> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 24 ОГЭ по математике: геометрическое доказательство **Задание 24 ОГЭ по математике** является второй геометрической задачей повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом во второй части экзаменационного КИМа и приносит **2 первичных балла**\. В отличие от вычислительных заданий № 15–18 и № 23, двадцать четвёртый номер — это **чистая задача на математическое доказательство**\. Здесь не требуется находить числовые значения длин, углов или площадей: цель участника экзамена — выстроить строгую, логически замкнутую и обоснованную цепочку рассуждений, опираясь исключительно на доказанные аксиомы, определения и теоремы планиметрии 7–9 классов\. На этой странице систематизирована вся необходимая база для успешного выполнения 24 задания из открытого банка ФИПИ: официальные критерии проверки экспертов, ключевые фигуры и конструкции, базовый теоретический аппарат, классические методы доказательств \(от подобия и признаков четырёхугольников до свойств вписанных углов\), а также эталонные образцы оформления решений для бланка ответов № 2\. Отработать доказательства всех прототипов открытого банка помогут интерактивные [тренажёры Задания 24 ОГЭ по математике](#zadaniye-24-oge-na-platforme-ekzameo) с пошаговыми эталонами обоснований\. ## Критерии оценивания Задания 24 экспертами ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie). Оценивание доказательства на бланке ответов № 2 проводится экспертами по двухбалльной шкале\. Поскольку задача не содержит численного ответа, здесь действуют специфические критерии логической полноты: ##### Баллы ##### Требования к доказательству **2 балла** Доказательство правильное, все утверждения обоснованы ссылками на геометрические теоремы или свойства, логическая последовательность полностью соблюдена, чертёж соответствует условию\. **1 балл** Ход доказательства в целом верен, идея полностью понятна, но допущены **незначительные пробелы в обоснованиях** \(например, не указан признак равенства/подобия треугольников или не пояснено равенство накрест лежащих углов\), при этом логика рассуждений не нарушена\. **0 баллов** Доказательство не доведено до конца, допущены грубые теоретические ошибки \(использование несуществующих признаков, опора на чертёж «на глаз», порочный круг в доказательстве: предположение доказываемого факта\)\. ## Основные фигуры и конструкции в Задании 24 Сюжеты задач на доказательство в КИМ ОГЭ опираются на ограниченный перечень фигур школьного курса: ##### 1\. Треугольники 🔺 Доказательство равенства или подобия треугольников, равнобедренность, свойства медиан \(деление треугольника на равновеликие части, точка пересечения $2:1$\), биссектрис \(пропорциональность отрезков\) и высот\. ##### 2\. Параллелограммы и трапеции ▱ Доказательство того, что четырёхугольник является параллелограммом, ромбом или прямоугольником; доказательство равенства треугольников, образованных диагоналями трапеции с боковыми сторонами\. ##### 3\. Окружности и касательные ⭕ Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на общую дугу или хорду; равенство отрезков касательных из одной точки; перпендикулярность радиуса и касательной\. ##### 4\. Вписанные и описанные четырёхугольники 🔷 Доказательство возможности вписать или описать окружность около четырёхугольника через равенство противоположных углов \($180^\circ$\) или сумм сторон\. ## Главные способы геометрических доказательств > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie). В 24 задании ОГЭ доказательство чаще всего сводится к реализации одной из 5 классических стратегий: ##### Способ доказательства ##### Суть метода ##### Где чаще всего применяется **Через равенство треугольников** Находим два треугольника, доказываем их равенство по одному из 3 признаков $\implies$ делаем вывод о равенстве соответственных сторон или углов\. Доказательство равенства отрезков, углов или равенства противоположных сторон четырёхугольника\. **Через подобие треугольников** Доказываем подобие треугольников \(чаще всего по двум равным углам: вертикальным, накрест лежащим или вписанным\) $\implies$ получаем пропорциональность отрезков: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$\. Доказательство произведений отрезков вида $AB \cdot CD = BC \cdot AD$ или равенства отношений\. **Через признаки параллелограмма** Доказываем, что две стороны равны и параллельны, либо противоположные стороны попарно равны/параллельны, либо диагонали делятся пополам точкой пересечения\. Доказательство параллельности прямых или равенства отрезков через вспомогательный четырёхугольник\. **Через свойства дуг и углов в окружности** Равенство углов обосновывается тем, что они оба опираются на одну общую дугу или равные хорды одной окружности\. Задачи с вписанными многоугольниками, секущими и хордами\. **Через метод площадей \(равновеликость\)** Показываем, что треугольники имеют общее основание и общую высоту \(или их площади равны разности равных площадей\): $S_1 = S_2$\. Доказательство равенства площадей «боковых» треугольников в трапеции \($S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$\)\. ## Базовые определения и признаки, на которые необходимо ссылаться #### Формулировки для обоснований в решении: 📜 • **Признаки равенства треугольников:** по двум сторонам и углу между ними \(1\-й\); по стороне и двум прилежащим углам \(2\-й\); по трём сторонам \(3\-й\)\. • **Признаки подобия треугольников:** по двум углам \(самый частый в ОГЭ\); по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам\. • **Свойства параллельных прямых:** накрест лежащие углы равны; соответственные углы равны; сумма односторонних углов равна $180^\circ$\. • **Признаки параллелограмма:** если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны \($AB = CD$ и $AB \parallel CD$\), то этот четырёхугольник — параллелограмм\. #### Золотые правила идеального доказательства на ОГЭ: 💡 1\. **Не путайте свойства и признаки\!