Опыты с равновозможными элементарными событиями - разбор темы

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Опыты с равновозможными элементарными событиями» для учащихся 8 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот систематизированный справочник, чтобы помочь школьникам глубоко понять природу симметричных случайных экспериментов, научиться безошибочно вычислять вероятности элементарных событий по классической формуле и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В теории вероятностей самым простым и распространенным типом экспериментов являются случайные испытания, в которых все исходы находятся в абсолютно одинаковых условиях. В таких случайных опытах каждый простой результат называют равновозможным элементарным событием.

Что такое равновозможные элементарные события? — 8 класс

Элементарные события (исходы) — это самые простые, далее неделимые результаты случайного опыта, которые взаимно исключают друг друга.

• Равновозможные элементарные события — это исходы опыта, ни один из которых не имеет объективного преимущества перед другими в силу симметрии или условий проведения эксперимента.

Интуитивный пример: бросание идеального симметричного шестигранного кубика или правильной монеты. Выпадение любой из граней кубика (1, 2, 3, 4, 5 или 6) одинаково вероятно.

Вероятности элементарных событий в симметричном опыте

Главное математическое свойство опытов с равновозможными элементарными событиями состоит в том, что все они имеют одинаковые шансы наступления.

Если в случайном опыте всего есть $N$ равновозможных элементарных событий, то вероятность каждого из них равна одной $N$ -й части:

$P(\omega_1) = P(\omega_2) = \ldots = P(\omega_N) = \frac{1}{N}$

Сумма вероятностей всех элементарных событий любого опыта всегда равна единице (100%):

$\frac{1}{N} + \frac{1}{N} + \ldots + \frac{1}{N} = N \cdot \frac{1}{N} = 1$

Случайный опыт

Число элементарных событий ( $N$ )

Пример элементарного события

Вероятность исхода

Бросок симметричной монеты

$N = 2$ (Орёл, Решка)

Выпадение Орла

$P = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Бросок игрального кубика

$N = 6$ (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Выпадение шестёрки

$P = \frac{1}{6}$

Опыт с 15 шарами в урне

$N = 15$ (шары с №1 по №15)

Извлечение шара №7

$P = \frac{1}{15}$

Выбор карты из колоды (36 карт)

$N = 36$

Извлечение туза пик

$P = \frac{1}{36}$

Классическая формула вероятности

Любое случайное событие $A$ состоит из нескольких элементарных событий. Элементарные события, наступление которых приводит к наступлению события $A$ , называются благоприятствующими (благоприятными).

Вероятность случайного события $A$ в опыте с равновозможными элементарными событиями равна отношению числа благоприятствующих исходов $m$ к общему числу всех возможных исходов $N$ :

$P(A) = \frac{m}{N}$

1. Значение m (Благоприятные исходы) 🎯

Количество элементарных событий, входящих в состав интересующего нас события $A$ .

Пример: Найти вероятность выпадения чётного числа при броске кубика. Благоприятные исходы: {2, 4, 6}, поэтому $m = 3$ .

2. Значение N (Все элементарные исходы) 🎲

Полное число всех несовместных равновозможных элементарных исходов данного испытания.

Пример: При броске кубика всего возможных результатов 6: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, поэтому $N = 6$ .

Пошаговый алгоритм решения задач на равновозможные события

Чтобы безошибочно вычислять вероятность опытов с равновозможными элементарными событиями в 8 классе, придерживайтесь этого алгоритма:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Убедитесь, что исходы опыта равновозможны: проверьте, находятся ли все варианты в одинаковых условиях (симметричный кубик, вытягивание наугад и т. д.).

**Найдите общее число элементарных событий ( $N$ ):** посчитайте общее количество всех возможных простейших результатов эксперимента.

**Выпишите и посчитайте благоприятствующие исходы ( $m$ ):** определите, какие именно элементарные события соответствуют условию задачи.

**Примените классическую формулу $P(A) = \frac{m}{N}$ :** подставьте значения $m$ и $N$ , сократите дробь или переведите её в десятичный вид.

Типичные ошибки при вычислении вероятностей

При анализе вероятностных опытов ученики 8 класса чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка 1: Применение классической формулы к неравновозможным исходам

Применять формулу $P(A) = \frac{m}{N}$ к исходам, которые не являются равновозможными. Например, считать, что вероятность встретить динозавра на улице равна $\frac{1}{2}$ (встречу или не встречу). Эта формула работает только при строгой равновозможности!

Ошибка 2: Неправильный подсчёт благоприятствующих исходов

Пропускать часть благоприятствующих элементарных событий или путать составные события с элементарными. Всегда проверяйте полный перечень подходящих результатов!

Разбор практических задач на вероятность равновозможных элементарных событий

Рассмотрите примеры решения задач формата ОГЭ по теме «Опыты с равновозможными элементарными событиями».

Пример 1: Задача про опыт с 15 равновозможными элементарными событиями

Задание: В случайном опыте имеется 15 равновозможных элементарных событий. Событию $A$ благоприятствуют 6 элементарных событий. Найдите вероятность события $A$ .

Подробное решение:

1) По условию задачи общее число равновозможных элементарных событий $N = 15$ .
2) Число благоприятствующих исходов для события $A$ равно $m = 6$ .
3) По классической формуле вероятности:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{6}{15}$

4) Сократим дробь на 3 и переведём в десятичную запись:

$P(A) = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Ответ: $0{,}4$ .

Пример 2: Задачник на выбор жетона из урны

Задание: В коробке лежат 20 одинаковых жетонов, пронумерованных от 1 до 20. Наугад извлекают один жетон. Какова вероятность того, что номер извлечённого жетона делится на 4?

Подробное решение:

1) Жетоны одинаковые, извлечение наугад $\to$ элементарные события равновозможны. Всего жетонов $N = 20$ .
2) Найдем благоприятствующие исходы (числа от 1 до 20, делящиеся на 4):

• Это числа: {4, 8, 12, 16, 20}.

• Количество благоприятствующих исходов: $m = 5$ .

3) Применяем классическую формулу вероятности:

$P = \frac{m}{N} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Ответ: $0{,}25$ .

Задания и тренажёры по равновозможным событиям за 8 класс на Экзамео

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Опыты с равновозможными элементарными событиями» для 8 класса. Систематическая практика на нашей платформе поможет научиться свободно вычислять вероятности любых случайных событий, быстро решать задания ОГЭ по математике любой сложности и получать только отличные оценки!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Равновозможные элементарные события» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте высоких результатов вместе с нами!