> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 3 из ОГЭ по математике: теорема Пифагора, площади, разбор всех типов и тренажёр **Задание 3 в ОГЭ по математике** завершает геометрическую и базовую расчётную часть практико\-ориентированного блока \(номера 1–5\) и переводит вычисления на качественно новый уровень\. Если в первом задании требовалось только сопоставить объекты, а во втором — выполнить элементарное действие в одну строчку, то в третьем номере девятиклассник сталкивается с **многошаговыми расчётами**\. Здесь регулярно применяются теорема Пифагора для поиска расстояния по прямой, вычисление диаметра автомобильного колеса через дюймы и миллиметры, нахождение периметра ступенчатого фундамента по масштабной сетке, а также перевод квадратных единиц измерения при расчёте площадей\. Главная сложность третьего задания заключается в том, что оно часто **напрямую опирается на результаты предыдущих пунктов**: например, чтобы выбрать правильную печь и сравнить цены, нужно использовать объём комнаты из задания 2, а чтобы верно применить теорему Пифагора на карте дорог — взять верные номера деревень из задания 1\. Ниже подробно разобраны принципиальные отличия третьего номера от второго, ключевые математические формулы, пошаговые решения всех 6 существующих типов задач из банка ФИПИ и открыт доступ к [интерактивным онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-zadanie-3-oge-po-matematike) с моментальной проверкой ответов\. \[Место для иллюстрации: Обзор вычислительных формул третьего задания ОГЭ: теорема Пифагора, формула диаметра колеса D = d \+ 2H, перевод квадратных метров в квадратные сантиметры\] ##### Ключевая суть третьего задания ОГЭ **Суть задания: многошаговая геометрия и перевод величин\!** В третьем номере проверяется умение комбинировать данные текста, применять планиметрические теоремы и выполнять вычисления в 2–3 последовательных действия без потери точности\. • **Теорема Пифагора:** во всех сюжетах с дорогами и планами местности расстояние «по прямой» или «по просёлочной дороге» ищется как гипотенуза прямоугольного треугольника: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$\. • **Квадратные единицы измерения:** при переводе площади помните, что линейный и квадратичный коэффициенты различаются: так как $1\text{ м} = 100\text{ см}$, то $1\text{ м}^2 = 100 \times 100 = 10\,000\text{ см}^2$\. Забытые нули искажают ответ в сотни раз\. • **Две боковины в диаметре колеса:** диаметр колеса состоит из диаметра диска $d$ и **двух** высот боковины: $D = d + 2H$\. Забытый множитель 2 перед $H$ — самая частая ошибка в шинах\. ## Чем 3 задание отличается от 2 задания: ключевые особенности > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie). Многие девятиклассники ошибочно считают, что задания 2 и 3 одинаковы по сложности\. На самом деле между ними есть четыре принципиальных отличия, определяющих подход к решению: ##### Многошаговость вместо одного действия Если во 2 задании достаточно было перемножить три числа для объёма или вычесть отрезки на одной прямой, то в 3 задании требуется цепочка из 2–4 действий: • В шинах: найти диаметр одного колеса, диаметр второго колеса и вычислить их разность\. • В квартирах: посчитать клетки, умножить на площадь клетки и перевести квадратные сантиметры в квадратные метры\. ##### Подключение теоремы Пифагора Во 2 задании все расстояния измерялись вдоль прямых линий сетки или шоссе\. В 3 задании объекты почти всегда соединены наклонными линиями\. Фраза «найдите расстояние по прямой» требует мысленно достроить прямоугольный треугольник по линиям дорог и найти