> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 14 задание ОГЭ по математике \- прогрессии **14 задание ОГЭ по математике **представляет собой прикладную сюжетную задачу на **числовые последовательности: арифметическую и геометрическую прогрессии,** входит в первую часть в модуль «Алгебра» и приносит **1 первичный балл**\. Отработать навыки решения задач четырнадцатой задачи помогут интерактивные [тренажёры по 14 заданию ОГЭ по математике](#zadaniye-14-oge-na-platforme-ekzameo) с проверкой ответов и подробными решениями\. **Прогрессия** — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член однозначно определяется из предыдущего по фиксированному закону\. ## Как решать 14 задание на ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie). Прежде всего нужно понимать несколько основных моментов про 14 задание: Главное преимущество 14 задания — большинство задач можно решить как с помощью классических формул $n$\-го члена и суммы $S_n$, которые будут в справочном материале на экзамене\. По сути, все, что нужно сделать \- научиться использовать эти формулы и понять за что отвечают члены формулы\. Более того, задачи можно решать и при помощи простых последовательных расчётов по шагам\. Всего существует два вида прогрессий, которые могут встречаться на экзамене в 9 классе \- на странице разбираем оба вида и все формулы для них\. Так же в решении к каждому заданию вы найдете подробное объяснение \- это поможет лучше разобраться в теме\. В этом задании вам могут попасться прототипы заданий только из открытого банка ФИПИ, их всего 7 видов и все они собраны в тренажерах на этой странице с полноценными решениями\. Чтобы подготовиться к 14 заданию \- достаточно просто решить и запомнить способы решения конкретно этих заданий, одна из них будет на экзамене\. Мы регулярно обновляем банк заданий и все тренажёры актуальны Давайте разберем каждый вид прогрессии и формулы для него\. Вам нужно научиться различать прогрессии, чтобы правильно использовать формулы\. ### Арифметическая прогрессия ##### Арифметическая прогрессия Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же постоянного числа \(разности прогрессии\)\. Маркеры в тексте: «на больше/меньше», «каждый день на одно и то же число метров больше»\. Первый член арифметической прогрессии, то число, с которого она начинается называется $a_1$, нижний индекс показывает номер члена прогрессии, тогда формула для любого члена прогрессии с номером n выглядит следующим образом: ##### Формула для n\-го члена прогрессии: $$ a_{n}=a_1+d(n-1) $$ d \- разность прогрессии\(на сколько отличаются друг от друга члены прогрессии\), n \- номер члена прогрессии ##### Посчитать сумму первых n\-членов арифметической прогрессии можно по формуле: $$ S_{n}=\dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2}\cdot n $$ ##### Пример возрастающей арифметической прогрессии $$ 3, 5, 7, 9, 11, ... $$ Шаг прогрессии d=2, первый член $a_1=3_{}$ ##### Пример убывающей арифметической прогрессии $$ 10, 6, 2, -2, -6, ... $$ Шаг прогрессии d=\-4, первый член $a_1=10$ Давайте так же рассмотрим задачи на арифметическую прогрессию в 14 задании: **Задание:** В амфитеатре 14 рядов\. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем\. Сколько всего мест в амфитеатре? **Подробное решение:** 1\) Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: • Первый член: $a_1 = 20$\. • Разность прогрессии: $d = 3$\. • Количество рядов: $n = 14$\. 2\) Найдём количество мест в последнем \(14\-м\) ряду: $$ a_{14} = a_1 + d \cdot (14 - 1) = 20 + 3 \cdot 13 = 20 + 39 = 59 $$ 3\) Найдём общее число мест во всём амфитеатре по формуле суммы $S_{14}$: $$ S_{14} = \dfrac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = \dfrac{20 + 59}{2} \cdot 14 = 79 \cdot 7 = 553 $$ **Ответ:** $553$\. **Задание:** Улитка ползет от одного дерева к другому\. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день\. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 10 метров\. Сколько дней ползла улитка, если общее расстояние между деревьями равно 150 метров? **Подробное решение:** 1\) Расстояния, пройденные за каждый день, образуют арифметическую прогрессию\. 