> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Серия испытаний Бернулли: формула, численные успехи На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме **«Серия испытаний Бернулли»** для учащихся **9 класса** по предмету **«Вероятность и статистика»**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео подготовили этот систематизированный справочник, чтобы помочь школьникам освоить одну из самых важных моделей теории вероятностей, научиться рассчитывать вероятность ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях, понять структуру элементарных событий и успешно подготовиться к проверочным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике\. В жизни мы часто повторяем одно и то же действие несколько раз подряд: бросаем монету, стреляем по мишени, отвечать на вопросы теста с вариантами ответов или проверяем качество деталей на конвейере\. Если условия каждого эксперимента остаются неизменными, а результат каждого шага не зависит от предыдущих, мы имеем дело с классической математической моделью — серией независимых испытаний Бернулли\. ## Что такое испытания Бернулли? > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli). **Испытания Бернулли** — это серия из $n$ независимых опытов, в каждом из которых возможны ровно два исхода: **«успех» \(У\)** или **«неудача» \(Н\)**\. • Вероятность успеха в каждом единичном испытании постоянна и равна $p$\. • Вероятность неудачи равна $q = 1 - p$\. ### Элементарные события в серии испытаний Бернулли Каждое **элементарное событие** в серии из $n$ испытаний Бернулли представляет собой последовательность из $n$ букв У \(«успех»\) и Н \(«неудача»\)\. Например, в серии из 3 испытаний запись **УНУ** означает: 1\-е испытание — успех, 2\-е — неудача, 3\-е — успех\. ##### Число элементарных событий 🔢 Общее количество возможных элементарных исходов в серии из $n$ испытаний выражается формулой: $$ N = 2^n $$ Для $n = 3$ исходов будет $2^3 = 8$: \(УУУ, УУН, УНУ, УНН, НУУ, НУН, ННУ, ННН\)\. ##### Вероятность конкретного исхода 🎯 Вероятность любой конкретной комбинации, содержащей $k$ успехов и $(n - k)$ неудач, по правилу умножения равна: $$ P(\text{исхода}) = p^k \cdot q^{n - k} $$ Порядок чередования успехов и неудач на значение этой вероятности **не влияет**\. ### Формула Бернулли: Число успехов в серии > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli). Чаще всего нас интересует не порядок наступления результатов, а общее \*\*число успехов $k$\*\* в серии из $n$ испытаний\. Поскольку получить ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях можно различными способами, число таких благоприятных элементарных комбинаций равно числу сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k$\. ##### Классическая формула Бернулли: Вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний Бернулли событие «успех» наступит ровно $k$ раз: $$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n - k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $$ где: • $n$ — общее количество испытаний; • $k$ — количество успехов \($0 \le k \le n$\); • $p$ — вероятность успеха в одном опыте; • $q = 1 - p$ — вероятность неудачи; • $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ — число сочетаний\. ### Наиболее вероятное число успехов в серии Бернулли Значение $k_0$, при котором вероятность $P_n(k)$ достигает своего максимума, называется **наиболее вероятным числом успехов** \(или наивероятнейшим числом\)\. Оно удовлетворяет двойному неравенству: $$ n \cdot p - q \le k_0 \le n \cdot p + p $$ Длина этого интервала равна $(n \cdot p + p) - (n \cdot p - q) = p + q = 1$\. Поэтому наиболее вероятное число успехов либо определяется единственным образом \(целое число внутри отрезка\), либо состоит из двух соседних целых чисел\. ### Порядок действий: Алгоритм решения задач по формуле Бернулли Чтобы безошибочно вычислить вероятность событий в серии испытаний Бернулли, соблюдайте следующую инструкцию: ### Порядок действий > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli). **Определите ключевые параметры задачи:** • Выпишите общее число испытаний $n$\. • Найдите вероятность успеха $p$ в одном опыте и вычислите вероятность неудачи $q = 1 - p$\. • Уточните нужное число успехов $k$\. \*\*Найдите число сочетаний $C_n^k$:\*\* посчитайте, сколькими способами можно выбрать $k$ позиций из $n$: **Подставьте все значения в формулу Бернулли:** **Проведите вычисления и округлите результат:** перемножьте полученные значения и запишите итоговую вероятность в виде десятичной дроби\. #### Типичные ошибки при решении задач на серию Бернулли При решении задач на схему Бернулли девятиклассники чаще всего допускают следующие ошибки: ##### Ошибка 1: Потеря коэффициента Cₙᵏ ❌ Умножать лишь $p^k \cdot q^{n-k}$ без учёта числа сочетаний\. Помните: $p^k \cdot q^{n-k}$ — это вероятность **только одного конкретного исхода**, а благоприятных исходов с $k$ успехами ровно $C_n^k$ штук\! ##### Ошибка 2: Применение Бернулли к зависимым опытам ❌ Применять формулу к выбору без возвращения \(например, вытаскивание шаров из урны без возврата\)\. Схема Бернулли работает **только при условии постоянства вероятности p** в каждом опыте\! ##### Практические упражнения для 9 класса Закрепите теоретический материал, выполнив комплект практических задач по вероятности и статистике\. **Задание:** Монету подбрасывают 5 раз\. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза\. **Подробное решение:** 1\) Параметры испытания: $n = 5$ бросков, $k = 3$ успехов\. 2\) Вероятность успеха \(выпадения орла\) $p = 0{,}5$, неудачи $q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$\. 3\) Число сочетаний из 5 по 3: $$ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 $$ 4\) По формуле Бернулли: $$ P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot (0{,}5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125 $$ **Ответ:** 0,3125 \(или 31,25%\)\. **Задание:** Стрелок делает 8 выстрелов по мишени\. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $0{,}7$\. Найдите наиболее вероятное число попаданий\. **Подробное решение:** 1\) Дано: $n = 8$, $p = 0{,}7$, $q = 0{,}3$\. 2\) Составляем двойное неравенство для наивероятнейшего числа успехов $k_0$: $$ n \cdot p - q \le k_0 \le n \cdot p + p $$ $$ 8 \cdot 0{,}7 - 0{,}3 \le k_0 \le 8 \cdot 0{,}7 + 0{,}7 $$ $$ 5{,}6 - 0{,}3 \le k_0 \le 5{,}6 + 0{,}7 $$ $$ 5{,}3 \le k_0 \le 6{,}3 $$ 3\) Единственное целое число в интервале $[5{,}3; \, 6{,}3]$ — это $k_0 = 6$\. **Ответ:** 6 попаданий\. **Задание:** Вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной, равна $0{,}1$\. Для контроля случайно отбирают 4 детали\. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно 1 бракованная деталь? **Подробное решение:** 1\) «Успех» — деталь бракованная: $p = 0{,}1$\. 2\) «Неудача» — деталь качественная: $q = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$\. 3\) Всего деталей $n = 4$, нужно найти $k = 1$\. 4\) Число сочетаний $C_4^1 = 4$\. 5\) Применяем формулу Бернулли: $$ P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^{4-1} = 4 \cdot (0{,}1)^1 \cdot (0{,}9)^3 = 4 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}729 = 0{,}2916 $$ **Ответ:** 0,2916\. ## Тренажёры по теме «Серия испытаний Бернулли» для 9 класса На интерактивной образовательной платформе **Экзамео** подготовлены проверочные задания и интерактивные тренажёры по теме **«Серия испытаний Бернулли» для 9 класса**\. Систематические тренировки на нашей платформе помогут довести до автоматизма умение рассчитывать вероятности событий по формуле Бернулли, находить наиболее вероятное число успехов, без труда решать вероятностные задачи ОГЭ по математике и получать высшие баллы на экзаменах\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Серия испытаний Бернулли»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и получайте отличные оценки за проверочные работы по вероятности и статистике\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/seriya_ispytaniy_bernulli).