гипотенузу по формуле Пифагора\. ##### Перевод составных и квадратных единиц В 3 задании составители проверяют умение переводить разнородные единицы измерения: • дюймы диска переводятся в миллиметры умножением на $25{,}4$; • площади комнат и листов переводятся из $\text{см}^2$ в $\text{м}^2$ делением на $10\,000$ \(или обратно\); • клетки плана умножаются на метры масштаба\. ##### Опора на результат задания 2 В сюжете с печами для бани невозможно решить 3 задание, не зная точного объёма парного отделения из 2 задания\. Именно по значению кубических метров из задания 2 выбирается подходящая печь из таблицы, после чего рассчитывается итоговая разница в стоимости с учётом кабеля\. ## Разбор всех типов третьего задания ОГЭ по математике Ниже приведены подробные пошаговые решения всех ключевых разновидностей третьего задания из реальных экзаменационных вариантов с формулами, чертежами и детальными выкладками\. **Условие сюжета:** Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Вересниково \(1\)\. В первом задании определено, что деревня Никитино обозначена цифрой 2, Андреевка — цифрой 4, а Алмакаевка — цифрой 5\. По шоссе от Никитино до Андреевки нужно ехать под прямым углом к участку шоссе от Андреевки до Алмакаевки\. Из текста известны расстояния: • Расстояние от Никитино до Андреевки равно $12\text{ км}$\. • Расстояние от Андреевки до Алмакаевки равно $9\text{ км}$\. \[Место для иллюстрации: Прямоугольный треугольник Никитино — Андреевка — Алмакаевка с катетами 12 км и 9 км и пунктирной гипотенузой\] **Задание 3:** Найдите расстояние от Никитино до Алмакаевки по прямой\. Ответ дайте в километрах\. **Пошаговое решение:** 1\) Населённые пункты Никитино \(2\), Андреевка \(4\) и Алмакаевка \(5\) образуют прямоугольный треугольник с прямым углом в Андреевке \(4\), так как шоссе поворачивает под углом $90^\circ$\. 2\) Катетами треугольника являются участки шоссе: • Первый катет: $a = 12\text{ км}$ \(от Никитино до Андреевки\)\. • Второй катет: $b = 9\text{ км}$ \(от Андреевки до Алмакаевки\)\. 3\) Расстояние по прямой — это отрезок, соединяющий Никитино и Алмакаевку напрямую, то есть гипотенуза $c$ прямоугольного треугольника\. 4\) Применяем теорему Пифагора: $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ км} $$ **Ответ:** 15\. **Условие сюжета:** Завод производит автомобили и устанавливает на них колёса с шинами маркировки $185/60\text{ R}15$\. Общий диаметр колеса $D$ складывается из диаметра металлического диска $d$ и двух высот боковины $H$: $$ D = d + 2H $$ Диаметр диска $d$ в дюймах переводится в миллиметры соотношением $1\text{ дюйм} = 25{,}4\text{ мм}$\. Высота боковины вычисляется как $H = B \cdot \dfrac{\text{второе число}}{100}$\. \[Место для иллюстрации: Схема колеса с формулой D = d \+ 2H и сравнение колеса завода R15 с новым колесом R17\] **Задание 3:** На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами $205/45\text{ R}17$? **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём диаметр заводского колеса \(**$185/60\text{ R}15$**\):** • Диаметр диска: $d_1 = 15 \cdot 25{,}4 = 381\text{ мм}$\. • Высота боковины: $H_1 = 185 \cdot 0{,}60 = 111\text{ мм}$\. • Общий диаметр колеса завода: $$ D_1 = d_1 + 2H_1 = 381 + 2 \cdot 111 = 381 + 222 = 603\text{ мм} $$ 2\) **Найдём диаметр нового колеса \(**$205/45\text{ R}17$**\):** • Диаметр диска: $d_2 = 17 \cdot 25{,}4 = 431{,}8\text{ мм}$\. • Высота боковины: $H_2 = 205 \cdot 0{,}45 = 92{,}25\text{ мм}$\. • Общий диаметр нового колеса: $$ D_2 = d_2 + 2H_2 = 431{,}8 + 2 \cdot 92{,}25 = 431{,}8 + 184{,}5 = 616{,}3\text{ мм} $$ 3\) **Вычислим разность диаметров:** $$ \Delta D = D_2 - D_1 = 616{,}3 - 603 = 13{,}3\text{ мм} $$ **Ответ:** 13,3\. **Условие сюжета:** Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой\. