Несовместные события и формула сложения вероятностей - разбор темы

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Несовместные события. Формула сложения вероятностей» для учащихся 8 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот справочник, чтобы помочь школьникам глубоко понять природу несовместных случайных исходов, научиться безошибочно применять правило сложения вероятностей, отличать правило «ИЛИ» от правила «И» и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

При анализе результатов одного случайного эксперимента важно понимать, могут ли несколько интересующих нас исходов произойти одновременно. Если наступление одного события полностью исключает возможность появления другого в этом же опыте, такие события называют несовместными.

Несовместные события - 8 класс

Два случайных события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании.

Интуитивный пример: при одном броске игрального кубика выпадение числа 1 и выпадение числа 6 — это несовместные события. Кубик не может упасть одновременно двумя разными гранями вверх.

Правило сложения вероятностей для несовместных событий

Главная математическая формула темы касается ситуации, когда нас устраивает выполнение хотя бы одного из несовместных исходов. Для этого существует правило, которое объясняет, когда нужно складывать вероятности.

Правило ИЛИ

Правило «ИЛИ» означает: если нас устраивает наступление первого события ИЛИ второго события (которые являются несовместными), то вероятности этих событий нужно сложить, а не перемножить.

Иными словами, при описании нужного результата словами мы связываем события союзом или, например:

Бросок игральной кости

При одном броске кубика нас устраивает выпадение четвёрки или шестёрки. Так как одновременно они выпасть не могут (события несовместны), вероятности этих исходов складываются:

P = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Выбор шара из урны

В непрозрачной коробке лежат 3 красных, 4 синих и 5 зелёных шаров (всего 12). Какова вероятность вытащить красный или синий шар? Собствия вытащить красный шар и вытащить синий шар несовместны, поэтому вероятности складываются:

P = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}

Вероятность того, что произойдёт или событие $A$ , или событие $B$ (их объединение), равна сумме их вероятностей:

$P(A \text{ или } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Если попарно несовместных событий несколько ( $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ), вероятность того, что наступит хотя бы одно из них, равна их сумме:

$P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n)$

Сложение и умножение вероятностей — в чём разница?

Чтобы никогда не путать, когда вероятности нужно складывать, а когда перемножать, используйте простое смысловое правило союзов:

1. ПРАВИЛО «ИЛИ» $\to$ СЛОЖЕНИЕ ➕

Используется для несовместных вариантов внутри одного эксперимента или сценария.

Ключевое слово: союз ИЛИ.
«Выпадет 1 ИЛИ выпадет 2».
Формула: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

2. ПРАВИЛО «И» $\to$ УМНОЖЕНИЕ ✖️

Используется для совместного наступления независимых событий (в цепочке шагов).

Ключевое слово: союз И.
«Первый попал И второй попал».
Формула: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Пошаговый алгоритм решения задач на сложение вероятностей

Чтобы безошибочно решать задачи на сложение вероятностей несовместных событий в 8 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Сформулируйте интересующие вас исходы: выпишите простые события, которые удовлетворяют условию задачи.

Проверьте события на несовместность: убедитесь, что эти исходы не могут произойти одновременно при одном испытании.

Найдите вероятность каждого отдельного события: вычислите $P(A)$ , $P(B)$ и так далее по классическому определению или известным данным.

Примените формулу сложения вероятностей: сложите вероятности несовместных вариантов для получения итогового ответа.

Типичные ошибки при решении задач

При синтаксическом и математическом разборе вероятностных задач ученики 8 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка 1: Сложение вероятностей совместных событий ❌

Складывать вероятности событий, которые могут произойти одновременно (например, «выпадет чётное число» и «выпадет число меньше 4» при одном броске кубика). Для совместных событий простая формула сложения не работает — пересечение будет посчитано дважды!

Ошибка 2: Умножение вариантов вместо сложения ❌

Перемножать вероятности несовместных альтернатив. Помните: если нужно выбрать ОДИН из подходящих вариантов (союз ИЛИ), вероятности строго СКЛАДЫВАЮТСЯ!

Подробный разбор практических задач ОГЭ

Рассмотрите примеры решения задач формата ОГЭ по теме «Сложение вероятностей несовместных событий».

Пример 1: Выбор жребия или билета

Задание: На экзамене по геометрии предложено 25 билетов. В 10 билетах встречается вопрос по теме «Треугольники», а в 5 билетах — вопрос по теме «Окружность» (причём билетов, где есть оба этих вопроса, нет). Ученик вытягивает один билет. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос по теме «Треугольники» или по теме «Окружность».

Подробное решение:

1) Событие $A$ : вытянуть билет с вопросом про треугольники, $P(A) = \frac{10}{25} = 0{,}4$ .
2) Событие $B$ : вытянуть билет с вопросом про окружность, $P(B) = \frac{5}{25} = 0{,}2$ .
3) По условию билеты не пересекаются, события $A$ и $B$ несовместны.
4) Нас устраивает событие $A$ ИЛИ событие $B$ . По формуле сложения вероятностей:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6

Ответ: $0{,}6$ .

Пример 2: Комбинированная задача на сложение и умножение вероятностей

Задание: Стрелок делает 2 независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0{,}6$ . Найдите вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно один раз.

Подробное решение:

1) Вероятность попадания $p = 0{,}6$ , вероятность промаха $q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ .
2) Событие «ровно одно попадание из двух выстрелов» складывается из двух несовместных вариантов:

• Вариант 1: первый попал И второй промахнулся:
$$P_1 = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$$

• Вариант 2: первый промахнулся И второй попал:
$$P_2 = 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24$$

3) Нас устраивает Вариант 1 ИЛИ Вариант 2. Складываем их вероятности:
$$P = P_1 + P_2 = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48$$

Ответ: $0{,}48$ .

Задания на сложение вероятностей для 8 класса на Экзамео

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Несовместные события. Формула сложения вероятностей» для 8 класса. Систематическая практика на нашей платформе поможет научиться свободно комбинировать правила сложения и умножения вероятностей, легко решать задачи любой сложности из курса «Вероятность и статистика», успешно готовиться к ВПР и ОГЭ по математике и получать только отличные оценки!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Сложение вероятностей несовместных событий» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте высоких результатов вместе с нами!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы