Формула полной вероятности | 9 класс Вероятность и статистика

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Формула полной вероятности» для учащихся 9 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь школьникам освоить составные вероятностные эксперименты, научиться выделять полную группу гипотез, использовать дерево вероятностей при решении сложных задач и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В реальной жизни на наступление интересующего нас события часто влияют предшествующие условия или случайный выбор предшествующего сценария. Если результат испытания зависит от того, какая из нескольких взаимно исключающих предпосылок (гипотез) реализовалась, для вычисления итогового шанса применяется формула полной вероятности.

🔍 Что такое гипотезы и полная группа событий?

• Гипотезы ( $H_1, H_2, \ldots, H_n$ ) — это попарно несовместные события, одно из которых обязательно происходит в результате испытания (образуют полную группу).

• Свойство гипотез: сумма вероятностей всех гипотез всегда равна единице:

$P(H_1) + P(H_2) + \ldots + P(H_n) = 1$ .

1. Формула полной вероятности

Пусть событие $A$ может произойти только вместе с одной из гипотез $H_1, H_2, \ldots, H_n$ . Тогда вероятность события $A$ равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события $A$ при условии этой гипотезы:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A | H_1) + P(H_2) \cdot P(A | H_2) + \ldots + P(H_n) \cdot P(A | H_n)$

Для случая двух противоположных гипотез $H$ и $\bar{H}$ формула принимает максимально простой и удобный вид:

$P(A) = P(H) \cdot P(A | H) + P(\bar{H}) \cdot P(A | \bar{H})$

2. Дерево вероятностей как наглядный метод решения

При решении задач 9 класса очень удобно строить граф-дерево. Каждая ветвь первого уровня соответствует гипотезе, а ветви второго уровня — условным вероятностям наступления события $A$ .

Правило вдоль ветви 🌿

Чтобы найти вероятность цепочки событий вдоль одной ветви (пути от корня к "листу"), вероятности на рёбрах перемножаются:
$P(\text{Путь}_1) = P(H_1) \cdot P(A | H_1)$ .

Правило между ветвями 🌳

Чтобы найти полную вероятность события $A$ , вероятности всех подходящих путей складываются:
$P(A) = P(\text{Путь}_1) + P(\text{Путь}_2)$ .

Пошаговый алгоритм решения задач на полную вероятность

Чтобы безошибочно решать задачи на полную вероятность в 9 классе, придерживайтесь следующей инструкции:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

**Чётко сформулируйте итоговое событие $A$ :** то событие, вероятность которого требуется найти в вопросе задачи.

**Выделите полную группу гипотез ( $H_1, H_2, \ldots$ ):** найдите промежуточные варианты/условия, от которых зависит событие $A$ , и убедитесь, что их сумма вероятностей равна 1.

**Найдите условные вероятности $P(A | H_i)$ :** определите шансы наступления события $A$ отдельно в условиях каждой гипотезы.

Примените формулу полной вероятности: перемножьте вероятности гипотез на условные вероятности и сложите полученные результаты.

Типичные ошибки при решении задач

При вычислении полной вероятности девятиклассники чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка 1: Неполный набор гипотез ❌

Забывать одну из гипотез. Всегда проверяйте, что сумма вероятностей выбранных гипотез $P(H_1) + P(H_2) + \ldots = 1$ !

Ошибка 2: Сложение вместо умножения вдоль ветви ❌

Складывать вероятность гипотезы и условную вероятность. Напоминаем: события происходят последовательно, поэтому вероятности на одном пути перемножаются!

Подробный разбор практических задач ОГЭ

Рассмотрите пример решения типовой задачи повышенной сложности из ОГЭ по математике.

Пример: Задача про две урны (или две фабрики)

Задание: На фабрике две линии выпускают скатерти. Первая линия выпускает $60\%$ всех скатертей, а вторая — $40\%$ . Доля брака на первой линии составляет $2\%$ , а на второй — $3\%$ . Найдите вероятность того, что случайно купленная скатерть окажется бракованной.

Подробное решение:

1) **Итоговое событие $A$ : купленная скатерть бракованная.
2) Выделим гипотезы:**

• $H_1$ — скатерть произведена на 1-й линии: $P(H_1) = 0{,}6$ .

• $H_2$ — скатерть произведена на 2-й линии: $P(H_2) = 0{,}4$ .

Проверка: $P(H_1) + P(H_2) = 0{,}6 + 0{,}4 = 1$ (гипотезы полные).

3) Условные вероятности брака:

• $P(A | H_1) = 0{,}02$ (вероятность брака на 1-й линии).

• $P(A | H_2) = 0{,}03$ (вероятность брака на 2-й линии).

4) Применяем формулу полной вероятности:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A | H_1) + P(H_2) \cdot P(A | H_2)$

$P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}03 = 0{,}012 + 0{,}012 = 0{,}024$ .

Ответ: $0{,}024$ .

🎮 Тренажёры по теме «Формула полной вероятности» за 9 класс на платформе Экзамео

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Формула полной вероятности» для 9 класса. Систематические тренировки на нашей платформе помогут научиться свободно строить деревья вероятностей, выделять полную группу гипотез, легко справляться с задачами повышенной сложности на ОГЭ по математике и гарантированно получить высший балл на экзаменах!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Формула полной вероятности» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте отличных результатов вместе с нами!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы