошаговыми решениями и чертежами, они помогут вам решать геометрию на плоскости в первой части быстро и без ошибок\. ## Разбор теории и формул для 1 задания > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie). Ниже разберем основную необходимую теорию по всем фигурам, задачи на которые встречаются в открытом банке заданий ФИПИ и были в вариантах экзамена в прошлые года ### Треугольники: произвольные, прямоугольные и равнобедренные Треугольники составляют более половины всех задач 1 задания\. Разберем основные свойства и соотношения между элементами, которых будет достаточно для первой части ЕГЭ\. Любая из формул может пригодиться при решении заданий ##### Прямоугольный треугольник  • **Теорема Пифагора:** $a^2 + b^2 = c^2$ • **Тригонометрия:** $\sin A = \dfrac{a}{c}$, $\cos A = \dfrac{b}{c}$, $\text{tg}\, A = \dfrac{a}{b}$ • **Медиана к гипотенузе:** равна половине гипотенузы \($m_c = \dfrac{c}{2} = R$\) • **Высота к гипотенузе:** $h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \dfrac{a \cdot b}{c}$ • **Радиус вписанной окружности:** $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ ##### Произвольный треугольник  • **Теорема синусов:** $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ • **Теорема косинусов:** $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ • **Свойства линий:**   – Биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим \($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b}{c}$\)   – Средняя линия параллельна основанию и равна его половине \($q = \frac{a}{2}$\) #### Формулы площади треугольника Для ЕГЭ нужно знать все формулы для площадей треугольника, собрали их все в таблицу, чтобы по ней можно было сделать шпаргалку\. ##### Формула площади ##### Математическая запись ##### Когда применять **Через сторону и высоту** $S = \dfrac{1}{2} a h_a$ Известны сторона и проведённая к ней высота\. **Через две стороны и угол** $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$ Известны две стороны и угол между ними\. **Формула Герона** $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ Известны все три стороны \($p = \frac{a + b + c}{2}$\)\. **Через полупериметр и **$r$ $S = p \cdot r$ Универсальна для любого описанного многоугольника\. **Правильный \(равносторонний\)** $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$ Все стороны равны $a$ \($R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$\)\. #### Тригонометрия в прямоугольном треугольнике  **Тригонометрия:** $\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$, $\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$, $\text{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}$ #### Подобие треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого\. **Обозначение:** $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$  Коэффициент подобия — это число, показывающее, **во сколько раз стороны одного треугольника больше \(или меньше\) соответствующих сторон другого**\. Вспомним три признака подобия треугольников: ### **Признак** > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie). ### **Условие** ### **Краткое название** [Первый признак подобия треугольников](/theory/math_grade_8/pervyi_priznak_podobiya_treugolnikov) $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ По двум углам [Второй признак подобия треугольников](/theory/math_grade_8/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov) $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$, $\angle A = \angle A_1$ По двум сторонам и углу [Третий признак подобия треугольников](/theory/math_grade_8/tretiy-priznak-podobiya-treugolnikov) $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ По трём сторонам ### Четырёхугольники и многоугольники > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie). ##### Фигура ##### Ключевые свойства ##### Формулы площади **Параллелограмм**  Противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам\. $S = a h_a$ $S = ab \sin \alpha$ $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$ **Ромб**  Все стороны равны; диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов\. $S = a h$ $S = a^2 \sin \alpha$ $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$ **Трапеция**  Основания параллельны\. Средняя линия $m = \dfrac{a + b}{2}$\. В равнобедренной трапеции углы при основании и диагонали равны\. $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$ $S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2 \sin \phi$ ### Окружность, круг и комбинации фигур #### Углы и отрезки в окружности 🎯 • **Центральный угол:** равен градусной мере дуги, на которую опирается \($\alpha = \cup AB$\)\. • **Вписанный угол:** равен половине дуги, на которую опирается \($\beta = \dfrac{1}{2} \cup AB$\)\. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны\. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой \($90^\circ$\)\.  • **Касательная и радиус:** радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной\. Отрезки касательных из одной точки равны\. • **Пересекающиеся хорды:** $AE \cdot EB = CE \cdot ED$\.  ### Вписанные и описанные четырёхугольники ##### Описанный четырёхугольник ⭕ Окружность вписана в четырёхугольник $\iff$ **суммы противоположных сторон равны**: $$ a + c = b + d $$ ##### Вписанный четырёхугольник 🔵 Четырёхугольник вписан в окружность $\iff$ **сумма противоположных углов равна **$180^\circ$: $$ \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ $$ #### Лайфхак для Задания 1 ЕГЭ\! 💡 1\. **Равнобедренная трапеция:** Около трапеции можно описать окружность *только если она равнобедренная*\. 2\. **Описанный параллелограмм:** Если в параллелограмм вписана окружность, то это *ромб* \(или квадрат\)\. Если параллелограмм вписан в окружность, то это *прямоугольник* \(или квадрат\)\. 3\. **Площадь через медианы:** Медиана делит треугольник на два равновеликих \(равных по площади\)\. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников\. ### Алгоритм решения первого задания: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie). **Проанализируйте условие и сделайте чертёж:** отметьте известные стороны, высоты и углы\. Выделите искомый элемент\. **Найдите ключевые связующие фигуры:** выделите прямоугольные треугольники, равнобедренные элементы или вписанные углы\. **Примените подходящую теорему или формулу:** выберите кратчайшую формулу \($S = \frac{1}{2}ab\sin C$, теорему Пифагора, $P = 2(a+b)$\) и выпишите итоговое число в бланк\. ### Разбор некоторых прототипов Рассмотрите решения характерных задач первой линии ЕГЭ по математике\. **Задание:** В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 12$, $\cos A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$\. Найдите гипотенузу $AB$\. **Подробное решение:** 1\) Свяжем $\sin A$ и $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \implies \sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{7}{16}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4} $$ 2\) По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $$ \sin A = \dfrac{BC}{AB} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{AB} $$ 3\) Выразим гипотенузу $AB$: $$ AB = \dfrac{12 \cdot 4}{3} = 16 $$ **Ответ:** $16$\. **Задание:** Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 7$, $BC = 10$, $CD = 14$\. Найдите четвёртую сторону $AD$\.  **Подробное решение:** 1\) По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: $$ AB + CD = BC + AD $$ 2\) Подставим данные из условия задачи: $$ 7 + 14 = 10 + AD \implies 21 = 10 + AD $$ 3\) Вычислим сторону $AD$: $$ AD = 21 - 10 = 11 $$ **Ответ:** $11$\. **Задание:** Основания равнобедренной трапеции равны $14$ и $26$, а её боковая сторона равна $10$\. Найдите площадь трапеции\. **Подробное решение:** 1\) Опустим две высоты $BH$ и $CK$ из вершин меньшего основания на большее $AD = 26$\. 2\) Отрезок $HK = BC = 14$\. Так как трапеция равнобедренная, крайние отрезки равны: $$ AH = KD = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{26 - 14}{2} = 6 $$ 3\) Из прямоугольного треугольника $ABH$ \($AB = 10$, $AH = 6$\) найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора: $$ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $$ 4\) Рассчитаем площадь трапеции: $$ S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h = \dfrac{14 + 26}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160 $$ **Ответ:** $160$\. ## Тренажёры по 1 заданию ЕГЭ по математике Довести до автоматизма решение **Задания 1 профильного ЕГЭ по математике** помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео»\. В нашем банке собраны все различные варианты актуальных прототипов задач ФИПИ на планиметрию: все виды треугольников, четырёхугольников, окружностей и вписанных фигур\. Для каждого задания вы найдете подробные решения и проверку ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/1-zadanie).