> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 21 задание ОГЭ по математике \- все виды задач **Задание 21 ОГЭ по математике** — это классическая сюжетная текстовая задача с развёрнутым ответом из второй части экзаменационного КИМа, за верное решение которой даётся **2 первичных балла**\. Задача проверяет умение строить математические модели реальных процессов: переводить условие в наглядную таблицу, составлять рациональное уравнение, находить его корни и отбирать ответ с учётом физического и геометрического смысла величин\. На этой странице систематизированы все 4 ключевых вида текстовых задач Задания 21 из открытого банка ФИПИ: движение по прямой, движение по воде \(по течению и против течения\), совместная работа и задачи на смеси, сплавы и концентрацию\. Для каждого типа представлена универсальная табличная схема, алгоритм составления уравнения и образец идеального оформления на бланке № 2 по критериям экспертов\. Отработать все прототипы двадцать первой линии помогут интерактивные [тренажёры Задания 21 ОГЭ по математике](#zadaniye-21-oge-na-platforme-ekzameo) с пошаговыми эталонами решений\. ## Все 4 вида задач в Задании 21 ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie). В банке ФИПИ встречаются следующие категории сюжетных задач: ##### 1\. Движение по прямой 🚗 Движение навстречу, вдогонку, с опережением или остановкой в пути\. Связь параметров: $S = v \cdot t$\. ##### 2\. Движение по воде 🚤 Движение катеров, моторных лодок и плотов по реке и в неподвижной воде с учётом скорости течения реки \($v_{\text{теч}}$\)\. ##### 3\. Совместная работа ⚙️ Изготовление деталей, наполнение резервуаров трубами или выполнение заказа бригадами\. Связь параметров: $A = p \cdot t$\. ##### 4\. Проценты, смеси и сплавы 🧪 Смешивание растворов разной концентрации, сплавление металлов с получением новой процентной массы сухого вещества\. ## Табличный метод и составление уравнений по всем видам Главный ключ к решению любой задачи 21 номера — **таблица из трёх базовых колонок**\. Две колонки заполняются по условию задачи \(одна из них содержит неизвестную переменную $x$\), а третья колонка выражается через формулу связи\. Именно по третьей колонке составляется итоговое уравнение\. ### Вид 1: Задачи на движение по прямой > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie). **Формула связи:** время выражается как $t = \dfrac{S}{v}$\. За $x$ обычно принимают скорость первого или второго участника движения\. ##### Участник движения ##### Расстояние \($S$, км\) ##### Скорость \($v$, км/ч\) ##### Время \($t$, ч\) 1\-й автомобиль $S$ $x$ $\dfrac{S}{x}$ 2\-й автомобиль $S$ $x - k$ $\dfrac{S}{x - k}$ **Как составить уравнение:** Сравниваем времена в пути\. Тот, кто ехал медленнее, потратил больше времени на $\Delta t$ часов \(или прибыл позже/выехал раньше\): $$ t_{\text{медленнее}} - t_{\text{быстрее}} = \Delta t \implies \dfrac{S}{x - k} - \dfrac{S}{x} = \Delta t $$ ### Вид 2: Задачи на движение по воде **Правила скоростей:** • Скорость по течению: $v_{\text{по}} = v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}$ • Скорость против течения: $v_{\text{пр}} = v_{\text{соб}} - v_{\text{теч}}$ • Скорость плота равна скорости течения реки \($v_{\text{плота}} = v_{\text{теч}}$, так как у него нет собственного мотора\)\. ##### Направление ##### Расстояние \($S$, км\) ##### Скорость \($v$, км/ч\) ##### Время \($t$, ч\) По течению $S$ $x + v_{\text{теч}}$ $\dfrac{S}{x + v_{\text{теч}}}$ Против течения $S$ $x - v_{\text{теч}}$ $\dfrac{S}{x - v_{\text{теч}}}$ **Как составить уравнение:** Если лодка поплыла туда и обратно, а суммарное время составило $T_{\text{всего}}$ часов с учётом стоянки $t_{\text{ст}}$ часов: $$ t_{\text{по}} + t_{\text{пр}} + t_{\text{ст}} = T_{\text{всего}} \implies \dfrac{S}{x + v_{\text{теч}}} + \dfrac{S}{x - v_{\text{теч}}} = T_{\text{всего}} - t_{\text{ст}} $$ ### Вид 3: Задачи на совместную работу **Формула связи:** работа $A = p \cdot t$, где $p$ — производительность \(скорость работы в единицу времени\)\. Если весь объём работы не задан числом, его принимают за единицу \($A = 1$\)\. Тогда производительность равна $p = \dfrac{1}{t}$\. ##### Исполнитель ##### Работа \($A$\) ##### Время \($t$, ч/дни\) ##### Производительность \($p = \frac{A}{t}$\) 1\-й рабочий $A$ \(или $1$\) $x$ $\dfrac{1}{x}$ 2\-й рабочий $A$ \(или $1$\) $x + k$ $\dfrac{1}{x + k}$ Вместе $1$ $t_{\text{совм}}$ $\dfrac{1}{t_{\text{совм}}}$ **Как составить уравнение:** При совместной работе их производительности складываются: $$ p_1 + p_2 = p_{\text{совм}} \implies \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + k} = \dfrac{1}{t_{\text{совм}}} $$ ### Вид 4: Задачи на проценты, смеси и сплавы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie). **Формула связи:** масса чистого \(активного\) вещества $m_{\text{чист}} = M_{\text{общ}} \cdot \dfrac{C\%}{100\%}$\. ##### Раствор / Сплав ##### Масса смеси \($M$, кг\) ##### Концентрация \($C$\) ##### Масса чистого в\-ва \($m$\) 1\-й раствор $M_1$ $p_1\%$ $M_1 \cdot \dfrac{p_1}{100}$ 2\-й раствор $M_2$ $p_2\%$ $M_2 \cdot \dfrac{p_2}{100}$ Смесь \(1 \+ 2\) $M_1 + M_2$ $p_3\%$ $(M_1 + M_2) \cdot \dfrac{p_3}{100}$ **Как составить уравнение:** Масса чистого вещества в итоговой смеси строго равна сумме масс чистого вещества из исходных компонентов \(закон сохранения массы\): $$ m_1 + m_2 = m_3 \implies M_1 \cdot \dfrac{p_1}{100} + M_2 \cdot \dfrac{p_2}{100} = (M_1 + M_2) \cdot \dfrac{p_3}{100} $$ ## Оформление решения Задания 21 на бланке ответов № 2 Эксперты проверяют задание 21 по строгим критериям \(максимум **2 первичных балла**\)\. Чтобы не потерять баллы на оформлении, решение должно содержать 4 обязательных блока: #### Обязательные этапы оформления бланка № 2: 📝 1\. **Введение переменной и единиц измерения:** Обязательно напишите вводную фразу: *«Пусть скорость первого автомобиля равна *$x$* км/ч \(*$x > 0$*\)»*\. Если не указать единицы измерения или не ввести переменную, решение могут аннулировать\! 2\. **Таблица или описание связей:** Нарисуйте аккуратную таблицу или запишите словами, как выражаются время, расстояние или работа каждого объекта\. 3\. **Составление и решение уравнения:** Напишите пояснение: *«Зная, что первый прибыл на 2 часа раньше, составим уравнение»*\. Решите полученное дробно\-рациональное уравнение, найдите оба корня через дискриминант\. 4\. **Отбор корней по смыслу задачи:** Если один из корней получился отрицательным \($x < 0$\), обязательно напишите: *«не удовлетворяет условию *$x > 0$* \(скорость не может быть отрицательной\)»*\. 