> **Экзамео** — система подготовки к экзаменам: теория, тренажёры и маршруты подготовки по школьным предметам. > > Этот Markdown создан для AI-агентов, поисковых систем и корректного цитирования. Каноническая версия материала находится на сайте Экзамео: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k). > > При цитировании указывайте источник: Экзамео. # Сочетания из n по k \- разбор темы, формула и задания На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме **«Сочетания из **$n$** по **$k$**»** для учащихся **9 класса** в рамках учебного курса **«Вероятность и статистика»**\. Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот систематизированный справочник, чтобы помочь школьникам глубоко понять природу неупорядоченных выборок, научиться мгновенно отличать сочетания от размещений, свободно применять формулы с факториалами и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике\. При решении комбинаторных и вероятностных задач ключевым шагом является понимание того, **важен ли нам порядок следования выбранных элементов**\. Если порядок **не имеет значения**, а важен только сам состав выбранной группы, мы имеем дело с сочетаниями\. ## Сочетание из n по k > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k). **Сочетанием из **$n$** элементов по **$k$ называется подмножество, содержащее $k$ элементов, выбранных из данного множества в $n$ элементов\. • **Главный признак сочетаний:** подмножества отличаются друг от друга **только составом элементов**, а порядок их расположения внутри группы роли не играет\. • Обозначается символом $C_n^k$ \(читается *«це из эн по ка»*, от фр\. *combination*\)\. ### Отличие сочетания от размещения Главный источник путаницы в комбинаторике — это разграничение сочетаний \($C_n^k$\) и размещений \($A_n^k$\)\. Разобрать эту разницу поможет сравнение по золотому правилу: ##### 1\. РАЗМЕЩЕНИЯ $A_n^k$ \(Порядок ВАЖЕН 🏆\) Нам важно не только **кого/что** выбрали, но и **на какие роли/позиции** их распределили\. *Выбрать из 10 человек Капитана и его Заместителя\.* Разница есть: *Витя — капитан, Саша — зам* или *Саша — капитан, Витя — зам*\. Это 2 разных исхода\! *Составить 3\-значный код из цифр\.* Числа **123** и **321** состоят из одинаковых цифр, но образуют разные коды\! ##### 2\. СОЧЕТАНИЯ $C_n^k$ \(Порядок НЕ ВАЖЕН 🤝\) Нам важен только **факт попадания в группу**, все участники группы абсолютно равноправны\. *Выбрать из 10 человек дежурную пару\.* Пара *\{Витя, Саша\}* и пара *\{Саша, Витя\}* — это одна и та же группа дежурных\! *Выбрать 3 фрукта для салата\.* Положить в миску *яблоко, банан, грушу* или *банан, грушу, яблоко* — салат получится одинаковым\! #### Сводная таблица двух главных понятий выборки ##### Характеристика ##### Сочетания \($C_n^k$\) ##### Размещения \($A_n^k$\) ##### Связь между ними **Учитывается ли порядок?** **НЕТ** \(порядок безразличен\) **ДА** \(порядок принципиален\) $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ **Формула** $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ $A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$ $C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$ **Типичные ключевые слова** *выбрать команду, сформировать группу, составить букет, вытащить карты* *распределить должности, составить код/пароль, заняли 1\-е и 2\-е места* Сочетаний всегда меньше размещений в $k!$ раз\! ### Формула и свойства сочетаний > Фрагмент учебного материала Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k). Для вычисления числа всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ используется стандартная формула: #### $C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ Из этой формулы вытекает ряд замечательных свойств, облегчающих устные вычисления: 1 ##### Свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n - k}$ *Пример:* Выбрать 8 человек из 10 — это всё равно что выгнать 2 человек: $C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$\. 2 ##### Крайние значения $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$ Существует ровно 1 способ выбрать 0 элементов \(пустое множество\) или взять вообще все $n$ элементов\. 