> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # 9 задание ОГЭ по математике \- все виды уравнений **Задание 9 ОГЭ по математике** направлено на решение уравнений всех видов, которые проходились в школьной программе с 7 по 9 класс, от учеников требуется правильно раскрывать скобки, находить корни линейных, квадратных и рациональных уравнений, а так же правильно отбирать корни На этой странице собрана подробная теория по всем видам уравнений из банка ФИПИ и [тренажёры 9 задания ОГЭ по математике](#zadaniye-9-oge-na-platforme-ekzameo) с автоматической проверкой и подробным решением\. ## Все виды уравнений, встречающиеся в 9 задании ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie). Банк заданий ФИПИ, варианты настоящих экзаменов прошлых лет, и сборники для подготовки к ОГЭ содержат всего 3 вида уравнений\. 1 ##### Линейные уравнения Уравнения вида $$ ax+b=0 $$ На экзамене они могут быть с раскрытием скобок, приведением подобных слагаемых или обыкновенными дробями с числовыми знаменателями\. 2 ##### Квадратные уравнения На экзамене они могут полными: $$ ax^2+bx+c=0 $$ Решаются через дискриминант или теорему Виета 3 ##### Дробно рациональные уравнения Уравнения с переменной в знаменателе вида $$ \frac{a}{x+b}=c $$ В пробных вариантах, особенно уровня посложнее можно так же встретить в 9 задании системы линейных уравнений ## Подробный разбор способов решения всех видов уравнений Рассмотрим методику решения каждого вида уравнений с необходимыми формулами: ### Линейные и распадающиеся уравнения > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie). • **Линейные уравнения:** переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки слагаемых при переносе на противоположные\. Затем делим обе части на коэффициент перед $x$ \($ax = b \implies x = \frac{b}{a}$\)\. • **Распадающиеся уравнения:** если выражение задано в виде произведения скобок $(x - a)(x - b) = 0$, приравниваем каждую скобку к нулю: $x - a = 0 \implies x_1 = a$ или $x - b = 0 \implies x_2 = b$\. ### Квадратные уравнения \(полные и неполные\) Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$ \($a \neq 0$\)\. ##### Вид квадратного уравнения ##### Алгоритм решения ##### Формулы корней **Полное** $ax^2 + bx + c = 0$ Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$\. • Если $D > 0$ — $2$ корня; • Если $D = 0$ — $1$ корень; • Если $D < 0$ — корней нет\. Если у вас в 9 задании получился отрицательный дискриминант \- значит есть ошибка в вычислениях и есть смысл пересчитать ещё раз $$ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ Для приведённых уравнений вида $$ x^2+px+q=0 $$ Можно использовать теорему Виета: $x_1 + x_2 = -p, \; x_1 \cdot x_2 = q$ **Неполное \(**$c = 0$**\)** $ax^2 + bx = 0$ Выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(ax + b) = 0$\. $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -\dfrac{b}{a} $$ **Неполное \(**$b = 0$**\)** $ax^2 + c = 0$ Переносим $c$ в правую часть и делим на $a$: $$ x^2=-\frac{c}{a} $$ Если $-\frac{c}{a} > 0$: $$ x_{1,2} = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}} $$ В таких уравнениях главное \- не забыть про плюс\-минус ### Рациональные уравнения и системы уравнений • **Дробно\-рациональные уравнения:** если уравнение имеет вид пропорции $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$, то переходим к линейному или квадратному уравнению с помощью основного свойства пропорции $A \cdot D = B \cdot C$, учитывая, что знаменатели не равны нулю \($B \neq 0, D \neq 0$\)\. • **Системы уравнений:** в Задании 9 системы линейных уравнений обычно просят решить относительно $x$ или $y$\. Удобнее всего использовать *метод сложения* \(умножаем уравнения на коэффициенты так, чтобы при сложении одна переменная взаимно уничтожилась\) или *метод подстановки* \(выражаем одну переменную через другую\)\. #### Правила отбора корней и бланк ОГЭ\! 