5\. **Чёткий ответ:** Запишите слово **Ответ** с обязательным указанием наименования единиц \(например, *Ответ: 60 км/ч*\)\. ### Эталонные примеры оформления для бланка № 2 Рассмотрите полные решения реальных задач 21 линии из открытого банка ФИПИ\. **Задание:** Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью $15\text{ км/ч}$\. Через час после него со скоростью $20\text{ км/ч}$ из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист\. Через сколько часов после своего выезда второй велосипедист догонит первого? **Образец записи на бланке № 2:** Пусть время движения второго велосипедиста до момента встречи равно $t$ часов \($t > 0$\)\. Тогда время движения первого велосипедиста равно $(t + 1)$ часов, так как он выехал на $1$ час раньше\. Составим таблицу движения: \| Участник \| Скорость \($v$, км/ч\) \| Время \($t$, ч\) \| Расстояние \($S$, км\) \| \| :\-\-\- \| :\-\-\- \| :\-\-\- \| :\-\-\- \| \| 1\-й велосипедист \| $15$ \| $t + 1$ \| $15(t + 1)$ \| \| 2\-й велосипедист \| $20$ \| $t$ \| $20t$ \| До места встречи оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние\. Составим уравнение: $$ 20t = 15(t + 1) $$ $$ 20t = 15t + 15 $$ $$ 20t - 15t = 15 \implies 5t = 15 \implies t = 3 $$ Найденное значение $t = 3$ удовлетворяет условию $t > 0$\. Значит, второй велосипедист догонит первого через $3$ часа\. **Ответ:** через 3 часа\. **Задание:** Моторная лодка прошла против течения реки $24\text{ км}$ и вернулась обратно, затратив на обратный путь на $1\text{ час}$ меньше\. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна $2\text{ км/ч}$\. **Образец записи на бланке № 2:** Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч\. Так как лодка может плыть против течения со скоростью $2\text{ км/ч}$, должно выполняться условие $x > 2$\. • Скорость по течению реки: $(x + 2)$ км/ч\. • Скорость против течения реки: $(x - 2)$ км/ч\. Составим таблицу: \| Направление \| Расстояние \($S$, км\) \| Скорость \($v$, км/ч\) \| Время \($t$, ч\) \| \| :\-\-\- \| :\-\-\- \| :\-\-\- \| :\-\-\- \| \| По течению \| $24$ \| $x + 2$ \| $\dfrac{24}{x + 2}$ \| \| Против течения \| $24$ \| $x - 2$ \| $\dfrac{24}{x - 2}$ \| По условию задачи путь против течения занял на $1$ час больше, чем по течению\. Составим уравнение: $$ \dfrac{24}{x - 2} - \dfrac{24}{x + 2} = 1 $$ Домножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 2)(x + 2) \neq 0$: $$ 24(x + 2) - 24(x - 2) = (x - 2)(x + 2) $$ $$ 24x + 48 - 24x + 48 = x^2 - 4 $$ $$ 96 = x^2 - 4 \implies x^2 = 100 \implies x_1 = 10, \quad x_2 = -10 $$ Корень $x = -10$ не удовлетворяет условию $x > 2$ \(скорость лодки не может быть отрицательной\)\. Следовательно, собственная скорость моторной лодки равна $10\text{ км/ч}$\. **Ответ:** 10 км/ч\. ## Тренажёры по 21 заданию ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie). Научиться уверенно решать и идеально оформлять **Задание 21 ОГЭ по математике** на максимальные 2 первичных балла можно с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наш банк содержит сотни актуальных прототипов второй части открытого банка ФИПИ на все 4 вида задач: движение по суше, движение по реке, совместную работу и сплавы/смеси\. Интерактивная система проверяет ответы и предоставляет подробные пошаговые решения с готовыми таблицами, составлением уравнений и критериальным оформлением бланка № 2 к каждому номеру\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном ритме, доводите решение текстовых задач до автоматизма и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/21-zadanie).