3 ##### Выбор одного элемента $C_n^1 = n$ Выбрать 1 элемент из $n$ имеющихся можно ровно $n$ различными способами\. #### Примеры использования сочетаний Рассмотрим типичные бытовые и экзаменационные ситуации, где применяются сочетания: ##### 1\. Лотерея и спорт 🎟️ В лотерее «5 из 36» угадать комбинацию\. Порядок выпадения шаров из лототрона не важен — имеет значение лишь то, совпали ли числа в билете\. $N = C_{36}^5 = 376\,992$ варианта\. ##### 2\. Цветы и букеты 💐 Из 7 разных роз флорист выбирает 3 розы для составления одного букета\. В каком порядке они попадут в вазу, значения не имеет\. $N = C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = 35$ букетов\. ##### 3\. Выбор делегации 🎓 Из класса в 20 человек нужно выбрать 4 учащихся для участия в олимпиаде\. Все члены сборной равны в правах\. $N = C_{20}^4 = 4845$ команд\. #### Пошаговый алгоритм определения типа комбинаторной задачи Чтобы никогда не путать сочетания и размещения при решении задач 9 класса, используйте эту проверочную схему: ### Порядок действий: Пошаговый алгоритм \*\*Определите общее число элементов \($n$\) и размер выборки \($k$\):\*\* сколько предметов всего и сколько нужно выбрать\. **Задайте себе главный вопрос:** *«Если я поменяю местами два выбранных элемента, изменится ли результат?»* **Сделайте вывод:** • **НЕТ, не изменится** \(порядок не важен\) $\to$ перед вами **СОЧЕТАНИЯ** \($C_n^k$\)\. • **ДА, изменится** \(порядок важен\) $\to$ перед вами **РАЗМЕЩЕНИЯ** \($A_n^k$\)\. **Подставьте данные в соответствующую формулу и вычислите результат:** при вычислении $C_n^k$ сокращайте факториалы для упрощения расчетов\. #### Типичные ошибки учеников при решении задач При анализе комбинаторных задач девятиклассники чаще всего допускают следующие две ошибки: ##### Ошибка 1: Выбор формулы размещения вместо сочетания ❌ Применять $A_n^k$ к выборке без ролей \(*«выбрать 3 конфеты из вазы»*\)\. Результат получается завышенным в $k!$ раз, так как вы по ошибке посчитали перестановки внутри конфетной группы\! ##### Ошибка 2: Забывание факториала k\! в знаменателе ❌ Забывать делить на $k!$ при расчете $C_n^k$: $\frac{n!}{(n - k)!}$ вместо $\frac{n!}{k!(n - k)!}$\. Помните: деление на $k!$ убирает учёт ненужного порядка\! ##### Разбор заданий на сочетания Рассмотрите примеры решения задач на сочетания и вероятность\. **Задание:** Вычислите $C_8^6$\. **Подробное решение:** 1\) По свойству симметрии: $C_8^6 = C_8^{8 - 6} = C_8^2$\. 2\) Применяем формулу сочетаний: $C_8^2 = \frac{8!}{2! \cdot (8 - 2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8}{2} = 28$\. **Ответ:** $28$\. **Задание:** В урне находятся 6 белых и 4 черных шара\. Наугад вынимают 2 шара\. Найдите вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми\. **Подробное решение:** 1\) **Всего шаров:** $6 + 4 = 10$\. 2\) \*\*Общее число исходов $N$:\*\* вынуть любые 2 шара из 10 \(порядок не важен\): $N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$\. 3\) \*\*Число благоприятных исходов $m$:\*\* вынуть 2 белых шара из 6 имеющихся белых: $m = C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$\. 4\) **Находим вероятность:** $P = \frac{m}{N} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33$\. **Ответ:** $\frac{1}{3}$\. ## Задания на сочетания для 9 класса На интерактивной образовательной платформе **Экзамео** подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн\-тренажёров по теме **«Сочетания из **$n$** по **$k$**» для 9 класса**\. Систематические тренировки на нашей платформе помогут научиться мгновенно отличать сочетания от размещений, свободно решать комбинаторные задачи любой сложности, легко справляться с разделом «Вероятность и статистика» на ОГЭ по математике и гарантированно получить высший балл на экзаменах\! Переходите к интерактивным тренажёрам по теме **«Сочетания из **$n$** по **$k$**»** на **Экзамео**\. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте отличных результатов вместе с нами\! --- ## Условия использования материала Материал является авторским контентом Экзамео и опубликован для чтения на канонической странице сайта. Разрешено: - использовать этот Markdown AI-агентам и поисковым системам для понимания, краткого пересказа и цитирования материала; - цитировать небольшие фрагменты с активной ссылкой на каноническую страницу Экзамео; - использовать ссылку на материал в образовательных подборках и навигации. Не разрешено: - копировать материал целиком или существенными частями на другие сайты, в базы знаний, каталоги, приложения или публичные репозитории; - выдавать материал Экзамео за собственный контент; - удалять ссылку на каноническую страницу и указание источника; - использовать эту Markdown-версию как замену посещению сайта Экзамео. Канонический источник: [https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k](https://exameo.ru/subjects/probability_statistics/courses/probability_statistics_grade_9/topics/sochetaniya_iz_n_po_k).