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника площадью $1\text{ кв. м}$ \($1\text{ м}^2$\)\. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получаются два листа формата А1, и так далее\. \[Место для иллюстрации: Деление площади 1 кв\. м листа А0 на части: А1 \(0,5 кв\. м\), А2 \(0,25 кв\. м\), А3 \(0,125 кв\. м\)\] **Задание 3:** Найдите площадь листа формата А3\. Ответ дайте в квадратных сантиметрах\. **Пошаговое решение:** 1\) Проследим последовательное деление площади в квадратных метрах: • Площадь листа А0: $S_0 = 1\text{ м}^2$\. • Лист А1: $S_1 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\text{ м}^2$\. • Лист А2: $S_2 = \dfrac{0{,}5}{2} = 0{,}25\text{ м}^2$\. • Лист А3: $S_3 = \dfrac{0{,}25}{2} = 0{,}125\text{ м}^2$ \(или $\dfrac{1}{8}\text{ м}^2$\)\. 2\) Переведём квадратные метры в квадратные сантиметры: Так как $1\text{ м} = 100\text{ см}$, то: $$ 1\text{ м}^2 = 100\text{ см} \cdot 100\text{ см} = 10\,000\text{ см}^2 $$ 3\) Вычислим площадь листа А3 в квадратных сантиметрах: $$ S_{\text{А3}} = 0{,}125 \cdot 10\,000\text{ см}^2 = 1250\text{ см}^2 $$ *\(Второй способ: по таблице из задания 1 размеры листа А3 равны *$420\text{ мм} \times 297\text{ мм} = 42\text{ см} \times 29{,}7\text{ см} = 1247{,}4\text{ см}^2$*, но стандарт ФИПИ принимает точное теоретическое значение от деления *$1\text{ м}^2$* — *$1250\text{ см}^2$*\)*\. **Ответ:** 1250\. **Условие сюжета:** На плане дачного участка сторона каждой клетки равна $2\text{ м}$\. В первом задании определено, что жилой дом обозначен цифрой 7\. Дом имеет ступенчатую форму фундамента\. \[Место для иллюстрации: План жилого дома на клетчатой бумаге с обведёнными внешними сторонами: 4, 5, 3, 3, 1, 2 клетки\] **Задание 3:** Найдите периметр фундамента жилого дома\. Ответ дайте в метрах\. **Пошаговое решение:** 1\) Периметр — это общая сумма длин всех внешних сторон геометрической фигуры\. 2\) Подсчитаем по плану длину каждой внешней стены дома в клетках, двигаясь по контуру по часовой стрелке: • верхняя горизонтальная стена: $4\text{ клетки}$; • правая вертикальная стена: $5\text{ клеток}$; • нижняя горизонтальная стена: $3\text{ клетки}$; • внутренний вертикальный уступ: $3\text{ клетки}$; • горизонтальный уступ: $1\text{ клетка}$; • левая вертикальная стена: $2\text{ клетки}$\. 3\) Найдём периметр дома в клетках: $$ P_{\text{кл}} = 4 + 5 + 3 + 3 + 1 + 2 = 18\text{ клеток} $$ 4\) По условию задачи сторона одной клетки плана равна $2\text{ м}$\. Умножаем количество клеток на длину стороны клетки: $$ P = 18 \cdot 2\text{ м} = 36\text{ м} $$ **Ответ:** 36\. **Условие сюжета:** Для прогрева парного отделения бани объёмом $21\text{ м}^3$ \(вычислено во 2 задании: $4{,}2 \times 2{,}5 \times 2 = 21\text{ м}^3$\) выбирается печь\. Установка дровяной печи не требует дополнительных расходов\. Установка электрической печи требует подведения специального кабеля за $7500\text{ руб.}$\. В таблице приведены данные трёх печей: ##### Номер печи ##### Тип ##### Объём помещения \(м³\) ##### Масса \(кг\) ##### Стоимость \(руб\.\) 1 дровяная 8–12 40 18 000 2 дровяная 12–22 48 19 500 3 электрическая 10–25,5 15 15 000 **Задание 3:** На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки? **Пошаговое решение:** 1\) **Выбор подходящей дровяной печи:** Объём парной равен $21\text{ м}^3$\. Печь №1 рассчитана максимум на $12\text{ м}^3$ \(не подходит\)\. Следовательно, подходит только дровяная печь **№2** \(диапазон 12–22 м³\) стоимостью $19\,500\text{ руб.