> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 22 ОГЭ по математике: Графики функций и их свойства **Задание 22 ОГЭ по математике** является сложнейшей алгебраической задачей второй части КИМа с развёрнутым ответом и приносит **2 первичных балла**\. В отличие от базовых уравнений и неравенств, 22 линия проверяет глубокое функциональное мышление: умение выполнять тождественные алгебраические преобразования с учётом области определения \(ОДЗ\), безошибочно строить **графики кусочно\-заданных функций, парабол, гипербол, графиков с модулями и выколотыми точками**, а затем проводить динамическое параметрическое исследование \(находить число общих точек с горизонтальной прямой $y = m$ или пучком прямых $y = kx$\)\. На этой странице собрана вся теория и систематизированы все виды прототипов 22 задания из открытого банка ФИПИ: правила раскрытия модулей, алгоритмы поиска и графического изображения выколотых точек, таблицы опорных точек для каждого фрагмента функции, официальные критерии проверки экспертов ОГЭ и эталонные образцы оформления бланка ответов № 2 с местами под иллюстрации\. Отработать построение графиков и параметрический анализ помогут интерактивные [тренажёры Задания 22 ОГЭ по математике](#zadaniye-22-oge-na-platforme-ekzameo) с пошаговыми эталонами решений\. ## Критерии оценивания Задания 22 экспертами ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie). Проверка второй части осуществляется двумя экспертами по строгим критериям\. Баллы в 22 задании делятся строго пополам между графической и аналитической частями: ##### Баллы ##### Требования к решению и оформлению **2 балла** График построен правильно \(учтена область определения, явно выколоты недопустимые точки, правильно найдены вершины парабол и асимптоты гипербол\), верно найдены все значения параметра \($m$ или $k$\)\. **1 балл** График построен верно, но исследование с параметром не завершено, выполнено с ошибкой или отсутствует вовсе\. **\(Внимание: если сам график построен неверно, то за исследование 1 балл не выставляется — ставится сразу 0\!\)** **0 баллов** Решение не соответствует критериям на 1 или 2 балла \(не выколота точка, нарушена форма параболы/гиперболы, не указаны оси или единичный отрезок\)\. ## Все типы графиков функций в Задании 22 ОГЭ Все прототипы двадцать второго номера подразделяются на 4 ключевых класса функций: ##### 1\. Кусочно\-заданные функции 🧩 Функции, заданные различными формулами на смежных промежутках \(например, прямая при $x < 2$ и парабола при $x \ge 2$\)\. Требуется обязательно проверять стык фрагментов \(непрерывность или разрыв\)\. ##### 2\. Дроби с выколотыми точками ⭕ Дробно\-рациональные функции, числитель которых раскладывается на множители и сокращается со знаменателем: $y = \dfrac{(x^2 - 4)(x + 1)}{x - 2}$\. График превращается в параболу или гиперболу с **выколотой точкой**\. ##### 3\. Функции со знаком модуля 🪞 Выражения вида $y = x^2 - 2x - 3|x|$ или $y = \dfrac{x^2 - 3x}{|x|}$\. Раскрываются на два случая по определению модуля: при $x \ge 0$ \($|x| = x$\) и при $x < 0$ \($|x| = -x$\)\. ##### 4\. Сдвиги и преобразования парабол 📈 Квадратичные функции вида $y = ax^2 + bx + c$, требующие точного нахождения вершины $(x_{\text{в}}; y_{\text{в}})$, таблицы значений и оси симметрии\. ## Теория построения и исследование прямой с параметром > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie). Для безупречного построения графиков используйте фундаментальные алгебраические правила: ##### Тип линии ##### Опорные формулы ##### Обязательные требования к оформлению **Парабола** $y = ax^2 + bx + c$ $$ x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}, \quad y_{\text{в}} = y(x_{\text{в}}) $$ Явно рассчитать вершину