> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 16 ОГЭ по математике: окружность, круг и их элементы **Задание 16 ОГЭ по математике** входит в обязательный геометрический блок первой части экзаменационного КИМа \(модуль «Геометрия»\) и приносит **1 первичный балл**\. Наряду с 15 заданием, 16 линия обеспечивает набор минимально необходимых 2 баллов по геометрии для успешной сдачи экзамена\. Оно посвящено свойствам **окружности, круга и их элементов**: центральным и вписанным углам, хордам, касательным, секущим, а также комбинациям окружностей с треугольниками и четырёхугольниками\. На этой странице собрана вся теоретическая база кодификатора ФИПИ: связь дуг и углов, теоремы о взаимном расположении прямых и окружностей, правила вписанных и описанных многоугольников, а также разбор всех ключевых прототипов открытого банка заданий с пошаговыми чертежами\. Отработать все типы шестнадцатого номера помогут интерактивные [тренажёры Задания 16 ОГЭ по математике](#zadaniye-16-oge-na-platforme-ekzameo) с мгновенной проверкой и подсказками\. ## Углы в окружности и дуги > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie). Вся окружность составляет $360^\circ$\. Взаимосвязь между дугами и углами описывается двумя ключевыми понятиями: ##### Центральный угол \($\angle AOB$\) 🎯 Вершина угла лежит в **центре окружности** $O$\. • Равен градусной мере дуги, на которую опирается: $$ \angle AOB = \cup AB $$ ##### Вписанный угол \($\angle ACB$\) 📐 Вершина угла лежит на **самой окружности**, а стороны пересекают её\. Равен **половине дуги**, на которую опирается: $$ \angle ACB = \dfrac{1}{2} \cup AB = \dfrac{1}{2} \angle AOB $$  На рисунке угол AOB \- центральный, а угол ACB \- вписанный #### Важнейшие следствия о вписанных углах 💡 • **Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу \(или хорду\), равны\.** • **Вписанный угол, опирающийся на диаметр \(полуокружность **$180^\circ$**\), всегда прямой \(**$90^\circ$**\)\.**   Эти следствия активно используются в решении 16 задач ## Касательные, секущие и хорды ##### Элемент / Теорема ##### Формула / Соотношение ##### Геометрический смысл **Радиус и касательная** $R \perp \text{касательной}$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой \($\angle = 90^\circ$\)\. **Отрезки касательных из одной точки** $AB = AC$ Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной общей точки, равны\. **Пересекающиеся хорды** $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ Произведения отрезков пересекающихся внутри окружности хорд равны\. **Касательная и секущая** $AK^2 = AB \cdot AC$ Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть\. ## 3\. Вписанные и описанные четырёхугольники > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie). ##### Описанный четырёхугольник \(окружность внутри\) ⭕ Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда **суммы противоположных сторон равны**: $$ a + c = b + d $$ • Площадь: $S = p \cdot r$ \(где $p = \frac{P}{2}$\)\. ##### Вписанный четырёхугольник \(окружность снаружи\) 🔵 Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда **сумма противоположных углов равна **$180^\circ$: $$ \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ $$ • Около трапеции можно описать окружность только если она **равнобедренная**\. #### Лайфхаки для Задания 16 ОГЭ\! 💡 1\. **Радиусы образуют равнобедренные треугольники:** Если соединить центр $O$ с точками на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ всегда равны как радиусы \($OA = OB = R$\)\. Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный, а значит углы при его основании равны\! 2\. **Центр и касательная:** Всегда проводите радиус в точку касания — образуется угол $90^\circ$ и прямоугольный треугольник, к которому можно применить теорему Пифагора\. 3\. **Угол между касательной и хордой:** Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине заключенной между ними дуги \(то есть равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту хорду\)\. ### Пошаговый алгоритм решения Задания 16 При решении 16 задачи на экзамене придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите тип углов и элементов:** найдите, где находятся вершины углов \(в центре или на окружности\), отметьте известные дуги и радиусы\. **Примените геометрическое свойство:** свяжите углы через дуги, используйте свойство сумм противоположных сторон/углов четырёхугольника или прямоугольный треугольник с радиусом\. **Запишите итоговое число в бланк № 1:** проверьте, требовалось найти градусную меру угла или длину отрезка, и запишите ответ\. ### Разбор прототипов Задания 16 из банка ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie). Рассмотрите решения характерных задач 16 линии ОГЭ\. **Задание:** Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A, B$ и $C$\. Известно, что угол $\angle ABC = 56^\circ$\. Найдите величину угла $\angle AOC$\. Ответ дайте в градусах\. **Подробное решение:** 1\) Угол $\angle ABC$ является **вписанным**, так как его вершина $B$ лежит на окружности\. Он опирается на дугу $\cup AC$\. 2\) Градусная мера дуги $\cup AC$ в два раза больше вписанного угла: $$ \cup AC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ $$ 3\) Угол $\angle AOC$ является **центральным**, опирающимся на ту же самую дугу $\cup AC$\. 4\) Центральный угол равен градусной мере своей дуги: $$ \angle AOC = \cup AC = 112^\circ $$ **Ответ:** $112$\. **Задание:** К окружности с центром в точке $O$ проведена касательная $AB$ с точкой касания $B$\. Прямая $OA$ пересекает окружность в точке $C$\. Найдите радиус окружности, если $AB = 24$, а $AC = 18$\. **Подробное решение:** 1\) Радиус $OB = R$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $AB$ \($\angle ABO = 90^\circ$\)\. Треугольник $\triangle ABO$ — прямоугольный\. 2\) Отрезок $OA$ состоит из суммы $AC + OC$, где $OC = R$ \(радиус окружности\): $OA = 18 + R$\. 3\) Применим теорему Пифагора для $\triangle ABO$: $$ OB^2 + AB^2 = OA^2 \implies R^2 + 24^2 = (18 + R)^2 $$ 4\) Раскроем квадрат суммы: $$ R^2 + 576 = 324 + 36R + R^2 $$ 5\) Выразим $R$: $$ 576 - 324 = 36R \implies 252 = 36R \implies R = \dfrac{252}{36} = 7 $$ **Ответ:** $7$\. **Задание:** Около окружности описан четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен $38$, а сторона $CD = 11$\. Найдите сторону $AB$\. **Подробное решение:** 1\) По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны и составляют ровно половину периметра \($P = 38$\): $$ AB + CD = BC + AD = \dfrac{P}{2} = \dfrac{38}{2} = 19 $$ 2\) Зная, что $CD = 11$, найдем сторону $AB$: $$ AB + 11 = 19 \implies AB = 19 - 11 = 8 $$ **Ответ:** $8$\. ## Тренажёры по 16 заданию ОГЭ по математике Закрепить геометрические свойства окружностей и гарантированно решить **Задание 16 ОГЭ по математике** помогут интерактивные тренажёры на образовательной платформе «Экзамео»\. В нашем банке собраны сотни актуальных заданий открытого банка ФИПИ на углы в окружности, касательные, секущие, хорды и многоугольники\. Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому номеру с красочными чертежами\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, уверенно осваивайте геометрию и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/16-zadanie).