}$ Дополнительных затрат на установку нет\. 2\) **Расчёт стоимости электрической печи с установкой:** Электрическая печь №3 стоит $15\,000\text{ руб.}$, а подведение кабеля требует ещё $7500\text{ руб.}$ $$ S_{\text{электр}} = 15\,000 + 7500 = 22\,500\text{ руб.} $$ 3\) **Нахождение разницы в затратах:** $$ \Delta = 22\,500 - 19\,500 = 3000\text{ руб.} $$ **Ответ:** 3000\. **Условие сюжета:** На плане двухкомнатной квартиры сторона одной клетки равна $40\text{ см}$\. В первом задании определено, что санузел обозначен цифрой 6\. \[Место для иллюстрации: План санузла размером 7 на 10 клеток со стороной клетки 40 см\] **Задание 3:** Найдите площадь санузла\. Ответ дайте в квадратных метрах\. **Пошаговое решение:** 1\) Санузел \(помещение 6\) представляет собой прямоугольник со сторонами $7\text{ клеток}$ и $10\text{ клеток}$\. 2\) Найдём площадь санузла в клетках: $$ S_{\text{кл}} = 7 \cdot 10 = 70\text{ клеток} $$ 3\) **Способ перевода через метры:** Сторона одной клетки равна $40\text{ см} = 0{,}4\text{ м}$\. Площадь одной клетки в квадратных метрах составляет: $$ S_{\text{1 кл}} = 0{,}4\text{ м} \cdot 0{,}4\text{ м} = 0{,}16\text{ м}^2 $$ 4\) Умножаем общее количество клеток на площадь одной клетки: $$ S = 70 \cdot 0{,}16 = 11{,}2\text{ м}^2 $$ *\(Второй способ: в квадратных сантиметрах площадь равна *$70 \cdot (40 \times 40) = 70 \cdot 1600 = 112\,000\text{ см}^2$*\. Так как в одном квадратном метре содержится *$10\,000\text{ см}^2$*, делим на *$10\,000$*: *$\dfrac{112\,000}{10\,000} = 11{,}2\text{ м}^2$*\)*\. **Ответ:** 11,2\. ### Типичные ошибки при выполнении третьего задания ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie). При переходе от простых действий ко второму уровню сложности школьники чаще всего допускают следующие четыре ошибки: ##### Потеря множителя 2 в диаметре колеса Считают общий диаметр колеса как $D = d + H$, забывая, что резиновая шина окружает диск с двух сторон — снизу и сверху\. Истинный диаметр строго равен $D = d + 2H$\. Потеря второй боковины искажает расчёт на десятки миллиметров\. ##### Ошибки перевода квадратных метров в см² Делят или умножают площадь на 100 вместо 10 000\. Запомните: $1\text{ м} = 100\text{ см}$, но $1\text{ м}^2 = 100 \times 100 = 10\,000\text{ см}^2$\. Из\-за этой ошибки вместо $11{,}2\text{ м}^2$ в бланк часто неверно вписывают $1120$ или $1{,}12$\. ##### Сложение катетов вместо теоремы Пифагора В вопросе «найдите расстояние по прямой» складывают длины участков шоссе: $12 + 9 = 21\text{ км}$\. Путь по прямой — это гипотенуза треугольника, а не объезд по катетам\. Прямое расстояние строго вычисляется через корень: $\sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ км}$\. ##### Выбор самой дешёвой печи без учёта объёма Автоматически выбирают дровяную печь №1 за $18\,000\text{ руб.}$, потому что она дешевле печи №2\. Но печь №1 рассчитана только на объём до $12\text{ м}^3$, а объём бани равен $21\text{ м}^3$\! Печь обязательно должна подходить по объёму помещения\. ## Задания 3 из ОГЭ по математике с проверкой ответов Задания третьего номера по всем экзаменационным сюжетам \(вычисление диаметров шин, расчёт расстояний по теореме Пифагора на планах местности, нахождение площади листов бумаги, подсчёт периметра дома по клеткам, сравнение стоимости печей и расчёт площади комнат\) собраны в онлайн\-тренажёре Экзамео\. Тренируйтесь выполнять многошаговые вычисления онлайн, проверяйте ответы за секунду и закрепляйте надёжный фундамент для успешной сдачи ОГЭ\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/3-zadanie).