> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 13 ОГЭ по математике \- неравенства и их решение **Задание 13 ОГЭ по математике** входит в базовый блок первой части \(модуль «Алгебра»\) и приносит **1 первичный балл**\. Оно проверяет умение решать алгебраические неравенства: линейные, квадратные и системы неравенств, а также запись ответа графически на числовой прямой и через скобки\. В открытом банке ФИПИ встречаются ровно три вида заданий: **линейные неравенства**, **квадратные неравенства** и **системы линейных неравенств**\. На этой странице разберем всю теорию, необходимую для выполнения 13 задания \- методы решения всех видов неравенств, графически и аналитически, а так же варианты записи ответов через скобки и через числовую прямую Отработать все прототипы тринадцатого задания можно после теории в интерактивных [тренажёрах 13 задания ОГЭ по математике](#zadaniye-13-oge-na-platforme-ekzameo) с автоматической проверкой и подробными решениями\. ## Как решать 13 задание ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie). Прежде всего нужно понимать, что существует два вида неравенств \- строгие и нестрогие\. Именно благодаря знаку неравенства и ОДЗ определяется будут точки выколотыми или нет, будут скобки круглыми или квадратными ### Строгие и нестрогие неравенства\. В 13 задании в качестве вариантов ответа чаще всего предлагаются координатные прямые со штриховкой или числовые промежутки\. Понимание разницы между строгим и нестрогим неравенством определяет правильный выбор: ##### Знак неравенства ##### Точка на прямой ##### Вид скобок ##### Смысл границы **Строгое:** $>$ \(больше\) или $<$ \(меньше\) **Выколотая \(светлая\) точка:** пустой кружок $\circ$  **Круглые скобки:** $(a; b)$, $(-\infty; a)$, $(b; +\infty)$ Сама граничная точка **не включается** в решение \($x \neq a$\)\. **Нестрогое:** $\ge$ \(больше или равно\) или $\le$ \(меньше или равно\) **Закрашенная \(тёмная\) точка:** сплошной кружок $\bullet$  **Квадратные скобки:** $[a; b]$, $(-\infty; b]$, $[a; +\infty)$ Граничная точка **входит** в решение \($x = a$ допустимо\)\. #### Как выглядит решение на числовой прямой 🎯 • Обозначения бесконечности $-\infty$ и $+\infty$ **всегда** закрываются только **круглой скобкой**, так как бесконечность не является конкретным числом\. • Направление штриховки совпадает со знаком неравенства для переменной $x$ слева: $x > a$ — штриховка идёт **вправо** к $+\infty$; $x < a$ — штриховка идёт **влево** к $-\infty$\. ### Разбор всех видов 13 заданий > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie). #### Линейные неравенства Линейное неравенство приводится к базовому виду $ax > b$ или $ax < b$ путём раскрытия скобок и переноса слагаемых с $x$ влево, а чисел — вправо\. Решение иллюстрируется открытым или замкнутым числовым лучом\. #### Главное правило знака при делении на минус\! 💡 Если обе части неравенства умножаются или делятся на **отрицательное число**, знак самого неравенства **обязательно меняется на противоположный**: $$ -2x \le 6 \implies x \ge \dfrac{6}{-2} \implies x \ge -3 $$ *Штриховка на числовой оси разворачивается в противоположную сторону\!* Место под иллюстрацию: числовая прямая с решением линейного неравенства $x \ge -3$ \(закрашенная точка $-3$, штриховка вправо\)\. #### Квадратные неравенства: 2 метода решения Квадратное неравенство имеет общий вид $ax^2 + bx + c > 0$ \(или $< 0, \ge 0, \le 0$\)\. Первым шагом всегда находят корни соответствующего уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант или теорему Виета \($x_1$ и $x_2$\)\. Далее применяют один из двух способов: ##### Способ А: Метод параболы 📈 1\. На числовой оси отмечаем корни $x_1$ и $x_2$\. 2\. Смотрим на знак старшего коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви схематичной параболы направлены **вверх**, если $a < 0$ — **вниз**\. 3\. Знаки определяются по расположению дуги: выше оси $Ox$ — знак «$+$», ниже оси — знак «$-$\. 4\. Для знака $> 0$ штрихуем участки с плюсом \(концы\), для $< 0$ — участок с минусом \(между корнями\)\. ##### Способ Б: Метод интервалов 🎯 1\. Раскладываем левую часть на множители: $a(x - x_1)(x - x_2) \gtrless 0$\. 2\. Наносим корни $x_1$ и $x_2$ на числовую ось, разбивая её на три интервала\. 3\. Определяем знак на крайнем правом интервале \(подставив заведомо большое число, например $100$\) и чередуем знаки справа налево \($+ - +$\)\. 