> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Бинарная случайная величина \- разбор темы и задания На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Бинарная случайная величина»** для учащихся **10 класса** в рамках учебных курсов базового и углублённого уровней **«Вероятность и статистика»**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь старшеклассникам понять смысл простейшего типа случайных величин, освоить закон распределения Бернулли, научиться мгновенно находить их математическое ожидание и дисперсию, а также успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ по математике\. В теории вероятностей самым элементарным видом испытания является опыт с двумя возможными исходами: «успех» или «неудача» \(выпал орёл или решка, деталь стандартна или бракована, ответ верен или неверен\)\. Чтобы перевести такой эксперимент на язык чисел, используется бинарная случайная величина \(индикатор события\)\. ## Что такое бинарная случайная величина? — 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina). **Бинарная \(двухточечная\) случайная величина** — это дискретная случайная величина, которая может принимать только два возможных значения: $1$ \(«успех»\) или $0$ \(«неудача»\)\. • **Распределение Бернулли:** если вероятность «успеха» равна $p$, то вероятность «неудачи» равна $q = 1 - p$\. Такое закон распределения вероятностей называется **распределением Бернулли**\. **Интуитивный пример:** Бросаем правильную монету\. Пускай случайная величина $X$ равна $1$, если выпал Орёл, и $0$, если выпала Решка\. Здесь $p = 0{,}5$ и $q = 0{,}5$\. ### 1\. Таблица ряда распределения бинарной величины Ряд распределения бинарной случайной величины $X$ имеет максимально простой вид: ##### Значение случайной величины \($X$\) ##### $0$ \(Неудача / Проигрыш\) ##### $1$ \(Успех / Выигрыш\) \*\*Вероятность \($P$\)\*\* $q = 1 - p$ $p$ Сумма вероятностей во второй строчке всегда строго равна единице: $(1 - p) + p = 1$\. ### 2\. Числовые характеристики: Математическое ожидание и Дисперсия > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina). Одно из главных преимуществ бинарной случайной величины заключается в том, что её числовые характеристики вычисляются мгновенно по готовым формулам без построения громоздких таблиц: ##### Математическое ожидание E\(X\) 🎯 Математическое ожидание бинарной случайной величины \*\*равно вероятность успеха $p$\*\*: $E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p$ *Вывод:* среднее значение индикатора события в точности совпадает с вероятностью этого события\! ##### Дисперсия D\(X\) 📊 Дисперсия бинарной случайной величины равна **произведению вероятностей успеха и неудачи**: $D(X) = p \cdot (1 - p) = p \cdot q$ *Среднеквадратичное отклонение:* $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$ ##### 💡 Свойство максимальной дисперсии: Максимальный разброс \(максимальная неопределённость\) достигается тогда, когда шансы успеха и неудачи равны: $p = 0{,}5$\. В этом случае дисперсия принимает наибольшее возможное значение: $D(X)_{\text{max}} = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ ### 3\. Почему бинарная величина фундаментальна для теории вероятностей? Бинарная случайная величина — это важнейший «кирпичик» всей математической статистики\. Вот где она применяется: 1\. **Индикатор события:** Любому произвольному событию $A$ можно сопоставить индикатор $I_A$, который равен $1$, если событие произошло, и $0$, если не произошло\. 2\. **Связь с биномиальным распределением:** Сумма $n$ независимых одинаково распределённых бинарных величин даёт **биномиальную случайную величину** \(число успехов в $n$ испытаниях Бернулли\)\. Именно через бинарные индикаторы доказывается, что для биномиального распределения $E(Y) = n \cdot p$ и $D(Y) = n \cdot p \cdot q$\. ### Пошаговый алгоритм решения задач с бинарной величиной Чтобы безошибочно анализировать бинарную случайную величину на уроках математики в 10 классе, придерживайтесь этой инструкции: ### Порядок действий: Пошаговый алгоритм > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina). \*\*Определите событие «Успех» и его вероятность \($p$\):\*\* найдите вероятность того, что случайная величина примет значение $1$\. \*\*Вычислите вероятность «Неудачи» \($q$\):\*\* найдите разность $q = 1 - p$\. **Запишите математическое ожидание:** оно сразу равно $E(X) = p$\. **Вычислите дисперсию:** перемножьте значения по формуле $D(X) = p \cdot (1 - p)$\. #### Типичные ошибки десятиклассников При синтаксическом и вероятностном анализе заданий старшеклассники чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Ошибка 1: Назначение произвольных чисел вместо 0 и 1 ❌ Путать значения случайной величины с кодировкой\. По определению бинарная величина принимает **СТРОГО значения 0 и 1**\. Если величина принимает значения $-1$ и $1$ или $1$ и $2$, формулы $E(X) = p$ и $D(X) = p(1-p)$ для неё уже **НЕ работают**\! ##### Ошибка 2: Извлечение квадратного корня при поиске дисперсии ❌ Путать дисперсию $D(X) = p(1-p)$ и среднеквадратичное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$\. Не забудьте, что корень извлекается только при вычислении $\sigma(X)$\! ##### Подробный разбор практических задач Рассмотрите примеры решения задач по теме «Бинарная случайная величина» из курса 10 класса\. **Задание:** Стрелок делает один выстрел по мишени\. Вероятность попадания равна $0{,}8$\. Рассматривается случайная величина $X$ — число попаданий при одном выстреле\. Запишите ряд распределения $X$ и найдите ее математическое ожидание и дисперсию\. **Подробное решение:** 1\) Величина $X$ — бинарная, так как выстрел может завершиться либо попаданием \($X = 1$\), либо промахом \($X = 0$\)\. 2\) Вероятность успеха $p = P(X = 1) = 0{,}8$\. 3\) Вероятность промаха $q = P(X = 0) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$\. 4\) **Математическое ожидание:** $E(X) = p = 0{,}8$\. 5\) **Дисперсия:** $D(X) = p \cdot q = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16$\. **Ответ:** $E(X) = 0{,}8$; $D(X) = 0{,}16$\. **Задание:** Известно, что бинарная случайная величина $X$ имеет дисперсию $D(X) = 0{,}21$\. Найдите математическое ожидание $E(X)$, если известно, что $P(X = 1) > 0{,}5$\. **Подробное решение:** 1\) Для бинарной случайной величины $D(X) = p(1 - p)$ и $E(X) = p$\. 2\) Составим квадратное уравнение относительно $p$: $p(1 - p) = 0{,}21 \implies p - p^2 = 0{,}21 \implies p^2 - p + 0{,}21 = 0$\. 3\) Найдём корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0{,}21 = 1 - 0{,}84 = 0{,}16$\. $p_1 = \frac{1 + 0{,}4}{2} = 0{,}7$; $p_2 = \frac{1 - 0{,}4}{2} = 0{,}3$\. 4\) По условию $p > 0{,}5$, следовательно выбираем $p = 0{,}7$\. 5\) Так как $E(X) = p$, получаем $E(X) = 0{,}7$\. **Ответ:** $E(X) = 0{,}7$\. ## Задания и тренажёры по вероятности за 10 класс на Экзамео На интерактивной образовательной платформе **Экзамео** подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Бинарная случайная величина» для 10 класса**\. Систематическая практика на нашем тренажёре поможет научиться свободно применять формулы Бернулли, вычислять числовые характеристики любых дискретных величин, успешно готовиться к контрольным работам и сдать ЕГЭ по математике на максимальный балл\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Бинарная случайная величина»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/binarnaya_sluchaynaya_velichina).