> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Опыт с двумя монетами: вероятность и комбинации исходов На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме **«Опыт с двумя монетами»** для учащихся **7 класса**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник с интересными фактами и наглядными схемами, чтобы помочь семиклассникам освоить один из главных базовых экспериментов теории вероятностей, научиться перечислять все комбинации исходов при броске двух монет, безошибочно вычислять их вероятности и успешно подготовиться к самостоятельным, контрольным работам и ВПР по математике\. В 7 классе курс «Вероятность и статистика» знакомит школьников со случайными опытами, имеющими несколько этапов\. Бросание двух монет \(или двукратное бросание одной монеты\) — это классическая модель двухэтапного случайного эксперимента, на которой очень удобно отрабатывать построение пространства исходов и понимание независимости событий\. ## Пространство исходов в опыте с двумя монетами > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami). При бросании двух монеток каждая из них может выпасть либо «Орлом» \(О\), либо «Решкой» \(Р\)\. Всего существует **4 равновозможных исхода** этого эксперимента: **n = 2 × 2 = 4 исхода** • **\(О, О\)** — на первой и второй монетах выпал «Орёл»; • **\(О, Р\)** — на первой монете «Орёл», на второй «Решка»; • **\(Р, О\)** — на первой монете «Решка», на второй «Орёл»; • **\(Р, Р\)** — на обеих монетах выпала «Решка»\. **Важное правило:** бросок двух монет одновременно дает ровно такие же вероятности, как и два последовательных броска одной монеты\! ### Все вероятности при броске двух монет Так как все 4 исхода являются равновозможными, вероятность каждого отдельного элементарного исхода равна **1 / 4 = 0,25 \(25%\)**\. Сведём основные события в таблицу: ##### Исследуемое событие ##### Благоприятные исходы \(m\) ##### Вероятность P\(A\) = m / 4 **Выпадет два «Орла»** 1 вариант: \(О, О\) $\implies$ m = 1 **P = 1 / 4** = 0,25 \(25%\) **Выпадет две «Решки»** 1 вариант: \(Р, Р\) $\implies$ m = 1 **P = 1 / 4** = 0,25 \(25%\) **Выпадут разные стороны \(«Орёл» и «Решка»\)** 2 варианта: \(О, Р\), \(Р, О\) $\implies$ m = 2 **P = 2 / 4 = 1 / 2** = 0,5 \(50%\) **Выпадет хотя бы один «Орёл»** 3 варианта: \(О, О\), \(О, Р\), \(Р, О\) $\implies$ m = 3 **P = 3 / 4** = 0,75 \(75%\) **Не выпадет ни одного «Орла»** 1 вариант: \(Р, Р\) $\implies$ m = 1 **P = 1 / 4** = 0,25 \(25%\) #### 💡 Интересный факт: Ошибка знаменитого Жана Лерона Д'Аламбера Знаменитый французский математик и философ Жан Лерон Д’Аламбер в XVIII веке допустил грубейшую ошибку, которая вошла во все учебники истории науки\! Он утверждал, что при бросании двух монет есть всего 3 исхода: 1\) выпали два орла, 2\) выпали две решки, 3\) выпали орёл и решка\. Из\-за этого он считал вероятность выпадения «Орла и Решки» равной 1/3, а не 1/2\! Ошибка Д’Аламбера заключалась в том, что он считал комбинации \(О, Р\) и \(Р, О\) за один исход, не понимая, что монеты различаются и **разноимённые стороны могут выпасть двумя способами**\. ### Дерево случайного эксперимента с двумя монетами > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami). Чтобы никогда не повторять ошибку Д'Аламбера и не забыть ни одну комбинацию, ученые используют специальный наглядный граф — **дерево вариантов** \(дерево исходов\): ##### 1\-й шаг: Первое ветвление \(1\-я монета\) 🌿 Из начальной точки выходит **2 ветви**: • Вверх $\to$ выпал **Орёл \(О\)** \[вероятность 0,5\] • Вниз $\to$ выпала **Решка \(Р\)** \[вероятность 0,5\] ##### 2\-й шаг: Второе ветвление \(2\-я монета\) 🍃 Из конца каждой первой ветви выходят ещё по 2 ветви\. Итого получается **4 конечные «листовые» вершины**: • \(О, О\), \(О, Р\), \(Р, О\), \(Р, Р\)\. #### 🪙 Интересный факт: Монеты из разных металлов и парадокс физики Чтобы легко понять, почему исходы \(О, Р\) и \(Р, О\) различаются, представьте, что