Размещения из n по k: формула, свойства, отличие от сочетаний

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Размещения из $n$ по $k$ » для учащихся 9 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот систематизированный справочник, чтобы помочь школьникам глубоко освоить работу с упорядоченными выборками, научиться легко отличать размещения от сочетаний и перестановок, свободно применять комбинаторные формулы и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

Если при выборе $k$ элементов из $n$ имеющихся нам принципиально важен порядок их расположения или распределение по ролям, мы имеем дело с размещениями.

Размещение из n по k

Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества в $n$ элементов.

• Главный признак размещений: два размещения считаются различными, если они отличаются составом элементов ИЛИ порядком их расположения.

• Обозначается символом $A_n^k$ (читается «а из эн по ка», от фр. arrangement).

Главное отличие: Размещения, Сочетания и Перестановки

Чтобы никогда не путать три основных понятия комбинаторики, запомните их ключевые различия:

1. РАЗМЕЩЕНИЯ $A_n^k$ (Выборка + Порядок 🏆)

Мы выбираем часть elements ( $k < n$ ) и расставляем их по разным ролям/местам.

Из 10 спортсменов выбрать чемпиона (1-е место) и вице-чемпиона (2-е место).

Важен и состав финалистов, и кто занял какое место!
Из 10 цифр составить 3-значный пароль.

Код 123 и 321 — разные коды, хотя цифры одинаковые.

2. СОЧЕТАНИЯ $C_n^k$ (Только Выборка 🤝)

Мы выбираем часть elements ( $k < n$ ), но порядок внутри группы не имеет значения.

Из 10 спортсменов выбрать двух человек для допинг-теста.

Группа {Иванов, Петров} и {Петров, Иванов} — одна и та же пара!

Сравнительная таблица всех типов комбинаторных выборок

Вид выборки

Сколько элементов берем?

Важен ли порядок?

Формула вычисления

Перестановки ( $P_n$ )

Все $n$ элементов

ДА

$P_n = n!$

Размещения ( $A_n^k$ )

Часть $k$ из $n$

ДА

$A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$

Сочетания ( $C_n^k$ )

Часть $k$ из $n$

НЕТ

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

Формулы для вычисления числа размещений

По правилу умножения комбинаторики: на 1-е место можно выбрать любой из $n$ предметов, на 2-е место — из $(n - 1)$ оставшихся, ..., на $k$ -е место — из $(n - k + 1)$ предметов.

Поэтому число размещений вычисляется как произведение $k$ последовательных убывающих множителей:

$A_n^k = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)$

В факториальной форме эта формула записывается через компактную дробь:

$A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$

Частные случаи размещений:

Если $k = n$ (размещение всех элементов), размещение превращается в перестановку: $A_n^n = P_n = n!$ .
Если $k = 1$ (выбор одного элемента на одну позицию): $A_n^1 = n$ .
Если $k = 0$ : $A_n^0 = 1$ .

Примеры использования размещений

Рассмотрим жизненные сюжеты, в которых используются размещения:

1. Выбор руководства 🥇

Из 15 членов актива класса нужно выбрать Старосту, Спорторга и Культорга.

Роли разные, поэтому порядок вызова важен:
$A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730$ способов.

2. Составление паролей 🔢

Сколько 4-значных PIN-кодов с неповторяющимися цифрами можно составить из 10 цифр (от 0 до 9)?

Порядок цифр определяет код:
$A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ вариантов.

3. Места в кинотеатре 🎟️

8 друзей покупают 3 билета на определенные места 1, 2 и 3 в первом ряду.

Важно, кто именно сядет на каждое место:
$A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ рассадок.

Пошаговый алгоритм решения задач на размещения

Чтобы безошибочно решать задачи на размещения в 9 классе, используйте следующий алгоритм:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

**Определите генеральную совокупность ( $n$ ) и размер выборки ( $k$ ):** найдите общее количество объектов и количество мест/ролей для них.

Проверьте важность порядка: убедитесь, что перестановка выбранных элементов дает НОВЫЙ вариант (разные должности, разные позиции в коде, призовые места).

Выберите формулу расчёта:

• Удобнее считать как произведение $k$ убывающих чисел: $n \cdot (n - 1) \cdot \ldots$

• Или через факториальную формулу: $A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$ .

Найдите значение и запишите ответ.

Типичные ошибки при решении задач

При анализе задач на размещения девятиклассники чаще всего допускают такие две ошибки:

Ошибка 1: Ошибочное деление на k! ❌

Путать размещения с сочетаниями и делить результат на $k!$ . Напоминаем: деление на $k!$ уничтожает порядок, а в размещениях порядок ОБЯЗАТЕЛЬНО НУЖЕН!

Ошибка 2: Применение формулы без учета повторений ❌

Применять $A_n^k$ к задачам, где элементы могут повториться (например, пароли с повторяющимися цифрами). Формула $A_n^k$ работает ТОЛЬКО для выборок БЕЗ повторений!

Подробный разбор практических задач ОГЭ

Рассмотрите примеры решения задач на размещения и вероятность.

Пример 1: Вычисление количества размещений

Задание: На уроке физкультуры 6 учеников пробежали дистанцию. Сколькими способами среди них могут распределиться 1-е, 2-е и 3-е призовые места?

Подробное решение:

1) Общее количество учеников $n = 6$ , число мест $k = 3$ .
2) Места отличаются (золото, серебро, бронза), значит, порядок важен — берем размещения:

$A_6^3 = \frac{6!}{(6 - 3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{3!} = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ способов.

Ответ: $120$ .

Пример 2: Расчет вероятности с использованием размещений

Задание: Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад составляют трехзначное число с неповторяющимися цифрами. Какова вероятность того, что получится число 123?

Подробное решение:

1) **Общее число вариантов $N$ :** составляем 3-значные числа из 5 цифр без повторений (порядок цифр важен!):

$N = A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ равновозможных чисел.

2) **Благоприятный исход $m$ :** ровно один конкретный вариант (число 123), поэтому $m = 1$ .
3) Вероятность:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{60}$ .

Ответ: $\frac{1}{60}$ .

Тренажёры по теме «Размещения из n по k» для 9 класса на платформе Экзамео

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Размещения из $n$ по $k$ » для 9 класса. Систематические тренировки на нашей платформе помогут научиться безошибочно отличать размещения от сочетаний, свободно вычислять количества вариантов любой сложности, легко справляться с разделом «Вероятность и статистика» на ОГЭ по математике и гарантированно получить высший балл на экзаменах!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Размещения из $n$ по $k$ » на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте отличных результатов вместе с нами!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы