Описательная статистика | ЕГЭ по математике профиль

В этом разделе подробно рассматривается тема кодификатора ЕГЭ по профильной математике «Описательная статистика и элементы теории вероятностей». Хотя в базовом банке заданий первой части задачи на описательную статистику встречаются редко, данный раздел официально включён в кодификатор ФИПИ. Сюжеты на оценку среднего арифметического, медианы, размаха и целочисленных наборов данных могут встречаться в основе 19 задания. Кроме того, эти методы составляют фундамент высшей математики, теории вероятностей и анализа данных (Data Science) в университете.

Здесь собрана вся необходимая теория: ключевые термины (генеральная совокупность, выборка, выбросы), меры центральной тенденции (среднее арифметическое, медиана, мода), меры рассеивания (размах, дисперсия, среднеквадратическое отклонение), а также теоретические модели дискретных и непрерывных случайных величин (математическое ожидание, плотность вероятности и интегралы).

Отработать тему описательная статистика можно после теории в интерактивных тренажёрах с подробными решениями.

Базовые понятия описательной статистики

Статистика (от лат. status — состояние) — наука о сборе, систематизации, обработке и анализе числовых данных, характеризующих массовые явления. Описательная статистика занимается сжатием больших массивов информации до нескольких понятных числовых характеристик.

Термины выборочного метода 🎯

• Генеральная совокупность: полное множество всех исследуемых объектов (например, все выпускники школ России).

• Выборка: случайно отобранная для анализа часть генеральной совокупности (например, 1000 проверенных бланков ЕГЭ). Количество элементов выборки $n$ называют объёмом выборки.

• Выбросы: аномальные значения выборки, которые существенно больше или меньше остальной массы данных (например, случайная техническая ошибка или единичный экстремальный результат).

Меры центральной тенденции (показатели центра)

Показатели центральной тенденции позволяют охарактеризовать весь числовой массив одним типичным числом.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ( $\overline{x}$ ) — это отношение суммы всех чисел выборки к их общему количеству $n$ :

\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

Свойства среднего арифметического:

1. Сдвиг: если к каждому числу набора прибавить число $c$ , среднее арифметическое увеличится на $c$ : $\overline{x + c} = \overline{x} + c$ .

2. Масштабирование: если каждое число набора умножить на число $k$ , среднее арифметическое умножится на $k$ : $\overline{k \cdot x} = k \cdot \overline{x}$ .

3. Баланс отклонений: сумма отклонений всех чисел от их среднего арифметического всегда строго равна нулю: $\sum (x_i - \overline{x}) = 0$ .

Медиана и мода набора данных

Среднее арифметическое чувствительно к выбросам (один миллионер в выборке резко завысит «среднюю зарплату» жителей посёлка). Поэтому в анализе данных используют устойчивые характеристики:

Медиана набора ( $Me$ ) 📊

Число, делящее упорядоченный по возрастанию массив ровно пополам:
• При нечётном $n$ : центральный элемент с номером $\dfrac{n+1}{2}$ .
• При чётном $n$ : среднее арифметическое двух центральных чисел с номерами $\dfrac{n}{2}$ и $\dfrac{n}{2}+1$ .

Мода набора ( $Mo$ ) 🎯

Значение в числовом массиве, которое встречается наибольшее количество раз.
(Если несколько разных значений встречаются одинаково часто, набор называют полимодальным; если все элементы уникальны — мода отсутствует).

Меры изменчивости и рассеивания данных

Два разных набора чисел могут иметь одинаковое среднее (например, $\{100, 100, 100\}$ и $\{0, 100, 200\}$ имеют $\overline{x} = 100$ ), но принципиально разную структуру. Степень разброса величин описывают меры рассеивания.

Показатель рассеивания

Математическая формула

Смысл и свойства

Размах выборки ( $R$ )

R = x_{\max} - x_{\min}

Разница между наибольшим и наименьшим значениями набора.

Выборочная дисперсия ( $S^2$ или $D$ )

S^2 = \dfrac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n} = \overline{x^2} - (\overline{x})^2

Средний квадрат отклонений: «средний квадрат минус квадрат среднего».

Стандартное отклонение ( $\sigma$ или $S$ )

S = \sqrt{S^2} = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n}}

Среднеквадратическое отклонение, выраженное в тех же единицах, что и данные.

