> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Задание 5 из ОГЭ по математике: формулы, оптимизация, разбор всех типов и тренажёр **Задание 5 в ОГЭ по математике** венчает практико\-ориентированный блок \(номера 1–5\) и представляет собой наиболее содержательную прикладную задачу экзамена\. Главная специфика пятого номера заключается в том, что сюжетная линия текста объединяется с **математическими формулами, многие из которых приведены прямо в официальных справочных материалах ОГЭ**\. Выпускнику необходимо не просто прочитать условие, а распознать за жизненной ситуацией геометрическую или алгебраическую модель: формулу длины окружности колеса через диаметр, теорему Пифагора для поиска радиуса арки, расчёт площади поверхности для определения массы бумаги или составление уравнений и пропорций для выбора самого выгодного тарифа и оборудования\. Все прототипы пятого задания делятся на две большие группы: **задачи на оптимизацию и экономический выбор** \(поиск самого дешёвого комплекта стиральной машины с доставкой или расчёт срока окупаемости газового отопления\) и **задачи на применение геометрических формул к реальным объектам** \(радиус закругления арки печи, процентное изменение пробега автомобиля за один оборот колеса или расход топлива на просёлочной дороге\)\. Ниже подробно разобраны методы связывания справочных формул с данными задачи, пошаговые алгоритмы вычислений всех 6 существующих типов пятого задания из банка ФИПИ и открыт доступ к [интерактивным онлайн\-тренажёрам Экзамео](#trenazher-zadanie-5-oge-po-matematike) с моментальной проверкой ответов\. \[Место для иллюстрации: Обзор связки формул из справочных материалов ОГЭ с 5 заданием: формула длины окружности C = pi\*D, теорема Пифагора R = sqrt\(h^2 \+ \(w/2\)^2\) и таблицы оптимизации затрат\] ##### Ключевая суть пятого задания ОГЭ **Суть задания: связь контекста задачи со справочными материалами\!** В пятом номере проверяется способность применить фундаментальную математическую формулу к практической жизненной ситуации, учитывая скрытые условия \(доставка, монтаж, ограничения по объёму и габаритам\)\. • **Формулы из справочника:** в выданных на экзамене материалах есть формула длины окружности $C = 2\pi R = \pi D$ \(для задач на пробег шин\) и теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ \(для расчёта радиуса арки печи и расстояний\)\. Нужно лишь подставить параметры из текста\. • **Жёсткая фильтрация по условиям:** при выборе моделей техники \(стиральные машины, котлы\) сначала вычёркиваются неподходящие по техническим параметрам варианты \(тип загрузки, минимальная масса\), и только затем считается итоговая стоимость оставшихся\. • **Учёт всех сопутствующих расходов:** полная стоимость товара в задании 5 всегда складывается из цены самого прибора, стоимости его подключения/монтажа и доставки \(которая часто задаётся процентом от цены\)\. ## Общие принципы решения 5 задания: справочные материалы и формулы > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie). Чтобы успешно справиться с пятым заданием, важно сразу определить математический тип задачи и выбрать соответствующий алгоритм решения: ##### 1\. Задачи геометрического профиля Опираются на справочник ОГЭ по геометрии: • *Один оборот колеса \(шины\):* длина пути за один оборот равна длине окружности $L = \pi D$\. При нахождении процентного отношения число $\pi$ сокращается, остаётся отношение диаметров\. • *Арка печи:* радиус дуги $R$ связывается с высотой кожуха и половиной его ширины прямоугольным треугольником по теореме Пифагора: $R = \sqrt{h^2 + (w/2)^2}$\. ##### 2\. Задачи экономического выбора Опираются на таблицы и линейные уравнения: • *Окупаемость отопления:* находим разницу затрат на покупку и установку оборудования, делим её на разницу почасовых расходов газа и электричества\. • *Выбор стиральной машины:* отсекаем модели по фильтрам \(«вертикальная», «не менее 6 кг»\), а для прошедших считаем сумму: цена \+ подключение \+ процент доставки\. ##### 3\. Задачи на физические величины и массу В листах бумаги масса пачки находится через площадь: • переводим габариты одного листа в метры \($S_{\text{листа}} = a \cdot b$ в $\text{м}^2$\); • умножаем на число листов в пачке \(500 шт\.\), получая общую площадь в $\text{м}^2$; • умножаем суммарную площадь на плотность бумаги \($80\text{ г/м}^2$\), получая массу пачки в граммах\. ##### 4\. Задачи на баланс расхода топлива В планах местности приравнивается суммарный объём бензина на двух маршрутах: • находим расход по шоссе на 1 км \($6{,}8 / 100 = 0{,}068\text{ л}$\); • вычисляем расход первого пути и шоссейной части второго пути; • разность бензина делим на километраж просёлочной дороги и умножаем на 100\. ## Разбор всех типов пятого задания ОГЭ по математике Ниже приведены подробные пошаговые решения всех 6 ключевых разновидностей пятого задания из банка ФИПИ с формулами, графическими схемами, таблицами и детальными комментариями\. **Условие сюжета:** Завод устанавливает на автомобили колёса с шинами маркировки $185/60\text{ R}15$ \(диаметр которых рассчитан в задании 4 и равен $D_1 = 603\text{ мм}$\)\. При замене на колёса с шинами $205/45\text{ R}17$ диаметр колеса становится равным $D_2 = 616{,}3\text{ мм}$ \(найдено в задании 3\)\. Пробег автомобиля за один оборот колеса равен длине окружности колеса: $$ L = \pi D $$ \[Место для иллюстрации: Схема одного полного оборота колеса, разворачивающегося в отрезок пути длиной L = pi\*D на дорожном полотне\] **Задание 5:** На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами $205/45\text{ R}17$? Результат округлите до десятых\. **Пошаговое решение:** 1\) **Запишем формулу длины пробега за один оборот из справочных материалов:** Длина одного оборота — это длина окружности: $L = \pi D$\. • Для заводского колеса: $L_1 = \pi D_1 = 603\pi\text{ мм}$\. • Для нового колеса: $L_2 = \pi D_2 = 616{,}3\pi\text{ мм}$\. 2\) **Составим пропорцию для нахождения процентов:** Пробег заводского колеса принимаем за $100\%$: $$ L_1 \longrightarrow 100\% $$ $$ L_2 \longrightarrow x\% $$ 3\) **Выразим **$x$** через отношение диаметров:** Обратите внимание: число $\pi$ полностью сокращается\! $$ x = \dfrac{L_2 \cdot 100\%}{L_1} = \dfrac{\pi D_2 \cdot 100\%}{\pi D_1} = \dfrac{D_2}{D_1} \cdot 100\% $$ $$ x = \dfrac{616{,}3}{603} \cdot 100\% \approx 102{,}2056...\% $$ 4\) **Найдём, на сколько процентов увеличился пробег:** $$ \Delta = x - 100\% = 102{,}2056...\% - 100\% = 2{,}2056...\% $$ 5\) **Округлим результат до десятых:** Смотрим на цифру сотых \($0 < 5$\), округляем без добавления единицы: $2{,}2\%$\. **Ответ:** 2,2\. **Условие сюжета:** На шоссе машина дедушки расходует $6{,}8\text{ литра}$ бензина на $100\text{ км}$\. Известно, что на путь из Вересниково до Дружбино по шоссе через Андреевку и на путь через Кирюхино и Кузнецово мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина\. • Первый маршрут \(только шоссе\): $20\text{ км} + 21\text{ км} = 41\text{ км}$\. • Второй маршрут: $18\text{ км}$ по шоссе \($12\text{ км}$ до Кирюхино и $6\text{ км}$ от Кузнецово до Дружбино\) и $17\text{ км}$ по просёлочной дороге \(гипотенуза катетов $8$ и $15$\)\. \[Место для иллюстрации: Карта двух маршрутов: сплошная линия шоссе \(41 км\) и комбинированный путь \(18 км шоссе \+ 17 км грунтовка\)\] **Задание 5:** Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах? **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём расход бензина на 1 км шоссе:** Так как на $100\text{ км}$ расходуется $6{,}8\text{ л}$, на $1\text{ км}$ уходит в 100 раз меньше: $$ q_{\text{шоссе}} = \dfrac{6{,}8}{100} = 0{,}068\text{ литра/км} $$ 2\) **Посчитаем полный объём бензина на первый маршрут \(**$41\text{ км}$** по шоссе\):** $$ V_{\text{общ}} = 41 \cdot 0{,}068 = 2{,}788\text{ литра} $$ 3\) **Найдём расход бензина на шоссейных участках второго маршрута \(**$18\text{ км}$**\):** $$ V_{\text{шоссе2}} = 18 \cdot 0{,}068 = 1{,}224\text{ литра} $$ 4\) **Найдём объём бензина, израсходованный на просёлочной дороге \(**$17\text{ км}$**\):** По условию общий объём топлива на обоих маршрутах одинаков: $$ V_{\text{грунт}} = 2{,}788 - 1{,}224 = 1{,}564\text{ литра} $$ 5\) **Вычислим расход на 100 км просёлочной дороги:** На $1\text{ км}$ просёлочной дороги расходуется $1{,}564 : 17 = 0{,}092\text{ литра}$\. На $100\text{ км}$ потребуется в 100 раз больше топлива: $$ Q = 0{,}092 \cdot 100 = 9{,}2\text{ литра} $$ **Ответ:** 9,2\. **Условие сюжета:** Бумагу формата А5 упаковали в пачки по $500\text{ листов}$\. Масса бумаги площадью $1\text{ кв. м}$ \($1\text{ м}^2$\) равна $80\text{ г}$\. Из таблицы задания 1 известны размеры одного листа формата А5: длина $210\text{ мм}$, ширина $148\text{ мм}$\. \[Место для иллюстрации: Пачка бумаги А5 из 500 листов с указанием плотности 80 г/м^2 и размеров одного листа\] **Задание 5:** Найдите массу пачки, если масса бумаги площадью 1 кв\. м равна 80 г\. Ответ дайте в граммах\. **Пошаговое решение:** 1\) **Переведём размеры листа А5 в метры:** Так как $1\text{ м} = 1000\text{ мм}$, делим значения на 1000: • Длина: $210\text{ мм} = 0{,}21\text{ м}$\. • Ширина: $148\text{ мм} = 0{,}148\text{ м}$\. 2\) **Вычислим площадь одного листа формата А5 в квадратных метрах:** $$ S_{\text{листа}} = 0{,}21 \cdot 0{,}148 = 0{,}03108\text{ м}^2 $$ 3\) **Найдём суммарную площадь всех 500 листов в пачке:** $$ S_{\text{пачки}} = 0{,}03108 \cdot 500 = 15{,}54\text{ м}^2 $$ 4\) **Вычислим массу пачки через плотность \(**$80\text{ г/м}^2$**\):** $$ m = 15{,}54 \cdot 80 = 1243{,}2\text{ грамма} $$ **Ответ:** 1243,2\. **Условие сюжета:** Хозяин участка рассматривает два варианта отопления дома: газовое или электрическое\. Данные о стоимости оборудования, монтажа и расходе энергоносителей приведены в таблице: ##### Отопление ##### Котёл \(руб\.\) ##### Монтаж \(руб\.\) ##### Средний расход ##### Стоимость тарифа Газовое 20 000 15 370 1,6 куб\. м/ч 4,9 руб\./куб\. м Электрическое 15 000 14 000 4,9 кВт 4,2 руб\./\(кВт·ч\) **Задание 5:** Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости покупки и установки этого оборудования? **Пошаговое решение:** 1\) **Найдём разницу первоначальных затрат на покупку и установку:** • Полная цена газового оборудования: $20\,000 + 15\,370 = 35\,370\text{ рублей}$\. • Полная цена электрического оборудования: $15\,000 + 14\,000 = 29\,000\text{ рублей}$\. • Разница в затратах: $$ \Delta_{\text{оборуд}} = 35\,370 - 29\,000 = 6370\text{ рублей} $$ 2\) **Посчитаем стоимость 1 часа непрерывной работы для каждого варианта:** • Расход газа за 1 час: $1{,}6 \cdot 4{,}9 = 7{,}84\text{ руб./час}$\. • Расход электричества за 1 час: $4{,}9 \cdot 4{,}2 = 20{,}58\text{ руб./час}$\. 3\) **Найдём экономию от использования газа за 1 час:** $$ \Delta_{\text{час}} = 20{,}58 - 7{,}84 = 12{,}74\text{ руб./час} $$ 4\) **Вычислим время окупаемости в часах:** $$ t = \dfrac{\Delta_{\text{оборуд}}}{\Delta_{\text{час}}} = \dfrac{6370}{12{,}74} = 500\text{ часов} $$ **Ответ:** 500\. **Условие сюжета:** Верхняя часть металлического кожуха печи выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха\. Размеры кожуха: высота $40\text{ см}$, ширина $60\text{ см}$\. \[Место для иллюстрации: Чертёж передней панели печи с аркой, центром окружности в середине основания и прямоугольным треугольником с катетами 40 см и 30 см\] **Задание 5:** Найдите радиус закругления арки в сантиметрах\. **Пошаговое решение:** 1\) **Построим геометрическую модель из условия:** Центр окружности лежит строго посередине нижней границы кожуха\. Проведём радиус $R$ из центра к точке стыка арки и боковой стенки кожуха\. 2\) **Выделим прямоугольный треугольник в справочной модели:** • Вертикальный катет равен высоте кожуха: $a = 40\text{ см}$\. • Горизонтальный катет равен половине ширины кожуха: $b = \dfrac{60}{2} = 30\text{ см}$\. • Гипотенузой является искомый радиус закругления арки $R$\. 