<!--
Источник: Экзамео — образовательная платформа для подготовки к экзаменам.
Каноническая HTML-страница: https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie
Эта Markdown-версия предназначена для корректного цитирования, индексации и чтения AI-агентами.
Материал является авторским контентом Экзамео. Не используйте эту копию как самостоятельный источник для перепубликации.
-->

> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам.
>
> Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie).
>
> При цитировании указывайте источник: Экзамео.

# 8 задание ОГЭ по математике

**Задание 8 ОГЭ по математике** входит в базовый модуль «Алгебра» первой части экзамена и приносит **1 первичный балл**\. Оно проверяет умение выполнять тождественные преобразования рациональных и иррациональных выражений, применять **свойства степеней с целым показателем**, правила действий с **арифметическими квадратными корнями** и **формулы сокращённого умножения \(ФСУ\)** с последующей подстановкой числовых значений переменных\.

На этой странице собрана вся необходимая теоретическая база кодификатора ФИПИ за 7–9 классы: полный свод формул степеней и корней, правила сокращения дробей, рациональные приёмы раскрытия скобок и разбор всех существующих типов прототипов открытого банка ФИПИ\.

Отработать навыки упрощения выражений помогут интерактивные [тренажёры Задания 8 ОГЭ по математике](#zadaniye-8-oge-na-platforme-ekzameo) с автоматической проверкой и пошаговыми решениями\.

## Все прототипы 8 Задания ОГЭ по математике

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie).


Все виды 8 задания ОГЭ по математике можно разделить на четыре большие группы

##### 1\. Свойства степеней 🔢

Выражения с одинаковыми основаниями, отрицательными показателями и возведением степени в степень вида $\dfrac{(a^3)^{-2} \cdot a^9}{a^4}$\.

##### 2\. Квадратные корни 🌿

Извлечение корня из произведения и дроби, вынесение множителя из\-под знака корня, умножение корней вида $\sqrt{a^{12} b^6}$ и $(\sqrt{18} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$\.

##### 3\. Дроби и формулы ФСУ ✂️

Рациональные алгебраические дроби с формулами разности квадратов, квадрата суммы/разности и сокращением перед подстановкой чисел\.

##### 4\. Выражения с несколькими переменными 🧩

Двух\- и трёхэтажные алгебраические дроби, требующие приведения к общему знаменателю и вынесения общего множителя за скобки\.

## Справочник формул: Степени и квадратные корни

Таблица всех базовых тождеств для решения заданий 8 линии:

##### Свойства степеней \($a, b > 0$\)

##### Свойства квадратных корней \($a, b \ge 0$\)

$a^n \cdot a^m = a^{n + m}$

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (b > 0)$

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

$(\sqrt{a})^2 = a$

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\sqrt{a^{2n}} = a^n \quad (a \ge 0)$

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \quad a^0 = 1$

$\sqrt{a^2} = |a|$

## Формулы сокращённого умножения \(ФСУ\)

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie).


#### Ключевые формулы ФСУ для 8 задания 🎯

• **Разность квадратов:** $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

• **Квадрат суммы:** $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• **Квадрат разности:** $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

#### Главный секрет Задания 8 ОГЭ\! 💡

1\. **Сначала упростить — потом подставлять\!** Никогда не подставляйте длинные дробные или иррациональные значения переменных сразу в исходное выражение\. В 100% случаев выражение сначала сокращается до компактного вида\.

2\. **Степень четная под корнем делится на 2:** При извлечении корня из четной степени показатель делится на два: $\sqrt{a^{16}} = a^8$, $\sqrt{x^6} = x^3$\.

3\. **Ошибки с минусом перед дробью:** Знак «$-$» перед дробью относится ко всему числителю целиком\. Всегда ставьте скобки при раскрытии: $-\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{-a + b}{c}$\.

### Пошаговый алгоритм решения Задания 8

При выполнении Задания 8 на ОГЭ придерживайтесь алгоритма:

### Порядок действий:

**Упростите выражение алгебраически:** примените свойства степеней, формулы ФСУ, вынесите общий множитель за скобки и сократите дроби\.

**Подставьте числовые значения:** замените переменные числами из условия задачи и аккуратно выполните арифметические действия\.

**Запишите ответ в бланк № 1:** запишите результат в виде целого числа или конечной десятичной дроби \(каждый символ в отдельной клетке\)\.

### Разбор всех прототипов Задания 8 из банка ФИПИ

> Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie).


Рассмотрите подробные решения характерных прототипов 8 задания ОГЭ\.

**Задание:** Найдите значение выражения $\dfrac{a^{-11} \cdot a^7}{a^{-7}}$ при $a = 4$\.

**Подробное решение:**

1\) Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием в числителе:

$$
a^{-11} \cdot a^7 = a^{-11 + 7} = a^{-4}
$$

2\) Применим свойство деления степеней:

$$
\dfrac{a^{-4}}{a^{-7}} = a^{-4 - (-7)} = a^{-4 + 7} = a^3
$$

3\) Подставим значение $a = 4$:

$$
a^3 = 4^3 = 64
$$

**Ответ:** $64$\.

**Задание:** Найдите значение выражения $\sqrt{16a^4 b^6}$ при $a = 3$ и $b = 2$\.

**Подробное решение:**

1\) Извлечем корень из каждого сомножителя отдельно:

$$
\sqrt{16a^4 b^6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6} = 4 \cdot a^2 \cdot b^3
$$

2\) Подставим заданные числовые значения $a = 3$ и $b = 2$:

$$
4 \cdot 3^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 9 \cdot 8 = 36 \cdot 8 = 288
$$

**Ответ:** $288$\.

**Задание:** Найдите значение выражения $\dfrac{a^2 - 4b^2}{a - 2b} - a$ при $a = 15$ и $b = 3{,}5$\.

**Подробное решение:**

1\) Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов \($a^2 - (2b)^2$\):

$$
a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)
$$

2\) Подставим разложение в дробь и сократим на $(a - 2b)$:

$$
\dfrac{(a - 2b)(a + 2b)}{a - 2b} - a = (a + 2b) - a = 2b
$$

3\) Подставим числовое значение $b = 3{,}5$:

$$
2 \cdot 3{,}5 = 7
$$

**Ответ:** $7$\.

## Тренажёры по Заданию 8 ОГЭ на Экзамео

Довести до автоматизма решение **Задания 8 ОГЭ по математике** можно с помощью интерактивных онлайн\-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео»\. Наша база содержит сотни актуальных прототипов задач открытого банка ФИПИ на степени, квадратные корни, алгебраические дроби и формулы сокращённого умножения\.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени и предоставляет подробный пошаговый разбор к каждому выражению\. Занимайтесь на **Экзамео** в комфортном темпе, осваивайте алгебраические тождества и забирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике\!

---

## Условия использования материала

Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта.

Разрешено:

- использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала;
- цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео;
- использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации.

Не разрешено:

- копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории;
- выдавать материал Экзамео за собственный контент;
- удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника;
- использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео.

Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/8-zadanie).