> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 6 задание ЕГЭ по профильной математике 2027 года На данной странице разбираем 6 задание ЕГЭ по математике в новой версии 2027 года\. Это задание связано со случайными величинами и проверяет умение находить их числовые характеристики: **математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение**, а также применять свойства ключевых законов распределения: **равномерного, показательного \(экспоненциального\) и нормального \(Гауссова\)** согласно новой спецификации ФИПИ\. На этой странице систематизирована вся необходимая теория для нового задания: определения, формулы числовых характеристик, свойства функций и плотностей распределения, а также геометрический и практический смысл каждого распределения с разобранными прототипами\. Отработать навыки решения задач нового типа можно в интерактивных [тренажёрах Задания 6 ЕГЭ](#zadaniye-6-ege-trenazhery-na-platforme-ekzameo) с подробными пошаговыми решениями\. ## Случайная величина в 6 задании ЕГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie). **Случайная величина \(СВ\)** — это числовая переменная, которая в результате случайного эксперимента принимает одно из своих возможных значений с определённой вероятностью\. Случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами \($X$, $Y$, $\xi$\), а их конкретные числовые значения — строчными \($x_1$, $x_2$, $\dots$\)\. Всего выделяют две категории случайных величин, при чем согласно спецификации ФИПИ в 6 задании могут встречаться обе: ##### 1\. Дискретная случайная величина \(ДСВ\) 🎲 Принимает отдельные, изолированные числовые значения, которые можно пересчитать \(конечное или счётное число значений\)\. • *Примеры:* число выпавших очков на игральном кубике \($X \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$\), число бракованных деталей в партии, количество попаданий в мишень при 5 выстрелах\. ##### 2\. Непрерывная случайная величина \(НСВ\) ⏱️ Принимает любые действительные значения из некоторого числового промежутка \(интервала или всей числовой прямой\)\. • *Примеры:* время ожидания автобуса на остановке \($T \in [0; 15]\text{ мин}$\), погрешность измерительного прибора, срок безотказной работы лампы, рост выпускника\. Отличия в их расчете достаточно существенны, если дискретную случайную величину можно рассчитать по обыкновенным формулам суммы, то вот непрерывная случайная величина рассчитывается уже по формулам с интегралами\. ## Числовые характеристики случайных величин Для описания поведения случайной величины используются два вида параметров: центр распределения \(математическое ожидание\) и степень разброса \(дисперсия и стандартное отклонение\)\. ##### Характеристика ##### Дискретная величина \(ДСВ\) ##### Непрерывная величина \(НСВ\) **Математическое ожидание \(**$\mathbb{E}[X]$** или **$M[X]$**\)** *\(среднее ожидаемое значение\)* $$ \mathbb{E}[X] = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i p_i $$ Математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на её вероятность\. $$ \sum p_{i}=1 $$ То есть суммарная вероятность всех величин составляет 1\. $$ \mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx $$ **Дисперсия \(**$\mathbb{D}[X]$** или **$\text{Var}(X)$**\)** *\(мера рассеяния относительно центра\)* $\mathbb{D}[X] = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$ где $\mathbb{E}[X^2] = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$ $\mathbb{D}[X] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x - \mathbb{E}[X])^2 f(x)\,dx$ или $\mathbb{D}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$ **Стандартное отклонение \(**$\sigma[X]$**\)** $\sigma = \sqrt{\mathbb{D}[X]}$ $\sigma = \sqrt{\mathbb{D}[X]}$ #### Свойства математического ожидания и дисперсии 🎯 • **Константа:** $\mathbb{E}[C] = C$, $\mathbb{D}[C] = 0$\. • **Линейность ожидания:** $\mathbb{E}[aX + b] = a\mathbb{E}[X] + b$, $\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]$\. • **Свойства