<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# 15 задание ОГЭ по математике \- треугольники и их свойства

**Задание 15 ОГЭ по математике** открывает геометрический блок первой части экзаменационного КИМа \(модуль «Геометрия»\) и приносит **1 первичный балл**\. Чтобы преодолеть минимальный порог на ОГЭ, каждому выпускнику необходимо набрать минимум 2 балла по геометрии, поэтому уверенное решение 15 линии гарантирует успешную сдачу экзамена\. Задание проверяет знание свойств **произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних треугольников**, умение находить углы, стороны и площади фигур\.

На этой странице систематизированы абсолютно все виды прототипов 15 задания из открытого банка ФИПИ: свойства углов и внешнего угла треугольника, теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса, теоремы синусов и косинусов, свойства замечательных линий \(биссектрис, медиан, высот и средних линий\), а также все необходимые формулы площадей с разборами реальных задач\.

Отработать каждый тип задач пятнадцатой линии помогут интерактивные [тренажёры Задания 15 ОГЭ по математике](#zadaniye-15-oge-na-platforme-ekzameo) с автоматической проверкой и подробными решениями\.

## 1\. Углы и замечательные линии в треугольнике

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie).


Фундаментальные теоремы планиметрии, на которых строится решение базовых задач 15 линии:

##### Свойства углов 📐

• **Сумма углов треугольника:** $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

• **Внешний угол:** равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним \($\angle \text{внеш} = \angle A + \angle B$\)

• **В равнобедренном треугольнике:** углы при основании равны \($\angle A = \angle C$\)

##### Замечательные линии ✂️

• **Медиана:** делит сторону пополам и разбивает треугольник на два равновеликих \(равных по площади\)

• **Биссектриса:** делит угол пополам и делит противолежащую сторону пропорционально прилежащим \($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b}{c}$\)

• **Средняя линия:** параллельна основанию и равна его половине \($q = \frac{a}{2}$\)

## 2\. Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Прямоугольные треугольники составляют до $50\%$ всех заданий 15 номера в ОГЭ:

##### Правило / Теорема

##### Математическая формула

##### Геометрический смысл

**Теорема Пифагора**

$a^2 + b^2 = c^2$

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов \($c = \sqrt{a^2 + b^2}$\)\.

**Синус острого угла \(**$\sin A$**\)**

$\sin A = \dfrac{a}{c}$

Отношение противолежащего катета к гипотенузе\.

**Косинус острого угла \(**$\cos A$**\)**

$\cos A = \dfrac{b}{c}$

Отношение прилежащего катета к гипотенузе\.

**Тангенс острого угла \(**$\text{tg}\,A$**\)**

$\text{tg}\,A = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin A}{\cos A}$

Отношение противолежащего катета к прилежащему\.

**Медиана к гипотенузе**

$m_c = \dfrac{c}{2} = R$

Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы \(радиусу описанной окружности\)\.

## 3\. Формулы площади, теоремы синусов и косинусов

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie).


#### Формулы площади треугольника 🎯

• **Через сторону и высоту:** $S = \dfrac{1}{2} a h_a$

• **Через две стороны и угол:** $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$

• **Для прямоугольного треугольника:** $S = \dfrac{1}{2} a b$ \(половина произведения катетов\)

• **Для равностороннего треугольника со стороной **$a$**:** $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \quad h = \dfrac{a \sqrt{3}}{2}$

##### Теорема синусов 🔵

$$\\dfrac\{a\}\{\\sin A\} = \\dfrac\{b\}\{\\sin B\} = \\dfrac\{c\}\{\\sin C\} = 2R$$
Используется, когда известны сторона, противолежащий угол или радиус $R$ описанной окружности\.

##### Теорема косинусов 🔴

$$c^2 = a^2 \+ b^2 \- 2ab \\cos C$$
Используется для нахождения третьей стороны по двум известным сторонам и углу между ними\.

#### Лайфхаки для Задания 15 ОГЭ\! 💡

1\. **Катет напротив угла **$30^\circ$**:** В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен ровно половине гипотенузы \($a = \frac{c}{2}$\)\. Это самая частая задача в 15 номере\!

2\. **Равнобедренный треугольник и высота:** Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является и биссектрисой, и медианой\. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника\.

3\. **Египетский треугольник:** Запомните пифагоровы тройки сторон прямоугольных треугольников, чтобы не тратить время на вычисление корней: $(3, 4, 5)$, $(6, 8, 10)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$\.

### Пошаговый алгоритм решения Задания 15

При выполнении Задания 15 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

### Порядок действий:

**Определите тип треугольника:** прямоугольный, равнобедренный, равносторонний или произвольный\. Отметьте известные величины прямо на чертеже КИМ\.

**Выберите подходящую теорему или формулу:** теорему Пифагора, определение тригонометрической функции, теорему синусов/косинусов или формулу площади\.

**Вычислите ответ и внесите в бланк № 1:** переведите обыкновенную дробь в десятичную форму и запишите число в бланк\.

### Разбор всех прототипов Задания 15 из банка ФИПИ

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie).


Рассмотрите подробные решения характерных геометрических прототипов 15 задания ОГЭ\.

**Задание:** В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$\. Внешний угол при вершине $C$ равен $124^\circ$\. Найдите величину угла $B$\. Ответ дайте в градусах\.

**Подробное решение:**

1\) Внутренний угол $\angle C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$:

$$
\angle C = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ
$$

2\) Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ \($AB = BC$\), углы при основании равны:

$$
\angle A = \angle C = 56^\circ
$$

3\) Найдем угол при вершине $B$, используя теорему о сумме углов треугольника:

$$
\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (56^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ
$$

**Ответ:** $68$\.

**Задание:** В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, катет $BC = 12$, а $\cos B = \dfrac{3}{5}$\. Найдите гипотенузу $AB$\.

**Подробное решение:**

1\) По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$:

$$
\cos B = \dfrac{BC}{AB}
$$

2\) Подставим известные числовые данные:

$$
\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{AB}
$$

3\) Выразим гипотенузу $AB$ по основному свойству пропорции:

$$
AB = \dfrac{12 \cdot 5}{3} = 4 \cdot 5 = 20
$$

**Ответ:** $20$\.

**Задание:** Стороны треугольника равны $10$ и $16$, а угол между ними равен $30^\circ$\. Найдите площадь треугольника\.

**Подробное решение:**

1\) Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$$
S = \dfrac{1}{2} a b \sin C
$$

2\) Подставим известные значения \($a = 10, b = 16, \sin 30^\circ = 0{,}5$\):

$$
S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 5 \cdot 16 \cdot 0{,}5 = 80 \cdot 0{,}5 = 40
$$

**Ответ:** $40$\.

## Тренажёры по Заданию 15 ОГЭ на Экзамео

Гарантированно набрать геометрические баллы и научиться безошибочно решать **Задание 15 ОГЭ по математике** помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео»\. В нашей базе собраны сотни актуальных прототипов задач ФИПИ на все виды треугольников, теорему Пифагора, тригонометрию, медианы, биссектрисы и площади\.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру с красочными геометрическими чертежами\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, доводите навыки геометрии до совершенства и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике\!

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/15-zadanie).