> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 25 задание ОГЭ по математике \- все виды задач **Задание 25 ОГЭ по математике** завершает экзаменационную работу и является сложнейшей олимпиадной задачей второй части КИМа, за верное выполнение которой даётся **2 первичных балла**\. В отличие от вычислительного 23 номера и доказательного 24 номера, 25 линия представляет собой комбинированную **геометрическую задачу повышенной сложности**\. Она охватывает абсолютно все разделы планиметрии 7–9 классов и требует нетривиального логического поиска: выполнения неочевидных дополнительных построений, комбинирования теорем подобия, свойств вписанных и описанных окружностей, а также применения продвинутых методов \(метода площадей, теоремы о секущих и касательных, вспомогательной окружности\)\. На этой странице систематизированы все ключевые идеи и конструкции Задания 25 из открытого банка ФИПИ: классификация конструкций, арсенал базовых и продвинутых теорем, типичные схемы дополнительных построений, официальные критерии проверки экспертов ОГЭ и подробный эталонный разбор сложнейших прототипов\. Отработать решение задач наивысшего уровня сложности помогут интерактивные [тренажёры Задания 25 ОГЭ по математике](#zadaniye-25-oge-na-platforme-ekzameo) с пошаговыми чертежами и комментариями экспертов\. ## Критерии оценивания Задания 25 экспертами ФИПИ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie). Проверка второй части осуществляется экспертами предметной комиссии по строгой двухбалльной шкале: ##### Баллы ##### Требования к решению **2 балла** Ход рассуждений понятен и полностью обоснован, все этапы решения логически последовательны, сделан правильный геометрический чертёж, получен верный ответ\. **1 балл** Логика решения полностью верна, все ключевые теоремы применены правильно, но допущена **одна вычислительная \(арифметическая\) ошибка**, с учётом которой дальнейшие шаги выполнены корректно, либо решение содержит небольшую неточность в обосновании\. **0 баллов** Решение не соответствует критериям на 1 или 2 балла \(чертёж отсутствует или содержит искажения условий, допущены грубые теоретические ошибки, решение не доведено до конца\)\. ## Тематические блоки и конструкции Задания 25 Практически все сюжеты 25 линии открытого банка ФИПИ можно сгруппировать по четырём основным геометрическим блокам: ##### 1\. Окружности и касания ⭕ Взаимно касающиеся окружности, общие внешние и внутренние касательные, окружности, вписанные в углы или проходящие через вершины трапеций и треугольников\. ##### 2\. Подобие и леммы о высотах 🔺 Каскадное подобие прямоугольных треугольников, ортоцентр \(точка пересечения высот\), треугольник с вершинами в основаниях высот, подобные пары при антипараллельных прямых\. ##### 3\. Трапеции и четырёхугольники 🔷 Продление боковых сторон трапеции до пересечения, проведение прямой через точку пересечения диагоналей, параллельный перенос диагонали, свойство описанного и вписанного четырёхугольников\. ##### 4\. Метод площадей и отношения ✂️ Отношение площадей треугольников с равными высотами или общим углом, теорема Менелая и Чевы для секущих линий, делящих стороны треугольника в заданном отношении\. ## Ключевые инструменты и методы решения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie). Для успешного решения задач 25 линии стандартного набора формул недостаточно\. Необходимо владеть следующими теоретическими связками: ##### Метод / Теорема ##### Формула или геометрический факт ##### Сфера применения **Метод площадей** • $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$ \(при общей высоте\) • $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADE}} = \dfrac{AB \cdot AC}{AD \cdot AE}$ \(при общем угле $A$\) Когда известны отношения отрезков сторон и требуется найти итоговую площадь или длину через площади\. **Теорема Менелая** $$ \dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} = 1 $$ Прямая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей; позволяет мгновенно находить отношения отрезков\. **Степень точки и касательные** $$ AK^2 = AM \cdot AN = AP \cdot AQ $$ Связывает квадрат касательной и произведение отрезков секущей из одной точки\. **Вспомогательная окружность** Если отрезок виден из двух точек под равными углами \(или сумма противоположных углов $180^\circ$\) $\implies$ вокруг них можно описать окружность\. Используется для переброски углов через свойства вписанных углов в конфигурациях с высотами треугольника\. ## Классические дополнительные построения в Задании 25 Если чертёж «не говорит», в $90\%$ случаев ключ к решению кроется в одном из стандартных дополнительных построений: #### Золотой фонд дополнительных построений: 💡 1\. **Удвоение медианы треугольника:** Продлите медиану $m$ на её длину \($A M = M A_1$\) и соедините полученную точку с вершинами основания\. Образуется **параллелограмм**, диагонали которого равны $2m$ и стороне треугольника, что открывает доступ к теореме о сумме квадратов диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$\. 2\. **Параллельный перенос диагонали в трапеции:** Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную второй диагонали, до пересечения с продолжением большего основания\. Образуется прямоугольный или равнобедренный треугольник, площадь которого в точности равна площади трапеции, а основание равно сумме оснований \($a + b$\)\. 