дисперсии:** $\mathbb{D}[aX + b] = a^2 \mathbb{D}[X]$\. Для независимых величин: $\mathbb{D}[X \pm Y] = \mathbb{D}[X] + \mathbb{D}[Y]$\. ## Функция распределения F\(x\) и плотность вероятности f\(x\) > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie). Непрерывную случайную величину невозможно задать таблицей, поскольку вероятность попадания в одну точную точку равна нулю \($P(X = x_0) = 0$\)\. Для их описания используют функциональные методы\. ##### Функция распределения $F(x)$ 📈 Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, строго меньшее $x$: $$ F(x) = P(X < x) $$ • Неубывающая: если $x_1 < x_2$, то $F(x_1) \le F(x_2)$ • Пределы: $F(-\infty) = 0$, $F(+\infty) = 1$ • Вероятность попадания в интервал: $$ P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) $$ ##### Плотность вероятности $f(x)$ 📉 Производная от функции распределения: f\(x\) = F'\(x\) если F\(x$f(x) = F'(x) \iff F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$ • Условие нормировки \(вся площадь равна $1$\): $$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1 $$ • Вероятность как площадь под кривой: $$ P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx $$ ## Изучаемые законы распределения из спецификации Согласно кодификатору ЕГЭ, в Задании 6 проверяются 3 непрерывных закона распределения: ##### Закон распределения ##### Плотность f\(x\) и функция F\(x\) ##### Параметры E\[x\] и D\[x\] ##### Геометрия и практический смысл **Равномерное **$U[a; b]$ $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a}, & x \in [a; b] \\ 0, & x \notin [a; b] \end{cases}$ $F(x) = \dfrac{x - a}{b - a}$ $\mathbb{E}[X] = \dfrac{a + b}{2}$ $\mathbb{D}[X] = \dfrac{(b - a)^2}{12}$ График $f(x)$ — прямоугольник\. Вероятность равна отношению длин интервалов: $P(c \le X \le d) = \dfrac{d - c}{b - a}$ *\(Время ожидания строго по расписанию\)\.* **Показательное \(экспоненциальное\) **$\text{Exp}(\lambda)$ $f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$ $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ $\mathbb{E}[X] = \dfrac{1}{\lambda}$ $\mathbb{D}[X] = \dfrac{1}{\lambda^2}$ $\sigma = \dfrac{1}{\lambda}$ Свойство отсутствия памяти\. Описывает время до наступления редкого события \(срок службы приборов, радиоактивный распад, время обслуживания клиента\)\. $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ **Нормальное \(Гауссово\) **$N(\mu; \sigma^2)$ $f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$ где $\mu$ — центр симметрии, $\sigma$ — масштаб разброса\. $\mathbb{E}[X] = \mu$ $\mathbb{D}[X] = \sigma^2$ $\sigma[X] = \sigma$ Колоколообразная кривая Гаусса\. Симметрична относительно $\mu$\. Описывает большинство массовых природных явлений и погрешностей измерений\. #### Главное правило для нормального распределения: «Правило трёх сигм» 💡 Для нормальной величины $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ вероятности попадания в симметричные окрестности центра $\mu$ фиксированы: 1\. $P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx \mathbf{0{,}6827}$ \(около $68{,}3\%$ всех значений попадают в диапазон $\pm 1\sigma$\)\. 2\. $P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx \mathbf{0{,}9545}$ \(около $95{,}4\%$ всех значений попадают в диапазон $\pm 2\sigma$\)\. 3\. $P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx \mathbf{0{,}9973}$ \(почти $99{,}7\%$ всех значений гарантированно лежат в пределах $\pm 3\sigma$\)\. ### Пошаговый алгоритм решения 6 задания 2027 года При решении задач 6 линии ЕГЭ придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie). **Определите тип случайной величины:** если задана таблица с вероятностями — это ДСВ; если заданы интервалы, непрерывное время или график — это НСВ\. **Идентифицируйте закон распределения:** выделите параметры \($a, b$ для равномерного; $\lambda$ для показательного; $\mu, \sigma$ для нормального\)\. **Примените готовую