3\) **Применим теорему Пифагора из справочных материалов \(**$c^2 = a^2 + b^2$**\):** $$ R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\text{ см} $$ **Ответ:** 50\. **Условие сюжета:** В квартире планируется установить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее $6\text{ кг}$\. Характеристики моделей приведены в таблице: ##### Модель ##### Вместимость ##### Тип загрузки ##### Цена \(руб\.\) ##### Монтаж \(руб\.\) ##### Доставка А 7 кг верт\. 28 000 1700 бесплатно Б 5 кг фронт\. 24 000 4500 10% В 5 кг фронт\. 25 000 5000 10% Г 6,5 кг фронт\. 24 000 4500 10% Д 6 кг фронт\. 28 000 1700 бесплатно Е 6 кг верт\. 27 600 2300 бесплатно Ж 6 кг верт\. 27 585 1900 10% З 6 кг фронт\. 20 000 6300 15% И 5 кг фронт\. 27 000 1800 бесплатно К 5 кг верт\. 27 000 1800 бесплатно **Задание 5:** Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой? **Пошаговое решение:** 1\) **Фильтрация моделей по заданным критериям:** • Загрузка должна быть строго **вертикальной**\. • Вместимость барабана должна быть **не менее 6 кг** \(то есть $\ge 6\text{ кг}$\)\. Проверяем всю таблицу: • Модель А: вертикальная, 7 кг $\to$ **подходит**\. • Модель Е: вертикальная, 6 кг $\to$ **подходит**\. • Модель Ж: вертикальная, 6 кг $\to$ **подходит**\. • Модель К: вертикальная, но вместимость 5 кг $\to$ не подходит\. • Модели Б, В, Г, Д, З, И имеют фронтальную загрузку $\to$ сразу вычёркиваются\. 2\) **Расчёт полной стоимости подходящих вариантов:** • **Модель А:** $28\,000\text{ (цена)} + 1700\text{ (монтаж)} + 0\text{ (доставка)} = \mathbf{29\,700\text{ руб.}}$ • **Модель Е:** $27\,600 + 2300 + 0 = \mathbf{29\,900\text{ руб.}}$ • **Модель Ж:** $27\,585 + 1900 + 2758{,}5\text{ (10\% от цены)} = \mathbf{32\,243{,}5\text{ руб.}}$ 3\) **Сравнение затрат:** Среди полученных сумм \($29\,700$, $29\,900$ и $32\,243{,}5$\) минимальная составляет $29\,700\text{ рублей}$\. **Ответ:** 29700\. ### Типичные ошибки при выполнении пятого задания ОГЭ > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie). Пятое задание требует предельной сосредоточенности, так как объединяет сразу несколько шагов вычислений\. Вот четыре главные ловушки, на которых теряют баллы: ##### Потеря платной доставки при оптимизации В таблицах выбора техники смотрят только на базовую цену и стоимость монтажа, забывая прибавить процент доставки\. Например, в модели Ж доставка составляет 10% от цены \($2758{,}5\text{ руб.}$\), что делает её существенно дороже моделей А и Е\. ##### Использование полной ширины кожуха печи В задаче на радиус арки печи в теорему Пифагора подставляют всю ширину кожуха \($60\text{ см}$\) вместо её половины \($30\text{ см}$\)\. Центр окружности лежит строго в середине основания, поэтому горизонтальным катетом всегда является половина ширины \($w/2$\)\! ##### Ошибки перевода миллиметров в метры для массы В задаче про пачку бумаги А5 перемножают миллиметры \($210 \times 148$\) и сразу умножают на $80\text{ г/м}^2$, получая абсурдную массу в миллионы граммов\. Плотность дана на квадратный метр, поэтому размеры листа обязательно переводят в метры \($0{,}21 \times 0{,}148$\)\. ##### Неверный расчёт разницы в окупаемости В задаче про отопление делят разницу в оборудовании \($6370\text{ руб.}$\) только на почасовую стоимость газа \($7{,}84$\) вместо разницы между электричеством и газом \($12{,}74$\)\. Окупаемость обеспечивает именно чистая экономия в час\! ## Задания 5 из ОГЭ по математике с проверкой ответов Задания пятого номера по всем экзаменационным темам \(оптимальный выбор стиральных машин и отопления, нахождение радиуса закругления арки печи, расчёт процента изменения пробега колеса за один оборот, вычисление массы пачки бумаги и расчёт расхода бензина по просёлочным дорогам\) собраны в интерактивном онлайн\-тренажёре Экзамео\. Решайте задачи онлайн, сверяйте пошаговые эталоны решений и уверенно набирайте максимальные 5 из 5 первичных баллов за практический блок ОГЭ по математике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/5-zadanie).