3\. **Продление боковых сторон трапеции:** Боковые стороны трапеции продлеваются до пересечения в точке $P$\. Образуются два подобных треугольника с общим углом, связывающие высоты, среднюю линию и основания\. 4\. **Соединение центров касающихся окружностей:** Линия центров двух касающихся окружностей всегда проходит через точку касания\. Длина отрезка между центрами равна $R_1 + R_2$ \(при внешнем касании\) или $|R_1 - R_2|$ \(при внутреннем\)\. Опуская перпендикуляры на общую касательную, получаем удобную прямоугольную трапецию\. ### Пошаговый алгоритм решения Задания 25 При решении задачи 25 на экзамене придерживайтесь системного алгоритма: ### Порядок действий: > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie). **Постройте крупный и геометрически точный чертёж:** нарисуйте фигуру без случайных равенств сторон или прямых углов, которых нет в условии\. Отметьте равные элементы и известные числовые данные\. **Выполните анализ связей и углов:** найдите равные или подобные треугольники, выразите равные вписанные углы через общие дуги или введите вспомогательную переменную \(угол $\alpha$ или отрезок $x$\)\. **Оформите доказательные шаги и вычисления на бланке № 2:** запишите каждую применённую теорему со ссылкой на названия фигур \(«$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ по двум углам»\), доведите расчёт до ответа и запишите слово **Ответ**\. ### Разбор сложных прототипов Задания 25 из банка ФИПИ Рассмотрите полные решения двух классических задач 25 линии открытого банка ФИПИ с идеальным оформлением для бланка ответов № 2\. **Задание:** В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$\. Найдите длину отрезка $A_1B_1$, если $AB = 24$, а угол $\angle C = 60^\circ$\. **Образец записи на бланке № 2:** 1\) Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1C$ \($\angle AA_1C = 90^\circ$\) и $\triangle BB_1C$ \($\angle BB_1C = 90^\circ$\)\. Из определения косинуса острого угла: • В $\triangle AA_1C$: $\cos C = \dfrac{CA_1}{AC}$\. • В $\triangle BB_1C$: $\cos C = \dfrac{CB_1}{BC}$\. 2\) Отсюда получаем равенство отношений: $$ \dfrac{CA_1}{AC} = \dfrac{CB_1}{BC} = \cos C $$ Перепишем его в виде: $$ \dfrac{CA_1}{CB_1} = \dfrac{AC}{BC} $$ 3\) Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$: • Угол $\angle C$ — общий\. • Стороны, заключающие угол $C$, пропорциональны: $\dfrac{CA_1}{AC} = \dfrac{CB_1}{BC} = \cos C$\. Следовательно, $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$ по второму признаку подобия треугольников \(по двум пропорциональным сторонам и углу между ними\)\. 4\) Коэффициент подобия равен косинусу общего угла: $k = \cos C = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$\. 5\) Из подобия треугольников отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия: $$ \dfrac{A_1B_1}{AB} = k = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \implies A_1B_1 = \dfrac{1}{2} \cdot AB $$ 6\) Подставим $AB = 24$: $$ A_1B_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 24 = 12 $$ **Ответ:** 12\. **Задание:** Окружности радиусов $12$ и $3$ касаются внешним образом\. Точки $A$ и $B$ лежат на окружностях, а прямая $AB$ является их общей внешней касательной\. Найдите длину отрезка $AB$\. **Образец записи на бланке № 2:** 1\) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $R = 12$, $O_2$ — центр окружности радиуса $r = 3$\. Точки $A$ и $B$ — точки касания прямой с окружностями $O_1$ и $O_2$ соответственно\. 2\) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$\. Следовательно, $O_1A \parallel O_2B$, а четырёхугольник $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = 12$ и $O_2B = 3$\. 3\) Так как окружности касаются внешним образом, линия центров проходит через точку касания, а расстояние между центрами равно сумме радиусов: $$ O_1O_2 = R + r = 12 + 3 = 15 $$ 4\) Опустим из вершины $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ на основание $O_1A$ \($H \in O_1A$\)\. Четырёхугольник $ABO_2H$ — прямоугольник, откуда $AH = O_2B = 3$, а искомый отрезок $AB = HO_2$\. 5\) Найдем длину отрезка $O_1H$: $$ O_1H = O_1A - AH = 12 - 3 = 9 $$ 6\) Треугольник $\triangle O_1HO_2$ — прямоугольный \($\angle O_1HO_2 = 90^\circ$\)\. Применим теорему Пифагора: $$ HO_2 = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1H^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 $$ 7\) Так как $AB = HO_2$, получаем $AB = 12$\. **Ответ:** 12\. ## Тренажёры по Заданию 25 ОГЭ на Экзамео Научиться решать олимпиадные задачи и забрать заветные 2 балла за **Задание 25 ОГЭ по математике** можно с помощью интерактивных тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни актуальных прототипов сложнейших геометрических задач ФИПИ на касающиеся окружности, каскады подобных треугольников, леммы о высотах и метод площадей\. Интерактивная система предоставляет детальные геометрические чертежи, подсказки по дополнительным построениям и критериальные эталоны оформления второй части к каждому номеру\. Занимайтесь на **Экзамео** в удобном ритме, доводите владение геометрией до совершенства и набирайте максимальный балл на ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/25-zadanie).