и составить таблицу минимум из 5 точек \(вершина и по 2 симметричные точки по бокам\)\. **Гипербола** $y = \dfrac{k}{x}$ Асимптоты: $x = 0$ \(ось $Oy$\), $y = 0$ \(ось $Ox$\)\. Ветви не должны пересекать или касаться асимптот; составить таблицу точек для каждой ветви \($x > 0$ и $x < 0$\)\. **Прямая **$y = m$ \(горизонтальная\) Параллельна оси $Ox$\. Пересекает ось $Oy$ в точке $(0; m)$\. Мысленно сканируем график снизу вверх от $-\infty$ до $+\infty$, фиксируя критические уровни \(вершины, выколотые точки, стыки\)\. **Прямая **$y = kx$ \(пучок прямых\) Проходит через начало координат $(0;0)$ с угловым коэффициентом $k$\. Вращаем прямую вокруг $(0;0)$, отслеживая касания с параболой \($D = 0$\) и прохождение через выколотые точки \($y_0 = k x_0$\)\. #### Ошибки, за которые мгновенно ставят 0 баллов\! 💡 1\. **Не выколота точка на графике:** Если знаменатель исходной дроби обращается в ноль при $x = x_0$, вы обязаны не просто написать ОДЗ, а **нарисовать прозрачный кружок \(выколотую точку\)** на самом графике и указать её координаты $(x_0; y_0)$\! 2\. **«Угловатая» парабола:** Парабола в окрестности вершины должна быть гладкой округлой линией, а не «острым уголком»\. Ветви параболы не должны загибаться внутрь\. 3\. **Отсутствие координатных осей и масштаба:** Рисунок без подписанных осей $Ox, Oy$, стрелок направления, начала отсчёта $O$ и единичного отрезка эксперты имеют право **не проверять**\. 4\. **Отсутствие таблиц значений:** Нельзя строить график «на глаз» по двум точкам — эксперт должен видеть расчетную таблицу в решении\. ### Пошаговый алгоритм выполнения Задания 22 При оформлении 22 задания на бланке № 2 придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Найдите область определения \(ОДЗ\) и упростите формулу:** выпишите ограничения знаменателя \($x \neq a$\), разложите числитель на множители и сократите дробь \(или раскройте модули по знаку подмодульного выражения\)\. **Составьте таблицы точек для каждого фрагмента:** рассчитайте координаты вершины параболы и координаты выколотых точек $(x_{\text{вык}}; y_{\text{вык}})$\. **Постройте график в системе координат:** нанесите оси, единичный отрезок, отметьте точки из таблиц, соедините их плавными линиями и обязательно **выколите незакрашенным кружком** запрещённые точки\. **Проведите параметрический анализ:** исследуйте количество пересечений с прямой $y = m$ \(или $y = kx$\), запишите текстовое пояснение для каждого случая и сформируйте итоговый ответ\. ### Разбор прототипов Задания 22 из банка ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie). Рассмотрите полные решения двух классических задач 22 линии с эталонным оформлением для бланка ответов № 2\. **Задание:** Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2 + 3x) \cdot |x|}{x + 3}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки\. **Эталонное решение для бланка № 2:** 1\) **Область определения:** Знаменатель дроби не равен нулю: $$x \+ 3 \\neq 0 \\implies x \\neq \-3$$ 2\) Вынесем общий множитель $x$ в скобке и упростим функцию при $x \neq -3$: $$y = \\dfrac\{x\(x \+ 3\) \\cdot \|x\|\}\{x \+ 3\} = x \\cdot \|x\|$$ 3\) Раскроем знак модуля с учётом области определения \($x \neq -3$\): • При $x \ge 0$: $|x| = x \implies y = x^2$ \(часть параболы\)\. • При $x < 0$ и $x \neq -3$: $|x| = -x \implies y = -x^2$ \(часть параболы с выколотой точкой\)\. 4\) **Координаты выколотой точки:** При $x = -3$: $y = -(-3)^2 = -9$\. Точка $(-3; -9)$ — выколотая\. 5\) **Таблица значений:** • Для ветви $y = x^2$ \($x \ge 0$\): $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$, $(3; 9)$\. • Для ветви $y = -x^2$ \($x < 0, x \neq -3$\): $(-1; -1)$, $(-2; -4)$, $(-3; -9)$ — выколотая, $(-4; -16)$\. Место под иллюстрацию: система координат с графиком $y = x|x|$ \(кубическая параболоподобная кривая из двух половин\), выколотой точкой $(-3; -9)$ и пунктирной горизонтальной прямой $y = -9$\. 