> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Случайная величина и распределение вероятностей \- разбор На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Случайная величина\. Распределение вероятностей»** для учащихся **10 класса** в рамках учебных курсов базового и углублённого уровней **«Вероятность и статистика»**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь старшеклассникам усвоить понятия дискретных и непрерывных случайных величин, научиться составлять ряды распределения, строить многоугольники вероятностей и успешно готовиться к контрольным работам, ВПР и ЕГЭ по математике\. В реальном мире результаты многих экспериментов и наблюдений выражаются числами: число выпавших очков на кости, количество бракованных деталей в партии, рост человека, температура воздуха\. Чтобы анализировать такие результаты математически, вводится одно из центральных понятий теории вероятностей — случайная величина\. ## Что такое случайная величина? — 10 класс > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2). **Случайная величина** — это переменная величина, которая в результате случайного эксперимента принимает то или иное значение, причём заранее \(до проведения опыта\) невозможно точно предсказать, какое именно\. • **Обозначение:** случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами: $X, Y, Z$, а их возможные значения — строчными буквами с индексами: $x_1, x_2, \ldots, x_n$\. **Пример:** При трёхкратном бросании монеты число выпавших Орлов — это случайная величина $X$, которая может принимать значения $0, 1, 2$ или $3$\. ### 1\. Классификация случайных величин В зависимости от множества возможных значений все случайные величины делятся на две основные группы: ##### 1\. Дискретная случайная величина \(ДСВ\) 🔢 Величина, возможные значения которой можно **пересчитать** \(их множество конечно или изолированно\)\. *Примеры:* • Число подбитых танков в бою; • Число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за час; • Оценка ученика за контрольную работу\. ##### 2\. Непрерывная случайная величина \(НСВ\) 📏 Величина, значения которой **сплошь заполняют некоторый числовой промежуток** \(интервал или отрезок\)\. *Примеры:* • Точное время ожидания автобуса на остановке; • Масса случайно выбранного яблока в магазине; • Давление или температура воздуха\. ### 2\. Задание распределения вероятностей дискретной случайной величины > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2). Знать только возможные значения случайной величины недостаточно — необходимо знать, с какими вероятностями они принимаются\. Соответствие между значениями и их вероятностями называется **законом распределения**\. Для дискретной случайной величины закон распределения удобнее всего задавать в виде таблицы, которая называется **рядом распределения**: ##### Значения $X$ ##### $x_1$ ##### $x_2$ ##### $\ldots$ ##### $x_n$ \*\*Вероятности $P$\*\* $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_n$ ##### ⚠️ Фундаментальное свойство распределения вероятностей: Поскольку события $X = x_1, X = x_2, \ldots, X = x_n$ образуют полную группу несовместных событий, **сумма всех вероятностей во второй строке всегда строго равна 1 \(100%\)**: $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = \sum_{i=1}^{n} p_i = 1$ ### 3\. Графический способ и функция распределения Кроме таблицы, закон распределения можно задать графически или аналитически: ##### Многоугольник \(полигон\) распределения 📉 Это ломаная линия в прямоугольной системе координат, вершинами которой являются точки с координатами $(x_i; p_i)$\. • На оси абсцисс откладывают значения $x_i$; • На оси ординат — соответствующие вероятности $p_i$\. ##### Функция распределения F\(x\) 🔄 Универсальный способ задания как дискретных, так и непрерывных величин: $F(x) = P(X < x)$ Она показывает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, строго меньшее некоторого фиксированного