4\. Выбираем интервалы в соответствии со знаком неравенства\. Место под иллюстрацию: схематичная парабола ветвями вверх над осью $Ox$ со знаками $+ - +$ и параллельно метод интервалов с дугами\. #### Системы неравенств Система неравенств, объединённая фигурной скобкой $\begin{cases} \dots \\ \dots \end{cases}$, требует одновременного выполнения всех условий: #### Алгоритм решения системы неравенств: 1\. Решаем каждое неравенство системы по отдельности и получаем простейшие условия \(например, $x > a$ и $x \le b$\)\. 2\. Наносим оба решения на **одну общую числовую прямую**: • первое решение отмечаем верхней штриховкой \(или штриховкой с наклоном вправо\); • второе решение отмечаем нижней штриховкой \(или наклоном влево\)\. 3\. Находим **пересечение \(общую часть\)** — зону, где штриховка нанесена одновременно вверху и внизу \(двойная штриховка\)\. 4\. Записываем получившийся интервал или выбираем соответствующий чертёж из предложенных вариантов\. Место под иллюстрацию: координатная прямая с двойной штриховкой \(сверху и снизу\), показывающая пересечение двух лучей\. При выполнении Задания 13 на экзамене придерживайтесь алгоритма: ### Алгоритм решения 13 задания ОГЭ по математике **Определите тип неравенства:** линейное, квадратное или система двух неравенств\. **Найдите корни и граничные точки:** решите линейное уравнение, найдите нули квадратичной функции через дискриминант или решите каждую строчку системы\. **Изобразите решение графически:** нарисуйте числовую ось на черновике, правильно выколите или закрасьте точки, расставьте знаки \(методом параболы/интервалов\) и нанесите штриховку\. **Сопоставьте с вариантами ответа:** найдите рисунок или числовой промежуток, в точности совпадающий с вашим чертежом, и запишите номер верного варианта в бланк № 1\. ### Разбор прототипов Задания 13 из банка ФИПИ Рассмотрите решения характерных прототипов 13 задания открытого банка ФИПИ\. **Задание:** Укажите решение неравенства $2 - 3(2x + 2) > 5 - 4x$\. 1\) $(-\infty; -4{,}5)$ 2\) $(-4{,}5; +\infty)$ 3\) $(-\infty; -2{,}5)$ 4\) $(-2{,}5; +\infty)$ **Подробное решение:** 1\) Раскроем скобки в левой части: $$ 2 - 6x - 6 > 5 - 4x $$ $$ -6x - 4 > 5 - 4x $$ 2\) Перенесём слагаемые с переменной $x$ влево, а числа — вправо: $$ -6x + 4x > 5 + 4 $$ $$ -2x > 9 $$ 3\) Разделим обе части на отрицательное число $-2$, **поменяв знак неравенства** с $>$ на $<$: $$ x < \dfrac{9}{-2} \implies x < -4{,}5 $$ 4\) Неравенство строгое \($<$\), точка $-4{,}5$ выколотая, штриховка идёт влево к $-\infty$\. Числовой промежуток: $(-\infty; -4{,}5)$, что соответствует варианту под номером 1\. **Ответ:** 1\. **Задание:** Укажите решение неравенства $x^2 - 49 \le 0$\. **Подробное решение:** 1\) Найдем нули функции: приравняем выражение к нулю: $$ x^2 - 49 = 0 \implies (x - 7)(x + 7) = 0 \implies x_1 = -7, \quad x_2 = 7 $$ 2\) Так как знак неравенства нестрогий \($\le$\), граничные точки $-7$ и $7$ на числовой прямой будут **закрашенными**\. 3\) **Способ 1 \(метод параболы\):** Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх \($a = 1 > 0$\)\. Парабола опускается ниже оси $Ox$ между своими корнями\. Следовательно, условию $\le 0$ соответствует отрезок между корнями: $[-7; 7]$\. 4\) **Способ 2 \(метод интервалов\):** Корни $-7$ и $7$ разбивают ось на три промежутка: $(-\infty; -7]$, $[-7; 7]$, $[7; +\infty)$\. Знаки интервалов справа налево: $+$ \(при $x = 10 \implies 100 - 49 > 0$\), затем $-$, затем $+$\. Нам требуется знак $\le 0$ \(минус\): выбираем $[-7; 7]$ **Ответ:** $[-7; 7]$ \(или соответствующий рисунок отрезка с закрашенными точками\)\. **Задание:** Решите систему неравенств $\begin{cases} x + 3{,}6 \le 0 \\ x + 2 \ge -1 \end{cases}$\. На каком рисунке изображено множество её решений? **Подробное решение:** 1\) Решим первое неравенство системы: $$ x + 3{,}6 \le 0 \implies x \le -3{,}6 $$ 2\) Решим второе неравенство системы: $$ x + 2 \ge -1 \implies x \ge -1 - 2 \implies x \ge -3 $$ 3\) Запишем систему в простейшем виде: $$ \begin{cases} x \le -3{,}6 \\ x \ge -3 \end{cases} $$ 4\) Нанесём условия на числовую прямую: • $x \le -3{,}6$: закрашенная точка $-3{,}6$, штриховка влево; • $x \ge -3$: закрашенная точка $-3$, штриховка вправо\. 5\) Так как $-3{,}6 < -3$, лучи направлены в противоположные стороны и не имеют общих точек\. Пересечение пусто: решений нет\. **Ответ:** решений нет \(пустое множество $\varnothing$\)\. ## Все виды 13 задания ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie). Ниже собраны все прототипы 13 заданий на неравенства в ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ\. Для каждого задания вы найдете подробное решение с объяснением на графике и большое количество вариантов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/13-zadanie).