Операции над случайными величинами - разбор | Вероятность и статистика 10 класс

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Операции над случайными величинами» для учащихся 10 класса в рамках углублённого и базового курсов «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь старшеклассникам научиться составлять ряды распределения для сумм, разностей и произведений случайных величин, освоить свойства математического ожидания и дисперсии и успешно подготовиться к контрольным работам и ЕГЭ по математике.

В теории вероятностей отдельные случайные величины часто связаны между собой. Например, общая выручка магазина складывается из выручки нескольких отделов, а суммарный выигрыш в серии игр зависит от исхода каждого раунда. Для работы с такими комплексными системами применяются операции над случайными величинами.

Что такое операции над случайными величинами? — 10 класс

Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов заданы две дискретные случайные величины $X$ и $Y$ .

• Основные операции: над случайными величинами можно выполнять операции умножения на число ( $k \cdot X$ ), возведения в степень ( $X^2$ ), сложения ( $X + Y$ ), вычитания ( $X - Y$ ) и умножения ( $X \cdot Y$ ).

Главное правило: при выполнении операций над случайными величинами измеряются их возможные значения, а вероятности этих значений пересчитываются по правилам теории вероятностей.

Умножение случайной величины на число и степень

Самые простые операции выполняются над одной случайной величиной $X$ перечислены ниже:

Умножение на число (k · X) ✖️

При умножении случайной величины $X$ на число $k$ каждое её значение $x_i$ умножается на $k$ , а вероятности $p_i$ остаются прежними:

$(kX)_i = k \cdot x_i, \quad P(kX = k x_i) = p_i$

Возведение в степень (X²) 📈

При возведении случайной величины в квадрат значения $x_i$ возводятся в квадрат $x_i^2$ .

Внимание: если получились одинаковые значения (например, $(-2)^2 = 4$ и $2^2 = 4$ ), соответствующе их вероятности складываются!

Сложение и умножение двух случайных величин

Пусть величины $X$ и $Y$ независимы. Чтобы построить ряд распределения их суммы $Z = X + Y$ или произведения $Z = X \cdot Y$ , рассматривают все возможные пары значений $(x_i, y_j)$ :

Операция

Значения новой величины Z

Вероятность комбинации (для независимых X и Y)

Сумма $Z = X + Y$

$z_{ij} = x_i + y_j$

$P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$

Разность $Z = X - Y$

$z_{ij} = x_i - y_j$

$P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$

Произведение $Z = X \cdot Y$

$z_{ij} = x_i \cdot y_j$

$P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$

Если после группировки нескольких пар получились одинаковые значения $z_{ij}$ , эти строки объявляются одной, а их вероятности суммируются.

Свойства математического ожидания и дисперсии при операциях

Составлять полный ряд распределения требуется не всегда. В большинстве практических задач 10 класса достаточно знать, как изменяются числовые характеристики ( $E(X)$ или $M(X)$ — мат. ожидание, $D(X)$ — дисперсия):

Свойства математического ожидания E(X) 📊

Константа: $E(C) = C$ (мат. ожидание постоянной равно самой постоянной).
Вынос множителя: $E(kX) = k \cdot E(X)$ .
Сумма / Разность: $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$ (верно для любых величин!).
Произведение: $E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)$ (верно только для независимых случайных величин).

Свойства дисперсии D(X) 📈

Константа: $D(C) = 0$ (дисперсия постоянной равна нулю).
Квадрат множителя: $D(kX) = k^2 \cdot D(X)$ (константа выносится в квадрате!).
Сдвиг: $D(X + C) = D(X)$ .
Сумма и разность: $D(X + Y) = D(X - Y) = D(X) + D(Y)$ (обратите внимание: при разности дисперсии ВСЁ РАВНО СКЛАДЫВАЮТСЯ, если величины независимы!).

Пошаговый алгоритм построения распределения суммы X + Y

Чтобы безошибочно составить ряд распределения для суммы или произведения двух независимых случайных величин, используйте следующую инструкцию:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Выпишите ряды распределения X и Y: выделите все значения $x_i$ и $y_j$ с их вероятностями $p_i$ и $q_j$ .

