> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/7-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/7-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 7 задание ОГЭ по математике \- полный разбор и тренажеры **7 задание ОГЭ по математике** одно из самых «дорогих» по соотношению времени и сложности заданий базового блока первой части\. Оно проверяет понимание устройства числовой прямой, умение сравнивать действительные числа: обыкновенные и десятичные дроби через общий знаменатель и общий числитель\. Задания с квадратными корнями проверяют навыки представления чисел в виде квадратного корня для сравнения\. В основном это задание основано на программе 8 класса по математике\. На странице собрана вся необходимая теория по сравнению чисел и числовой прямой\. Так же здесь собраны все существующие типы прототипов 7 задания из открытого банка ФИПИ с подробными разборами каждого вида\. Для всех видов заданий после теории доступны [тренажеры с подробными решениями](#zadaniye-7-oge-na-platforme-ekzameo)\. Рекомендуем решить все тренажеры, чтобы подготовиться к экзамену\. ## Как решать 7 задание в ОГЭ по математике? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/7-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/7-zadanie). Всего на экзамене встречаются 10 видов заданий согласно открытому банку ФИПИ и демоверсиям ОГЭ по математике, чтобы их решить достаточно знать всего лишь 6 основных способов решения\. Прежде всего нужно понимать, что это задание не направлено на примерное вычисление значения дроби или корня \- его смысл в использовании способов сравнения выражений, давайте разберем основные: В 7 задании ОГЭ по математике часто встречаются задания на сравнение дробей, это могут быть задачи с интервалами или с числовой прямой, для решения таких задач существует три подхода: **Приведение к общему знаменателю** — это классический и наиболее надежный метод\. Он считается универсальным и гарантирует верный результат, поэтому часто становится главным инструментом на экзамене\. **Приведение к общему числителю** — эффективный альтернативный прием\. Хотя он используется реже, в определенных заданиях он позволяет упростить вычисления и значительно сократить время решения\. **Сравнение с ближайшим целым числом \(метод дополнения до целого\)** — это экспресс\-метод для опытных ребят\. Он требует развитого числового чутья и навыков быстрой оценки, но при должной сноровке помогает справиться с примером буквально за несколько секунд\. Давайте рассмотрим каждый из способов на примерах ##### Сравнение через общий знаменатель Начнём с самого надёжного способа сравнения дробей — приведение к общему знаменателю с последующим сравнением числителей\. Предположим, что нужно сравнить две дроби: $$ \dfrac{4}{5} \quad \text{и} \quad \dfrac{5}{6} $$ Приведём их к общему знаменателю — его можно найти как $\text{НОК}(5; 6)$, то есть наименьшее число, которое делится и на $5$, и на $6$\. $\text{НОК}(5; 6) = 30$\. Теперь домножим числитель и знаменатель первой дроби на $6$, а второй — на $5$: $$ \dfrac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{24}{30}, \qquad \dfrac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \dfrac{25}{30} $$ Так как знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $24 < 25$, следовательно, $\dfrac{24}{30} < \dfrac{25}{30}$, откуда $\dfrac{4}{5} < \dfrac{5}{6}$\. ##### Сравнение через общий числитель Этот метод особенно удобен, когда числители дробей легко привести к одному числу, а знаменатели при этом достаточно большие\. Главное правило: **из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше** \(так как кусок делят на меньшее количество частей\)\. Сравним дроби: $$ \dfrac{3}{11} \quad \text{и} \quad \dfrac{2}{7} $$ Приведём числители к общему значению $\text{НОК}(3; 2) = 6$\. Домножим первую дробь на $2$, а вторую на $3$: $$ \dfrac{3 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \dfrac{6}{22}, \qquad \dfrac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \dfrac{6}{21} $$ Числители равны\. Сравниваем знаменатели: $22 > 21$\. Поскольку у второй дроби знаменатель меньше, сама дробь будет больше: $\dfrac{6}{22} < \dfrac{6}{21}$, следовательно, $\dfrac{3}{11} < \dfrac{2}{7}$\. ##### Сравнение через выделение целой части и оценку долей При работе с неправильными дробями или дробями, близкими к единице, наиболее быстрый способ — выделить целую часть или посмотреть, сколько не хватает каждой дроби до $1$\. Сравним неправильные дроби: $$ \dfrac{37}{7} \quad \text{и} \quad \dfrac{43}{8} $$ Выделим целую часть у каждой дроби: $$ \dfrac{37}{7} = 5\dfrac{2}{7}, \qquad \dfrac{43}{8} = 5\dfrac{3}{8} $$ Целые части равны \($5 = 5$\)\. Теперь достаточно сравнить оставшиеся правильные дроби $\dfrac{2}{7}$ и $\dfrac{3}{8}$\. Домножим их к общему знаменателю $56$: $\dfrac{16}{56} < \dfrac{21}{56}$\. Значит, $5\dfrac{2}{7} < 5\dfrac{3}{8}$, откуда $\dfrac{37}{7} < \dfrac{43}{8}$\. Для сравнения целого числа и квадратного корня или двух выражений с квадратными корнями используют метод **внесения множителя под знак корня**\. Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ верно правило: **из двух квадратных корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше** \($\sqrt{a} > \sqrt{b} \iff a > b$\)\. Чаще всего вам придется представлять целые числа в виде квадратного корня, поскольку все интервалы и числа на числовой прямой даны в виде целых чисел\. Всегда проще представить целое число в виде квадратного корня, чем вычислять значение корня\. ##### Сравнение целого числа и арифметического квадратного корня Сравним число $7$ и квадратный корень $\sqrt{50}$: 1\. Представим число $7$ в виде квадратного корня: $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49}$\. 2\. Сравниваем два корня: $\sqrt{49}$ и $\sqrt{50}$\. Так как $49 < 50$, то $\sqrt{49} < \sqrt{50}$\. 3\. Вывод: $7 < \sqrt{50}$\. ##### Сравнение выражений вида $a\sqrt{b}$ Сравним выражения $3\sqrt{5}$ и $2\sqrt{11}$: 1\. Внесём множители перед корнями под знак квадратного корня: $$ 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} $$ $$ 2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44} $$ 2\. Сравниваем подкоренные выражения: $45 > 44 \implies \sqrt{45} > \sqrt{44}$\. 3\. Вывод: $3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}$\. При работе с числами разных знаков и отрицательными значениями действуют следующие фундаментальные правила координатной прямой: 1\. **Любое положительное число строго больше нуля и любого отрицательного числа\.** 2\. **Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше** \(то есть то число, которое на координатной прямой расположенно ближе к нулю / правее\)\. ##### Сравнение отрицательных дробей и корней Сравним два отрицательных числа: $$ -0{,}7\space и \space -\dfrac{3}{4} $$ 1\. Переведём обыкновенную дробь в десятичную: $-\dfrac{3}{4} = -0{,}75$\. 2\. Сравним их модули: $|-0{,}7| = 0{,}7$, а $|-0{,}75| = 0{,}75$\. Так как $0{,}7 < 0{,}75$, модуль первой дроби меньше\. $$ -0{,}7>-0{,}75 \implies -0{,}7>-\dfrac34 $$ Такие сравнения можно так же выполнять при помощи числовой прямой: можно нарисовать прямую и отметить на ней точку $-0{,}7$и слева от неё отметить $-0{,}75 = -\frac34$\. То, что окажется слева \- больше\. В прототипах с буквенными выражениями на координатной прямой \(когда заданы точки $a, b, c$ без четких числовых значений\) наиболее эффективным является **метод подстановки конкретных чисел**\. Главное правило: выберите для каждой буквы удобное число с учетом её положения относительно 0\(если он указан\) и соблюдая примерный масштаб расстояний между точками\. ##### Пример применения метода подстановки конкретных чисел Пусть на координатной прямой точка $a$ лежит левее нуля на расстоянии около $3$ единиц, а точка $b$ лежит правее нуля на расстоянии около $1{,}5$ единиц\. 1\. Присвоим переменным конкретные «тестовые» значения: $a = -3$, $b = 1{,}5$\. 2\. Проверим утверждение $a + b > 0$: подставляем числа $-3 + 1{,}5 = -1{,}5$\. Результат отрицательный, значит утверждение $a + b > 0$ — **неверное**\. 3\. Проверим утверждение $a \cdot b < 0$: подставляем $(-3) \cdot 1{,}5 = -4{,}5$\. Результат отрицательный, значит утверждение $a \cdot b < 0$ — **верное**\. Когда требуется определить, между какими соседними целыми числами заключено значение иррационального выражения или дроби, в очень редких случаях применяют **метод приближенной десятичной оценки**\. Важно отметить \- этот метод стоит использовать только в тех случаях, когда у вас нет идей как решать задание, потому что он очень часто приводит к неверным оценкам у девятиклассников и занимает много времени\. Однако если вы все\-таки решили его использовать \- вот несколько советов, которые помогут свести ошибки к минимуму: Вы всегда можете просто поделить числитель на знаменатель или примерно посчитать корень\. Делите или извлекайте корень как минимум до четырех знаков после запятой \- это поможет свести к минимуму ошибку при округлении Если не уверены как округлить \- считайте дальше до большего количества знаков после запятой\. Подробнее про оценку выражений можно найти здесь: [Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений](/subjects/math/courses/oge_math/topics/priblizhyonnye_vychisleniya_pravila_okrugleniya_prikidka_i_otsenka_rezultata_vychislenii) \- это тема кодификатора ОГЭ по математике ## Тренажёры по 7 заданию ОГЭ по математике Ниже собраны все виды 7 задания в ОГЭ по математике из открытого банка ФИПИ по математике и сборников для подготовки к ОГЭ\. К каждому заданию вы найдете подробное решение, которое поможет разобраться с темой и подготовиться к экзамену в 9 классе\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/7-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/7-zadanie).