> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Операции над случайными величинами \- объяснение темы На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Операции над случайными величинами»** для учащихся **10 класса** в рамках углублённого и базового курсов **«Вероятность и статистика»**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь старшеклассникам научиться составлять ряды распределения для сумм, разностей и произведений случайных величин, освоить свойства математического ожидания и дисперсии и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ по математике\. В теории вероятностей отдельные случайные величины часто связаны между собой\. Например, общая выручка магазина складывается из выручки нескольких отделов, а суммарный выигрыш в серии игр зависит от исхода каждого раунда\. Для работы с такими комплексными системами применяются операции над случайными величинами\. ## Что такое операции над случайными величинами? — 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami). Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов заданы две дискретные случайные величины $X$ и $Y$\. • **Основные операции:** над случайными величинами можно выполнять операции умножения на число \($k \cdot X$\), возведения в степень \($X^2$\), сложения \($X + Y$\), вычитания \($X - Y$\) и умножения \($X \cdot Y$\)\. **Главное правило:** при выполнении операций над случайными величинами измеряются их возможные значения, а вероятности этих значений пересчитываются по правилам теории вероятностей\. ### Умножение случайной величины на число и степень Самые простые операции выполняются над одной случайной величиной $X$перечислены ниже: ##### Умножение на число \(k · X\) ✖️ При умножении случайной величины $X$ на число $k$ каждое её значение $x_i$ умножается на $k$, а вероятности $p_i$ **остаются прежними**: $(kX)_i = k \cdot x_i, \quad P(kX = k x_i) = p_i$ ##### Возведение в степень \(X²\) 📈 При возведении случайной величины в квадрат значения $x_i$ возводятся в квадрат $x_i^2$\. *Внимание:* если получились одинаковые значения \(например, $(-2)^2 = 4$ и $2^2 = 4$\), соответствующе их вероятности **складываются**\! ### Сложение и умножение двух случайных величин > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami). Пусть величины $X$ и $Y$ независимы\. Чтобы построить ряд распределения их суммы $Z = X + Y$ или произведения $Z = X \cdot Y$, рассматривают все возможные пары значений $(x_i, y_j)$: ##### Операция ##### Значения новой величины Z ##### Вероятность комбинации \(для независимых X и Y\) **Сумма** $Z = X + Y$ $z_{ij} = x_i + y_j$ $P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$ **Разность** $Z = X - Y$ $z_{ij} = x_i - y_j$ $P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$ **Произведение** $Z = X \cdot Y$ $z_{ij} = x_i \cdot y_j$ $P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$ Если после группировки нескольких пар получились одинаковые значения $z_{ij}$, эти строки объявляются одной, а их **вероятности суммируются**\. ### Свойства математического ожидания и дисперсии при операциях Составлять полный ряд распределения требуется не всегда\. В большинстве практических задач 10 класса достаточно знать, как изменяются числовые характеристики \($E(X)$ или $M(X)$ — мат\. ожидание, $D(X)$ — дисперсия\): ##### Свойства математического ожидания E\(X\) 📊 **Константа:** $E(C) = C$ \(мат\. ожидание постоянной равно самой постоянной\)\. **Вынос множителя:** $E(kX) = k \cdot E(X)$\. **Сумма / Разность:** $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$ \(верно для **любых** величин\!\)\. **Произведение:** $E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)$ \(верно **только для независимых** случайных величин\)\. ##### Свойства дисперсии D\(X\) 📈 **Константа:** $D(C) = 0$ \(дисперсия постоянной равна нулю\)\. **Квадрат множителя:** $D(kX) = k^2 \cdot D(X)$ \(константа выносится в квадрате\!\)\. **Сдвиг:** $D(X + C) = D(X)$\. **Сумма и разность:** $D(X + Y) = D(X - Y) = D(X) + D(Y)$ \(обратите внимание: при разности дисперсии **ВСЁ РАВНО СКЛАДЫВАЮТСЯ**, если величины независимы\!\)\. ### Пошаговый алгоритм построения распределения суммы X \+ Y Чтобы безошибочно составить ряд распределения для суммы или произведения двух независимых случайных величин, используйте следующую инструкцию: ### Порядок действий: Пошаговый алгоритм > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami). **Выпишите ряды распределения X и Y:** выделите все значения $x_i$ и $y_j$ с их вероятностями $p_i$ и $q_j$\. **Составьте таблицу всех комбинаций:** для каждой пары значений перемножьте их вероятности $P_{ij} = p_i \cdot q_j$ и вычислите результаты выбранной операции \(например, $z_{ij} = x_i + y_j$\)\. **Объедините повторяющиеся значения:** если одно и то же число $z$ получилось в нескольких парах, сложите их вероятности\. **Запишите итоговый ряд распределения в порядке возрастания z:** проверьте, чтобы сумма всех вероятностей $\sum P(Z = z_k)$ была строго равна **1**\. #### Типичные ошибки при операциях над случайными величинами Учащиеся 10 класса часто допускают следующие две классические ошибки: ##### Ошибка 1: Вычитание дисперсий при разности величин ❌ Писать $D(X - Y) = D(X) - D(Y)$\. Помните: вычитание двух случайных величин увеличивает неопределённость \(разброс\) системы, поэтому для независимых величин их дисперсии **всегда складываются**: $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$\! ##### Ошибка 2: Забывание выноса константы в квадрате из дисперсии ❌ Считать, что $D(3X) = 3 D(X)$\. Запомните: константа из\-под знака дисперсии выносится **в квадрате**: $D(3X) = 3^2 \cdot D(X) = 9 D(X)$\! ##### Подробный разбор практических задач Рассмотрите примеры решения типовых задач на операции над случайными величинами углублённого курса вероятности 10 класса\. **Задание:** Даны независимые случайные величины $X$ и $Y$\. Известно, что $E(X) = 4$, $D(X) = 2$, $E(Y) = 1$, $D(Y) = 3$\. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины $Z = 2X - 3Y + 5$\. **Подробное решение:** 1\) \*\*Находим $E(Z)$ по свойствам мат\. ожидания:\*\* $E(Z) = E(2X - 3Y + 5) = 2 E(X) - 3 E(Y) + 5$ $E(Z) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + 5 = 8 - 3 + 5 = 10$\. 2\) \*\*Находим $D(Z)$ по свойствам дисперсии:\*\* Учитываем, что $D(C) = 0$, а дисперсии независимых величин при вычитании **складываются**: $D(Z) = D(2X - 3Y + 5) = D(2X) + D(-3Y) + D(5) = 2^2 D(X) + (-3)^2 D(Y) + 0$ $D(Z) = 4 D(X) + 9 D(Y) = 4 \cdot 2 + 9 \cdot 3 = 8 + 27 = 35$\. **Ответ:** $E(Z) = 10$; $D(Z) = 35$\. **Задание:** Составьте ряд распределения суммы независимых величин $X$ и $Y$, если $X$ принимает значения $1$ и $2$ с вероятностями $0{,}4$ и $0{,}6$, а $Y$ принимает значения $0$ и $1$ с вероятностями $0{,}3$ и $0{,}7$\. **Подробное решение:** 1\) Перечислим все комбинации $Z = X + Y$: • $x_1 + y_1 = 1 + 0 = 1$, вероятн\. $P(Z = 1) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$\. • $x_1 + y_2 = 1 + 1 = 2$, вероятн\. $P = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28$\. • $x_2 + y_1 = 2 + 0 = 2$, вероятн\. $P = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18$\. • $x_2 + y_2 = 2 + 1 = 3$, вероятн\. $P(Z = 3) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42$\. 2\) Объединяем одинаковое значение $Z = 2$: $P(Z = 2) = 0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46$\. 3\) **Итоговое распределение:** • $Z = 1$ с вероятностью $0{,}12$; • $Z = 2$ с вероятностью $0{,}46$; • $Z = 3$ с вероятностью $0{,}42$\. *Проверка суммы:* $0{,}12 + 0{,}46 + 0{,}42 = 1{,}00$\. ## Задания и тренажёры на операции над случайными величинами для 10 класса на Экзамео На образовательной платформе **Экзамео** база проверочных заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Операции над случайными величинами» для 10 класса**\. Систематические тренировки на нашей платформе помогут научиться свободно составлять законы распределения, вычислять математическое ожидание и дисперсию любых линейных комбинаций, успешно готовиться к контрольным работам и сдать ЕГЭ по математике на высший балл\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Операции над случайными величинами»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/operatsii_nad_sluchaynymi_velichinami).