формулу или геометрический смысл:** найдите искомую вероятность через площадь под графиком/функцию распределения или вычислите числовую характеристику \($\mathbb{E}[X]$, $\mathbb{D}[X]$\)\. ### Разбор типовых задач Задания 6 из спецификации ЕГЭ Рассмотрите решения характерных прототипов задач на различные типы распределений\. **Задание:** Дискретная случайная величина $X$ задана законом распределения: $X$ $1$ $3$ $5$ $P$ $0{,}2$ $0{,}5$ $p_3$ Найдите неизвестную вероятность $p_3$, математическое ожидание $\mathbb{E}[X]$ и дисперсию $\mathbb{D}[X]$\. **Подробное решение:** 1\) По условию нормировки сумма всех вероятностей равна $1$: $$ 0{,}2 + 0{,}5 + p_3 = 1 \implies p_3 = 1 - 0{,}7 = 0{,}3 $$ 2\) Вычислим математическое ожидание $\mathbb{E}[X]$: $$ \mathbb{E}[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}5 + 1{,}5 = 3{,}2 $$ 3\) Вычислим математическое ожидание квадрата величины $\mathbb{E}[X^2]$: $$ \mathbb{E}[X^2] = 1^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}5 + 5^2 \cdot 0{,}3 = 1 \cdot 0{,}2 + 9 \cdot 0{,}5 + 25 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 4{,}5 + 7{,}5 = 12{,}2 $$ 4\) Найдем дисперсию по формуле $\mathbb{D}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$: $$ \mathbb{D}[X] = 12{,}2 - (3{,}2)^2 = 12{,}2 - 10{,}24 = 1{,}96 $$ **Ответ:** $p_3 = 0{,}3$; $\mathbb{E}[X] = 3{,}2$; $\mathbb{D}[X] = 1{,}96$\. **Задание:** Масса пакета муки, расфасованного на автоматической линии, является нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием $\mu = 1000\text{ г}$ и стандартным отклонением $\sigma = 10\text{ г}$\. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакет имеет массу от $990\text{ г}$ до $1020\text{ г}$\. **Подробное решение:** 1\) Выразим границы интервала через параметры $\mu$ и $\sigma$: • Левая граница: $990 = 1000 - 10 = \mu - 1\sigma$\. • Правая граница: $1020 = 1000 + 2 \cdot 10 = \mu + 2\sigma$\. 2\) Разобьем искомый интервал $[\mu - 1\sigma; \mu + 2\sigma]$ на две части относительно центра симметрии $\mu$: $$ P(990 \le X \le 1020) = P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu) + P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) $$ 3\) Из свойств симметрии кривой Гаусса и правила сигм: • Диапазон $[\mu - 1\sigma; \mu + 1\sigma]$ имеет вероятность $0{,}6827$, значит половина диапазона: $$ P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu) = \dfrac{0{,}6827}{2} \approx 0{,}34135 $$ • Диапазон $[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]$ имеет вероятность $0{,}9545$, значит половина диапазона: $$ P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \dfrac{0{,}9545}{2} \approx 0{,}47725 $$ 4\) Сложим вероятности: $$ P = 0{,}34135 + 0{,}47725 = 0{,}8186 \approx 0{,}82 $$ **Ответ:** $0{,}82$ \(или $0{,}819$\)\. **Задание:** Автобусы прибывают на остановку строго каждые 20 минут\. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени\. Найдите вероятность того, что время ожидания автобуса составит от 4 до 15 минут\. **Подробное решение:** 1\) Время ожидания $T$ распределено равномерно на отрезке $[0; 20]$, то есть $a = 0$, $b = 20$\. 2\) Плотность вероятности постоянна на этом отрезке: $f(t) = \dfrac{1}{b - a} = \dfrac{1}{20 - 0} = \dfrac{1}{20}$\. 3\) Вероятность попадания в интервал $[4; 15]$ равна отношению длины благоприятного интервала к длине всего интервала: $$ P(4 \le T \le 15) = \dfrac{15 - 4}{20 - 0} = \dfrac{11}{20} = 0{,}55 $$ **Ответ:** $0{,}55$\. ## Тренажёры по Заданию 6 ЕГЭ на Экзамео Ниже собраны тренажеры по новому формату 6 задания ЕГЭ по математике 2027 года, составленные на основе демоверсии и информации из спецификации\. По мере наполнения банка заданий ФИПИ мы будем добавлять новые тренажеры, чтобы вы могли подготовиться к экзамену\. Для каждого задания вы найдете подробное решение с полноценным объяснением\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/ege-po-matematike-profilnyy-uroven/slots/6-zadanie).