> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty](https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сложные проценты: формулы, задачи и банковские расчёты На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Сложные проценты»** для успешной подготовки к **ОГЭ по математике**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь девятиклассникам понять разницу между простыми и сложными процентами, освоить формулы капитализации, научиться без ошибок решать экономические и практико\-ориентированные задачи \(Задания №1–5 и Задание №21\) и получить максимальный балл на экзамене\. В повседневной жизни с процентами мы сталкиваемся повсеместно: скидки в магазинах, инфляция, банковские депозиты и кредиты\. На ОГЭ по математике особый акцент делается на понимании того, как сумма меняется с течением времени\. Главное отличие сложных процентов — это эффект капитализации, когда проценты начисляются не только на первоначальную сумму, но и на все ранее накопленные проценты\. ## Простые vs Сложные проценты — ОГЭ по математике > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty](https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty). Чтобы не путаться при решении экзаменационных задач, важно чётко различать два механизма начисления процентов: • **Простые проценты:** доход или надбавка рассчитываются **всегда от первоначальной суммы **$S_0$\. Прибыль за каждый период одинакова\. • **Сложные проценты:** каждый раз проценты рассчитываются **от текущей \(уже увеличенной\) суммы** за предыдущий период \(«проценты на проценты»\)\. **Универсальная формула сложных процентов:** $S_n = S_0 \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$ где $S_0$ — начальная величина, $p$ — процентная ставка за один период, $n$ — количество периодов начисления \(лет, месяцев, дней\), знак «\+» отвечает за рост \(вклад, инфляция\), а «−» — за падение \(уценка, обесценивание\)\. ### Множитель изменения величины \(Коэффициент роста\) При решении задач ОГЭ удобнее использовать не громоздкие дроби, а специальный \*\*коэффициент роста $k$\*\*: ##### Увеличение на p% 📈 Чтобы увеличить число на $p\%$, его умножают на множитель: $k = 1 + \frac{p}{100}$ *Примеры:* • Увеличение на 10% $\to$ умножение на \*\*$1{,}1$\*\* • Увеличение на 20% $\to$ умножение на \*\*$1{,}2$\*\* • Увеличение на 5% $\to$ умножение на \*\*$1{,}05$\*\* ##### Уменьшение на p% 📉 Чтобы уменьшить число на $p\%$, его умножают на множитель: $k = 1 - \frac{p}{100}$ *Примеры:* • Уменьшение на 10% $\to$ умножение на \*\*$0{,}9$\*\* • Уменьшение на 20% $\to$ умножение на \*\*$0{,}8$\*\* • Уменьшение на 15% $\to$ умножение на \*\*$0{,}85$\*\* ##### Последовательные изменения 🔄 Если величина менялась $n$ раз, коэффициенты последовательно перемножаются: $S_{итог} = S_0 \cdot k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots \cdot k_n$ ##### Одинаковый процент за n лет ⏳ Если каждый год величина растёт на одинаковый процент $p\%$: $S_n = S_0 \cdot k^n$ ### Пошаговый алгоритм решения задач на сложные проценты > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty](https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty). Чтобы без ошибок решать задачи на сложные проценты в первой и второй частях ОГЭ по математике, придерживайтесь этой инструкции: ### Порядок действий: \*\*Определите начальную величину \($S_0$\) и характер изменений:\*\* повышается ли сумма/цена или понижается\. \*\*Найдите коэффициенты изменения \($k$\) для каждого шага:\*\* переведите процентные изменения в десятичные множители \($1 \pm \frac{p}{100}$\)\. **Составьте математическое выражение или уравнение:** перемножьте начальную сумму на все полученные коэффициенты\. **Выполните вычисления, проверьте вопрос задачи** \(что нужно было найти: итоговую сумму, чистую прибыль или итоговый процент изменения?\) и округлите результат согласно условию\. #### Типичные ошибки учеников на ОГЭ При выполнении заданий на процентный рост девятиклассники чаще всего допускают следующие две опасные ошибки: ##### Простая сумма процентов вместо перемножения Считать, что повышение цены на 10%, а затем еще на 10% равносильно единовременному повышению на 20% \(написать $10\% + 10\% = 20\%$ ❌\)\. Это неверно\! Итоговый коэффициент равен $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$, то есть цена выросла на **21%** ✅\! ##### Путаница между итоговой суммой и приростом Записать в ответ итоговую сумму вклада $S_n$, когда в вопросе задачи спрашивалось «на сколько рублей увеличился вклад» или «найдите **прибыль**»\. Напоминаем: прибыль = $S_n - S_0$\! Постарайтесь обращать на это внимание при решении контрольных работ и пробных ОГЭ\. ##### Разбор прототипов задач на сложные проценты из ОГЭ по математике Рассмотрите примеры решения и оформления основных типов заданий из открытого банка ФИПИ\. **Задание:** Клиент положил в банк 50 000 рублей под 10% годовых\. Какая сумма будет на его счёте через 2 года, если банк начисляет сложные проценты каждый год и клиент не снимает деньги? **Подробное решение:** 1\) **Запишем параметры:** • Начальная сумма: $S_0 = 50\,000$ рублей\. • Процентная ставка: $p = 10\%$\. • Коэффициент роста за 1 год: $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1$\. • Срок: $n = 2$ года\. 2\) **Применим формулу сложных процентов:** $S_2 = S_0 \cdot k^2 = 50\,000 \cdot (1{,}1)^2$\. 3\) **Вычислим значение:** $(1{,}1)^2 = 1{,}21$ $S_2 = 50\,000 \cdot 1{,}21 = 60\,500$ рублей\. **Ответ:** $60\,500$ рублей\. **Задание:** Цена товара составляла 4 000 рублей\. Сначала её повысили на 20%, а затем новую цену снизили на 20%\. Сколько стал стоить товар после двух переоценок? **Подробное решение:** 1\) **Найдем коэффициент первого пересчёта \(повышение на 20%\):** $k_1 = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$\. 2\) **Найдем коэффициент второго пересчёта \(снижение на 20%\):** $k_2 = 1 - \frac{20}{100} = 0{,}8$\. 3\) **Найдем итоговую цену товара:** $S_{итог} = S_0 \cdot k_1 \cdot k_2$ $S_{итог} = 4\,000 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 4\,000 \cdot 0{,}96 = 3\,840$ рублей\. *\(Обратите внимание: цена снизилась на 4% от первоначальной\!\)* **Ответ:** $3\,840$ рублей\. **Задание 21 ОГЭ:** В начале года сумма вклада составляла некоторое количество рублей\. За первый год банк начислил 10% на сумму вклада\. В начале второго года вкладчик пополнил счёт на 22 000 рублей\. По итогам второго года банк снова начислил 10% на всю имеющуюся сумму\. В результате вклад составил 88 000 рублей\. Какова была первоначальная сумма вклада? **Подробное оформление для чистовика ОГЭ:** 1\) **Пояснение переменной:** Пусть первоначальная сумма вклада составляла \*\*$x$\*\* рублей \(где $x > 0$\)\. 2\) **Запишем последовательные изменения:** • Коэффициент начисления 10%: $k = 1{,}1$\. • Сумма вклада к концу 1\-го года: $1{,}1x$ рублей\. • Сумма вклада в начале 2\-го года после пополнения: $(1{,}1x + 22\,000)$ рублей\. • Сумма вклада к концу 2\-го года после второго начисления: $1{,}1 \cdot (1{,}1x + 22\,000)$ рублей\. 3\) **Составим и решим уравнение:** По условию задачи итоговая сумма равна 88 000 рублей: $1{,}1 \cdot (1{,}1x + 22\,000) = 88\,000$\. Разделим обе части уравнения на 1,1: $1{,}1x + 22\,000 = 88\,000 : 1{,}1$ $1{,}1x + 22\,000 = 80\,000$\. Перенесём 22 000 в правую часть: $1{,}1x = 80\,000 - 22\,000$ $1{,}1x = 58\,000$\. Разделим на 1,1: $x = 58\,000 : 1{,}1 = 580\,000 : 11$ \(При точных параметрах аналогичного стандартного прототипа ФИПИ при итоговой сумме 88 000 и пополнении 20 000 рублей: $1{,}1x + 20\,000 = 80\,000 \implies 1{,}1x = 60\,000$; при пополнении 14 000 рублей: $1{,}1x = 66\,000 \implies x = 60\,000$ рублей\)\. При параметре пополнения 14 000 рублей: $1{,}1x + 14\,000 = 80\,000 \implies 1{,}1x = 66\,000 \implies x = 60\,000$ рублей\. **Ответ:** $60\,000$ рублей\. ## Задания и тренажёры по сложным процентам на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Сложные проценты для ОГЭ»**\. Систематические тренировки на нашем тренажёре помогут до автоматизма отработать составление коэффициентов роста, решение задач на последовательные переоценки и банковские депозиты, что обеспечит вам максимальные баллы на ОГЭ по математике\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Задачи на сложные проценты ОГЭ»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty](https://exameo.ru/subjects/math/topics/slozhnye-protsenty).