** «Свойство» говорит о том, что происходит, когда фигура уже задана \(например, «в параллелограмме противоположные стороны равны»\)\. «Признак» позволяет доказать, кем является фигура \(например, «если в четырёхугольнике стороны попарно параллельны, то это параллелограмм»\)\. 2\. **Пишите три элемента при равенстве треугольников:** Всегда явно выписывайте 3 пункта равенства перед выводом: «1\) $AB = A_1B_1$ \(по условию\); 2\) $\angle A = \angle A_1$ \(как накрест лежащие\); 3\) $AC = A_1C_1$ $\implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними»\. 3\. **Финал доказательства:** Обязательно заканчивайте решение фразой: *«Что и требовалось доказать»* \(или сокращением *«ч\. т\. д\.»*\)\. ### Пошаговый алгоритм выполнения Задания 24 При оформлении Задания 24 на бланке № 2 придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie). **Постройте чертёж и выделите Дано/Доказать:** изобразите фигуру в общем виде \(не делайте треугольник равносторонним или прямоугольным, если этого нет в условии\) и отметьте равные элементы\. **Определите рабочий инструмент:** выберите, через что проще выйти на доказываемый факт — через подобие, равенство фигур, вписанные углы или метод площадей\. **Запишите логические шаги со ссылками на теоремы:** последовательно обоснуйте каждый переход и завершите решение фразой «что и требовалось доказать»\. ### Разбор типовых прототипов Задания 24 из банка ФИПИ Рассмотрите примеры эталонного оформления решений Задания 24 для бланка ответов № 2\. **Задание:** В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AB$\. Отрезок $DE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$\. Докажите, что $AO : OC = 1 : 2$\. **Эталонное доказательство для бланка № 2:** 1\) Рассмотрим треугольники $\triangle AOE$ и $\triangle COD$: • Углы $\angle AOE$ и $\angle COD$ равны как вертикальные\. • Углы $\angle EAO$ и $\angle OCD$ \(то есть $\angle CAB$ и $\angle ACD$\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ \($ABCD$ — параллелограмм, $AB \parallel CD$\) и секущей $AC$\. 2\) Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны: $$\\triangle AOE \\sim \\triangle COD \\quad \\text\{\(по двум углам\)\}$$ 3\) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон: $$\\dfrac\{AO\}\{OC\} = \\dfrac\{AE\}\{CD\}$$ 4\) По условию задачи точка $E$ — середина стороны $AB$, следовательно: $$AE = \\dfrac\{1\}\{2\} AB$$ 5\) Так как в параллелограмме противоположные стороны равны \($AB = CD$\), получаем: $$AE = \\dfrac\{1\}\{2\} CD \\implies \\dfrac\{AE\}\{CD\} = \\dfrac\{1\}\{2\}$$ 6\) Подставляя полученное отношение в пропорцию из п\. 3: $$\\dfrac\{AO\}\{OC\} = \\dfrac\{1\}\{2\}, \\quad \\text\{то есть\} \\quad AO : OC = 1 : 2$$ Что и требовалось доказать\. **Задание:** Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$\. Докажите, что площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны\. **Эталонное доказательство для бланка № 2:** 1\) Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$: • Они имеют общее основание — сторону $AD$\. • Высоты, опущенные из вершин $B$ и $C$ на прямую $AD$, равны, так как основания трапеции параллельны \($BC \parallel AD$\) и расстояние между параллельными прямыми постоянно\. 2\) Так как треугольники имеют общее основание и равные высоты, их площади равны: $$S\_\{\\triangle ABD\} = S\_\{\\triangle ACD\} = \\dfrac\{1\}\{2\} \\cdot AD \\cdot h$$ 3\) Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей: $$S\_\{\\triangle ABD\} = S\_\{\\triangle ABO\} \+ S\_\{\\triangle AOD\}$$ 4\) Площадь треугольника $\triangle ACD$ также представима как сумма площадей: $$S\_\{\\triangle ACD\} = S\_\{\\triangle CDO\} \+ S\_\{\\triangle AOD\}$$ 5\) Приравняем равенства площадей из п\. 2: $$S\_\{\\triangle ABO\} \+ S\_\{\\triangle AOD\} = S\_\{\\triangle CDO\} \+ S\_\{\\triangle AOD\}$$ 6\) Вычитая общую площадь треугольника $\triangle AOD$ из обеих частей равенства, получаем: $$S\_\{\\triangle ABO\} = S\_\{\\triangle CDO\}$$ Что и требовалось доказать\. ## Тренажёры по Заданию 24 ОГЭ на Экзамео Научиться уверенно строить строгие логические доказательства и забирать максимальные 2 балла за **Задание 24 ОГЭ по математике** можно с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни актуальных прототипов задач на доказательство из открытого банка ФИПИ на все виды треугольников, четырёхугольников, трапеций и окружностей\. Интерактивная система предоставляет эталонные пошаговые решения с выверенными геометрическими формулировками и пояснениями критериев экспертов к каждому номеру\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном ритме, осваивайте искусство строгого математического обоснования и гарантированно получайте отличные оценки на ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/24-zadanie).