1\. **Внимательно читайте условие:** В квадратных уравнениях часто просят записать **больший** или **меньший** корень\! Помните, что из отрицательных чисел больше то, которое находится ближе к нулю \(например, $-2 > -5$\)\. 2\. **Если просят записать корни без пробелов:** В редких прототипах ФИПИ просят выписать корни в порядке возрастания слитно\. Если корни $-3$ и $4$, то запись в бланк: $-34$\. 3\. **Формат Бланка № 1:** Ответ должен быть строго целым числом или конечной десятичной дробью\. Каждая цифра, запятая и минус пишутся в отдельной клеточке\. ### Пошаговый алгоритм решения Задания 9 > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie). При выполнении Задания 9 на экзамене придерживайтесь алгоритма: ### Порядок действий: **Определите класс уравнения:** распознайте линейное, неполное квадратное, полное квадратное, распадающееся или рациональное уравнение\. **Выполните преобразования:** раскройте скобки, приведите подобные, примените формулу дискриминанта или вынесите общий множитель\. **Отберите нужный корень:** выберите корень по требованию задачи \(больший/меньший\) и впишите число в бланк ответов\. ### Разбор всех видов примеров из банка ФИПИ Рассмотрите решения характерных прототипов 9 задания ОГЭ\. **Задание:** Найдите корень уравнения $x + \dfrac{x}{5} = \dfrac{12}{5}$\. **Подробное решение:** 1\) Домножим обе части уравнения на $5$, чтобы избавиться от знаменателей: $$ 5 \cdot x + 5 \cdot \dfrac{x}{5} = 5 \cdot \dfrac{12}{5} \implies 5x + x = 12 $$ 2\) Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ 6x = 12 $$ 3\) Разделим обе части на $6$: $$ x = \dfrac{12}{6} = 2 $$ **Ответ:** $2$\. **Задание:** Решите уравнение $(-2x + 1)(-x - 7) = 0$\. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней\. **Подробное решение:** 1\) Приравняем к нулю каждый множитель: $$ -2x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad -x - 7 = 0 $$ 2\) Найдем первый корень: $$ -2x = -1 \implies x_1 = \dfrac{-1}{-2} = 0{,}5 $$ 3\) Найдем второй корень: $$ -x = 7 \implies x_2 = -7 $$ 4\) Сравниваем корни $-7$ и $0{,}5$\. Меньшим является корень $-7$\. **Ответ:** $-7$\. **Задание:** Решите уравнение $x^2 + 7x - 18 = 0$\. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней\. **Подробное решение:** 1\) Определим коэффициенты: $a = 1, b = 7, c = -18$\. Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$ 2\) Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \dfrac{-7 + 11}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \dfrac{-7 - 11}{2} = \dfrac{-18}{2} = -9 $$ 3\) По условию задачи требуется записать **больший** из корней\. Сравниваем $2$ и $-9$: $2 > -9$\. **Ответ:** $2$\. **Задание:** Решите систему уравнений $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases}$\. В ответе запишите значение $x$\. **Подробное решение:** 1\) Применили метод почленного сложения двух уравнений, так как коэффициенты при $y$ противоположны \($+2y$ и $-2y$\): $$ (3x + 2y) + (2x - 2y) = 8 + 2 $$ 2\) Приведем подобные слагаемые: $$ 5x = 10 \implies x = \dfrac{10}{5} = 2 $$ 3\) По условию задачи требуется указать только значение $x$\. **Ответ:** $2$\. ## Все виды 9 заданий в ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie). Ниже собраны абсолютно все разновидности** 9 задания ОГЭ по математике из актуальных прототипов **из банка заданий ФИПИ и вариантов прошлых лет в онлайн\-тренажёрах на образовательной платформе «Экзамео»\. Система проверяет ответы в реальном времени и даёт подробные пошаговые пояснения с вычислениями корней и их выборке\. --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie](https://exameo.ru/subjects/math/exams/oge-po-matematike/slots/9-zadanie).