числа $x$\. ### Пошаговый алгоритм составления ряда распределения Чтобы безошибочно построить ряд распределения дискретной случайной величины на уроке математики в 10 классе, придерживайтесь этой инструкции: ### Порядок действий: Пошаговый алгоритм > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2). \*\*Определите исследуемую случайную величину $X$:\*\* четко сформулируйте, какой случайный результат измеряется в опыте\. \*\*Выпишите все возможные значения $x_i$ в порядке возрастания:\*\* перечислите без пропусков все варианты, которые может принять $X$\. \*\*Вычислите вероятности $p_i$ каждого значения:\*\* используя классическую формулу вероятностей, комбинаторику или теоремы сложения и умножения вероятностей, найдите $p_i = P(X = x_i)$\. **Выполните обязательную самопроверку:** сложите все найденные вероятности\. Их сумма $\sum p_i$ должна быть строго равна **1**\. #### Типичные ошибки десятиклассников При синтаксическом и вероятностном анализе заданий старшеклассники чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Ошибка 1: Сумма вероятностей не равна единице ❌ Забыть проверить равенство $\sum p_i = 1$\. Если сумма вероятностей в таблице получилась больше или меньше 1, значит, допущена ошибка либо в подсчёте вероятностей, либо утеряно одно из возможных значений $x_i$\! ##### Ошибка 2: Пропуск нулевого значения случайной величины ❌ Забывать о значении $X = 0$\. Наприм\., при исследовании количества попаданий из 3 выстрелов случайная величина принимает значение $0$ \(все промахи\), $1, 2$ или $3$\. Значение $0$ упускать нельзя\! ##### Подробный разбор практических задач Рассмотрите примеры решения практических задач из учебника вероятности и статистики для 10 класса\. **Задание:** Симметричную монету бросают дважды\. Случайная величина $X$ — количество выпавших Орлов\. Составьте ряд распределения величины $X$\. **Подробное решение:** 1\) **Выпишем пространство исходов:** $\Omega = \{(\text{Р}, \text{Р}), (\text{Р}, \text{О}), (\text{О}, \text{Р}), (\text{О}, \text{О})\}$\. Всего $N = 4$ равновозможных исхода\. 2\) \*\*Определим возможные значения величины $X$:\*\* • $x_1 = 0$ \(исход \(Р, Р\)\): 1 способ $\implies P(X = 0) = \frac{1}{4} = 0{,}25$\. • $x_2 = 1$ \(исходы \(Р, О\) и \(О, Р\)\): 2 способа $\implies P(X = 1) = \frac{2}{4} = 0{,}50$\. • $x_3 = 2$ \(исход \(О, О\)\): 1 способ $\implies P(X = 2) = \frac{1}{4} = 0{,}25$\. 3\) **Составим таблицу ряда распределения:** $X$ $P$ 4\) **Проверка:** $0{,}25 + 0{,}50 + 0{,}25 = 1{,}00$\. **Ответ:** Ряд распределения задаётся значениями $X \in \{0, 1, 2\}$ с вероятностями $0{,}25; \, 0{,}50; \, 0{,}25$\. **Задание:** Дискретная случайная величина $X$ задана рядом распределения: $x_1 = 1$ с вероятностью $0{,}2$; $x_2 = 3$ с вероятностью $p$; $x_3 = 5$ с вероятностью $0{,}35$; $x_4 = 7$ с вероятностью $0{,}15$\. Найдите неизвестное значение $p$\. **Подробное решение:** 1\) По свойству ряда распределения сумма вероятностей всех возможных значений равна единице: $0{,}2 + p + 0{,}35 + 0{,}15 = 1$\. 2\) Сложим известные вероятности: $0{,}2 + 0{,}35 + 0{,}15 = 0{,}70$\. 3\) Найдём значение $p$: $0{,}70 + p = 1 \implies p = 1 - 0{,}70 = 0{,}30$\. **Ответ:** $p = 0{,}30$\. ## Задания по случайной величины распределения вероятностей за 10 класс на Экзамео На интерактивной образовательной платформе **Экзамео** подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Случайная величина\. Распределение вероятностей» для 10 класса**\. Систематическая практика на нашем тренажёре поможет научиться свободно строить ряды и многоугольники распределения, вычислять параметры вероятностных моделей, успешно готовиться к контрольным работам и сдать ЕГЭ по математике на высший балл\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Случайная величина 10 класс»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_10/topics/sluchaynaya_velichina_raspredelenie_veroyatnostey_2).