2\) По условию задачи: • Сумма первого и последнего дней: $a_1 + a_n = 10\text{ м}$\. • Общая сумма расстояний за все дни: $S_n = 150\text{ м}$\. 3\) Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $$ 150 = \dfrac{10}{2} \cdot n \implies 150 = 5 \cdot n $$ 4\) Выразим количество дней $n$: $$ n = \dfrac{150}{5} = 30 $$ **Ответ:** $30$\. ### Геометрическая прогрессия > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie). ##### Геометрическая прогрессия \($\cdot q$\) Каждый следующий член получается **умножением** на одно и то же постоянное число $q \neq 0$ \(знаменатель прогрессии\)\. *Маркеры в тексте:* «в $k$ раз больше/меньше», «каждый час удваивается / увеличивается в 3 раза»\. ##### Формула для члена арифметической прогрессии с номером n: $$ b_{n}=b_1\cdot q^{n-1} $$ Где q \- знаменатель геометрической прогрессии, $b_1$ \- первый член прогрессии, $b_{n}$ \- член прогрессии под номером n ##### Формула для суммы первых n\-членов геометрической прогрессии $$ S_{n}=\dfrac{(q^n - 1) \cdot b_1}{q - 1}\quad(q\neq1) $$ Всего в открытом банке ФИПИ 2 вида задач на геометрическую прогрессию в ОГЭ по математике, разберем решение такой задачи по шагам\. **Задание:** В ходе биологического эксперимента в пробирку поместили бактерию\. Каждые 30 минут бактерия делится на две\. Сколько бактерий будет в пробирке через 2 часа? **Подробное решение:** 1\) Вычислим, сколько циклов деления произойдет за 2 часа \($120$ минут\): $$ N_{\text{делений}} = \dfrac{120}{30} = 4\text{ цикла} $$ 2\) Проследим рост количества бактерий по этапам \(геометрическая прогрессия с $q = 2$\): • В начале \($0\text{ мин}$\): $1$ бактерия\. • Через $30\text{ мин}$ \(1 цикл\): $1 \cdot 2 = 2$ бактерии\. • Через $60\text{ мин}$ \(2 цикл\): $2 \cdot 2 = 4$ бактерии\. • Через $90\text{ мин}$ \(3 цикл\): $4 \cdot 2 = 8$ бактерий\. • Через $120\text{ мин}$ \(4 цикл\): $8 \cdot 2 = 16$ бактерий\. 3\) По формуле $n$\-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^4 = 1 \cdot 2^4 = 16$\. **Ответ:** $16$\. #### Справочник формул прогрессий для ОГЭ Все формулы, необходимые для решения 14 задания присутствуют в справочных материалах ОГЭ ##### Формула ##### Арифметическая прогрессия ##### Геометрическая прогрессия **Формула **$n$**\-го члена** $$ a_n = a_1 + d(n - 1) $$ $$ b_n = b_1 \cdot q^{n - 1} $$ **Сумма первых **$n$** членов \(**$S_n$**\)** $$ S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n $$ $$ S_n = \dfrac{(q^n - 1) \cdot b_1}{q - 1} \quad (q \neq 1) $$ #### Лайфхаки для Задания 14 ОГЭ\! 💡 1\. **Если шагов мало — считайте «в лоб»:** Если требуется найти значение на 4–6 день или ряд, проще расписать значения цепочкой \($a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$\) и сложить их вручную, чем вспоминать формулы суммы\. 2\. **Различайте **$a_n$** и **$S_n$**:** Внимательно читайте вопрос задачи\! Если спрашивают «Сколько мест в **7\-м ряду**?» — ищем $a_7$\. Если спрашивают «Сколько мест** в первых 7 рядах**?» — ищем сумму $S_7$\. 3\. **Задачи на деление бактерий:** Обратите внимание на стартовое время\. Если бактерии делятся каждые $20$ минут, то за $1$ час произойдёт $60 : 20 = 3$ деления \($n = 4$, включая начальный момент времени $t=0$\)\. Для безошибочного решения заданий на прогрессии существует единый алгоритм, давайте рассмотрим его ### Алгоритм решения 14 задания ОГЭ по математике: **Определите тип прогрессии:** если прибавление постоянного числа — арифметическая \($d$\), если умножение — геометрическая \($q$\)\. **Выпишите начальные параметры:** укажите первый член \($a_1$ или $b_1$\), шаг \($d$ или $q$\) и номер искомого элемента/периода \($n$\)\. **Вычислите ответ по формуле или цепочкой:** найдите искомый элемент \($a_n$\) или сумму \($S_n$\) и запишите целое число или конечную десятичную дробь в бланк\. ## Все виды 14 заданий из ОГЭ по математике Ниже собраны актуальные прототипы задач ФИПИ на арифметическую и геометрическую прогрессии \(амфитеатры, колодцы, бактерии, улитки, схемы приёма лекарств\)\. Для каждого задания доступны подробные решения и автоматическая проверка ответов\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/14-zadanie).