Составьте таблицу всех комбинаций: для каждой пары значений перемножьте их вероятности $P_{ij} = p_i \cdot q_j$ и вычислите результаты выбранной операции (например, $z_{ij} = x_i + y_j$ ).

Объедините повторяющиеся значения: если одно и то же число $z$ получилось в нескольких парах, сложите их вероятности.

Запишите итоговый ряд распределения в порядке возрастания z: проверьте, чтобы сумма всех вероятностей $\sum P(Z = z_k)$ была строго равна 1.

Типичные ошибки при операциях над случайными величинами

Учащиеся 10 класса часто допускают следующие две классические ошибки:

Ошибка 1: Вычитание дисперсий при разности величин ❌

Писать $D(X - Y) = D(X) - D(Y)$ . Помните: вычитание двух случайных величин увеличивает неопределённость (разброс) системы, поэтому для независимых величин их дисперсии всегда складываются: $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$ !

Ошибка 2: Забывание выноса константы в квадрате из дисперсии ❌

Считать, что $D(3X) = 3 D(X)$ . Запомните: константа из-под знака дисперсии выносится в квадрате: $D(3X) = 3^2 \cdot D(X) = 9 D(X)$ !

Подробный разбор практических задач

Рассмотрите примеры решения типовых задач на операции над случайными величинами углублённого курса вероятности 10 класса.

Пример 1: Вычисление E(Z) и D(Z) для линейной комбинации Z = 2X - 3Y + 5

Задание: Даны независимые случайные величины $X$ и $Y$ . Известно, что $E(X) = 4$ , $D(X) = 2$ , $E(Y) = 1$ , $D(Y) = 3$ . Найдите математическое ожидание и дисперсию величины $Z = 2X - 3Y + 5$ .

Подробное решение:

1) **Находим $E(Z)$ по свойствам мат. ожидания:**

$E(Z) = E(2X - 3Y + 5) = 2 E(X) - 3 E(Y) + 5$

$E(Z) = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + 5 = 8 - 3 + 5 = 10$ .

2) **Находим $D(Z)$ по свойствам дисперсии:**

Учитываем, что $D(C) = 0$ , а дисперсии независимых величин при вычитании складываются:

$D(Z) = D(2X - 3Y + 5) = D(2X) + D(-3Y) + D(5) = 2^2 D(X) + (-3)^2 D(Y) + 0$

$D(Z) = 4 D(X) + 9 D(Y) = 4 \cdot 2 + 9 \cdot 3 = 8 + 27 = 35$ .

Ответ: $E(Z) = 10$ ; $D(Z) = 35$ .

Пример 2: Составление ряда распределения суммы двух величин

Задание: Составьте ряд распределения суммы независимых величин $X$ и $Y$ , если $X$ принимает значения $1$ и $2$ с вероятностями $0{,}4$ и $0{,}6$ , а $Y$ принимает значения $0$ и $1$ с вероятностями $0{,}3$ и $0{,}7$ .

Подробное решение:

1) Перечислим все комбинации $Z = X + Y$ :

• $x_1 + y_1 = 1 + 0 = 1$ , вероятн. $P(Z = 1) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ .

• $x_1 + y_2 = 1 + 1 = 2$ , вероятн. $P = 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}28$ .

• $x_2 + y_1 = 2 + 0 = 2$ , вероятн. $P = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18$ .

• $x_2 + y_2 = 2 + 1 = 3$ , вероятн. $P(Z = 3) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42$ .

2) Объединяем одинаковое значение $Z = 2$ :

$P(Z = 2) = 0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46$ .

3) Итоговое распределение:

• $Z = 1$ с вероятностью $0{,}12$ ;

• $Z = 2$ с вероятностью $0{,}46$ ;

• $Z = 3$ с вероятностью $0{,}42$ .

Проверка суммы: $0{,}12 + 0{,}46 + 0{,}42 = 1{,}00$ .

Задания и тренажёры на операции над случайными величинами для 10 класса на Экзамео

На образовательной платформе Экзамео база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Операции над случайными величинами» для 10 класса. Систематические тренировки на нашей платформе помогут научиться свободно составлять законы распределения, вычислять математическое ожидание и дисперсию любых линейных комбинаций, успешно готовиться к контрольным работам и сдать ЕГЭ по математике на высший балл!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Операции над случайными величинами» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!