вы бросаете **медную монету** в 1 рубль и **серебристую монету** в 5 рублей\. Очевидно, что вариант *«Орёл на медной и Решка на серебристой»* и вариант *«Решка на медной и Орёл на серебристой»* — это совершенно разные физические события\! Даже если монеты одинаковые, они остаются двумя разными объектами в пространстве\. ### Пошаговый алгоритм решения задач с двумя монетами Чтобы безошибочно решать любые задачи про бросание двух монет на уроке математики в 7 классе, придерживайтесь этого алгоритма: ### Порядок действий: **Зафиксируйте общее число исходов:** для опыта с двумя монетами общее число равновозможных исходов **всегда n = 4** \(\(О, О\), \(О, Р\), \(Р, О\), \(Р, Р\)\)\. **Выпишите благоприятные комбинации \(m\):** прочитайте условие и найдите среди 4 базовых пар те, которые подходят под описание события\. **Вычислите вероятность:** разделите число благоприятных пар на 4: **P\(A\) = m / 4**\. **Переведите результат в нужный вид:** запишите ответ в виде обыкновенной дроби \(1/4, 1/2, 3/4\), десятичной дроби \(0,25; 0,5; 0,75\) или процентов\. #### Типичные ошибки семиклассников При решении задач на опыт с двумя монетами ученики 7 класса чаще всего допускают следующие ошибки: ##### Объединение разных исходов в один \(Ошибка Д'Аламбера\) Считать, что всего существует 3 исхода \(два орла, две решки, один орёл и одна решка\) ❌\. Помните: исходов **ровно 4**, так как «орёл на 1\-й и решка на 2\-й» и «решка на 1\-й и орёл на 2\-й» — это разные события ✅\! ##### Путаница слов «ровно один» и «хотя бы один» Считать, что фразы означают одно и то же ❌\. **Ровно один орёл** — это 2 исхода \(О, Р\) и \(Р, О\) \[P = 0,5\]\. **Хотя бы один орёл** — это 3 исхода, включая \(О, О\) \[P = 0,75\] ✅\! Постарайтесь обращать на это внимание при выполнении самостоятельных и контрольных работ\. ##### Разбор практических примеров решения задач Рассмотрите полные образцы решения задач из курса вероятности и статистики 7 класса\. **Задание:** Бросают две симметричные монеты\. Найдите вероятность того, что на обеих монетах выпадут одинаковые стороны\. **Подробное решение:** 1\) Полное пространство равновозможных исходов: • \(О, О\), \(О, Р\), \(Р, О\), \(Р, Р\)\. Всего n = 4\. 2\) Найдем благоприятные исходы, где стороны совпали \(либо два орла, либо две решки\): • \(О, О\) и \(Р, Р\)\. • Количество благоприятных исходов: m = 2\. 3\) Вычислим вероятность по формуле: • P = m / n = 2 / 4 = 1 / 2 = 0,5\. **Ответ:** Вероятность того, что стороны монет совпадут, равна 0,5\. **Задание:** Паша дважды подбросил монету\. Найдите вероятность того, что у него выпадет хотя бы одна «Решка»\. **Подробное решение:** 1\) Полное пространство исходов: n = 4 \(\(О, О\), \(О, Р\), \(Р, О\), \(Р, Р\)\)\. 2\) Выпишем исходы, где есть хотя бы одна «Решка» \(одна или две\): • \(О, Р\) — одна решка; • \(Р, О\) — одна решка; • \(Р, Р\) — две решки\. • Число благоприятных исходов: m = 3\. 3\) Вычислим вероятность: • P = m / n = 3 / 4 = 0,75 \(75%\)\. **Ответ:** Вероятность выпадения хотя бы одной решки равна 0,75\. ## Задания и тренажёры по теме «Опыт с двумя монетами» на Экзамео > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami). На образовательной платформе **Экзамео** подготовлены интерактивные онлайн\-тренажёры по теме **«Опыт с двумя монетами» для 7 класса** с подробными решениями и автоматической проверкой ответов\. Задачи в тренажёрах на расчёт вероятностей совместных выпадений сторон, построение деревьев исходов и анализ двухэтапных экспериментов составлены в точном соответствии с федеральной рабочей программой по вероятности и статистике за 7 класс и требованиями ВПР\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Опыт с двумя монетами 7 класс»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень знаний и достигайте лучших результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_7/topics/opyt_s_dvumya_monetami).