6\) **Исследование прямой **$y = m$**:** Прямая $y = m$ параллельна оси абсцисс\. • При $m = -9$ прямая проходит через выколотую точку $(-3; -9)$ и не пересекает график, так как сама функция монотонно возрастает на всей области определения и принимает каждое значение ровно один раз\. • При всех остальных значениях $m \neq -9$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку\. Следовательно, прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек только при $m = -9$\. **Ответ:** $m = -9$\. **Задание:** Постройте график функции: $$y = \\begin\{cases\} \-x^2 \- 2x \+ 3, & \\text\{если \} x \\ge \-2, \\\\ \-\\dfrac\{3\}\{x\}, & \\text\{если \} x < \-2 \\end\{cases\}$$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки\. **Эталонное решение для бланка № 2:** 1\) **Построение первого фрагмента:** $y = -x^2 - 2x + 3$ при $x \ge -2$\. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз \($a = -1 < 0$\)\. • Координаты вершины: $$x\_\{\\text\{в\}\} = \-\\dfrac\{b\}\{2a\} = \-\\dfrac\{\-2\}\{2 \\cdot \(\-1\)\} = \-1$$ $$y\_\{\\text\{в\}\} = \-\(\-1\)^2 \- 2\(\-1\) \+ 3 = \-1 \+ 2 \+ 3 = 4 \\implies \\text\{Вершина \} \(\-1; 4\)$$ • Таблица точек: $x = -2 \implies y = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = 3$ \(точка стыка\); $x = -1 \implies y = 4$ \(вершина\); $x = 0 \implies y = 3$; $x = 1 \implies y = 0$; $x = 2 \implies y = -5$\. 2\) **Построение второго фрагмента:** $y = -\dfrac{3}{x}$ при $x < -2$\. Графиком является ветвь гиперболы во II четверти\. • Граничная точка стыка \(выколотая для гиперболы\): при $x = -2 \implies y = -\dfrac{3}{-2} = 1{,}5$\. • Таблица точек: $x = -3 \implies y = 1$; $x = -6 \implies y = 0{,}5$\. При $x \to -\infty$ ветвь стремится к асимптоте $y = 0$\. Место под иллюстрацию: система координат с параболой при $x \ge -2$ \(вершина в $(-1; 4)$\) и гиперболой при $x < -2$, разрывом в точке $x = -2$ и прямыми $y = 1{,}5$, $y = 3$, $y = 4$\. 3\) **Исследование числа общих точек с прямой **$y = m$**:** • При $m < 0$: $1$ общая точка \(с правой ветвью параболы\)\. • При $0 \le m \le 1$: $2$ общие точки \(с гиперболой и правой ветвью параболы\)\. • При $1 < m < 1{,}5$: $2$ общие точки\. • При $m = 1{,}5$: $1$ общая точка \(точка на гиперболе выколота, остаётся только правая ветвь параболы\)\. • При $1{,}5 < m < 3$: $2$ общие точки \(обе на ветвях параболы\)\. • При $m = 3$: ровно $2$** общие точки** — в точке $(-2; 3)$ и $(0; 3)$\. • При $3 < m < 4$: $2$ общие точки \(на параболе\)\. • При $m = 4$: ровно $1$** общая точка** \(вершина параболы\)\. • При $m > 4$: $0$ общих точек\. 4\) Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $0 \le m < 1{,}5$ и при $1{,}5 < m < 4$ \(включая $m = 3$\)\. **Ответ:** $[0; 1{,}5) \cup (1{,}5; 4)$\. ## Тренажёры по Заданию 22 ОГЭ на Экзамео Научиться строить любые графики функций и забрать максимальные 2 балла за **Задание 22 ОГЭ по математике** можно с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни актуальных прототипов второй части открытого банка ФИПИ на кусочно\-заданные функции, выколотые точки, параболы, гиперболы, модули и параметрические прямые $y = m$ и $y = kx$\. Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени, показывает интерактивные графики с динамическими линиями параметров и предоставляет критериальные эталоны оформления второй части к каждому номеру\. Занимайтесь на **Экзамео** в удобном ритме, доводите функциональную грамотность до совершенства и получайте максимальные баллы на ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/22-zadanie).