Случайные величины и распределения вероятностей

В описательной статистике реальные данные рассматриваются как реализации теоретических случайных величин - они очень маловероятно попадутся на ЕГЭ по математике и больше могут понадобиться в задачах повышенного уровня сложности.

Дискретные случайные величины

Случайная величина $X$ называется дискретной, если она принимает изолированные отдельные значения $x_1, x_2, \dots, x_n$ с соответствующими вероятностями $p_1, p_2, \dots, p_n$ (где $\sum p_i = 1$ ).

E(X) = M[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n

Математическое ожидание $E(X)$ — это теоретический вероятностный аналог среднего арифметического.

Непрерывные случайные величины и плотность вероятности

Если случайная величина может принимать любые значения из числового промежутка, она называется непрерывной. Её закон распределения задается функцией плотности вероятности $f(x)$ .

Свойства плотности вероятности $f(x)$ :

1. Неотрицательность: $f(x) \geqslant 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$ .

2. Условие нормировки: площадь под всей кривой плотности равна единице: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$ .

3. Вероятность попадания в интервал $[a; b]$ : равна определённому интегралу (площади криволинейной трапеции):

P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx

4. Математическое ожидание непрерывной величины:

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx

Лайфхак для Задания 19 ЕГЭ по математике!

1. Если среднее арифметическое $n$ натуральных чисел равно целому числу $A$ , их сумма обязана делиться на $n$ : $S = n \cdot A$ .

2. Чтобы среднее арифметическое было максимальным при фиксированной сумме, меньшие числа делают минимально возможными ( $1, 2, 3\dots$ ).

3. Медиана упорядоченного массива не зависит от значений крайних элементов: изменение самого большого числа выборки не меняет медиану.

Разбор задач в стиле 19 задания ЕГЭ по математике

Как и говорилось выше в первой части ЕГЭ описательная статистика и её элементы не встречаются, однако в 19 задании вы можете встретить условия, которые будут связаны с этим разделом кодификатора.

Пример 1: Оценка изменения среднего арифметического (Сюжет Задания 19а/б)

Задание: На доске написано 10 различных натуральных чисел. Их среднее арифметическое первоначально было равно 15. Затем с доски стёрли наименьшее число, после чего среднее арифметическое оставшихся 9 чисел стало равно 16. Чему равнялось стёртое число?

Подробное решение:

1) Обозначим сумму первоначальных 10 чисел как $S_{10}$ . По определению среднего арифметического:

\overline{x}_{10} = \dfrac{S_{10}}{10} = 15 \implies S_{10} = 15 \cdot 10 = 150

2) Пусть стёртое число равно $x_{\min}$ . Тогда сумма оставшихся 9 чисел равна $S_9 = S_{10} - x_{\min} = 150 - x_{\min}$ .

3) Среднее арифметическое 9 чисел стало равно 16:

\overline{x}_9 = \dfrac{S_9}{9} = 16 \implies S_9 = 16 \cdot 9 = 144

4) Находим стёртое число:

150 - x_{\min} = 144 \implies x_{\min} = 150 - 144 = 6

Ответ: 6.

Пример 2: Расчёт дисперсии и стандартного отклонения числовой выборки

Задание: Дана выборка результатов тестирования из пяти оценок: $2, 4, 5, 6, 8$ . Найдите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение набора.

Подробное решение:

1) Вычислим среднее арифметическое выборки ( $n = 5$ ):

\overline{x} = \dfrac{2 + 4 + 5 + 6 + 8}{5} = \dfrac{25}{5} = 5

2) Вычислим квадраты отклонений каждого значения от среднего $(x_i - \overline{x})^2$ :
• $(2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
• $(6 - 5)^2 = 1^2 = 1$
• $(8 - 5)^2 = 3^2 = 9$

3) Найдем дисперсию $S^2$ как среднее квадратов отклонений:

S^2 = \dfrac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = \dfrac{20}{5} = 4

4) Вычислим стандартное отклонение $S$ :

S = \sqrt{S^2} = \sqrt{4} = 2

Ответ: $\overline{x} = 5$ , $S^2 = 4$ , $S = 2$ .

Тренажёры по теме «Описательная статистика» из ЕГЭ по математике

Отработать задачи на описательную статистику, среднее арифметическое и медиану для подготовки к 19 заданию профильного ЕГЭ по математике и вузовским олимпиадам можно с помощью тренажёров образовательной платформы «Экзамео».

Система мгновенно проверяет решения и предоставляет подробные пошаговые доказательства к каждой сложной задаче.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы