Противоположные события в теории вероятностей - разбор темы и задания

На этой странице собраны подробные учебные и методические материалы по теме «Противоположные события» для учащихся 8 класса в рамках учебного курса «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот справочник, чтобы помочь школьникам освоить одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, научиться быстро находить шансы наступления обратных исходов, применять правило «хотя бы один» для упрощения сложных расчётов и успешно подготовиться к контрольным работам, ВПР и сдаче ОГЭ по математике.

В теории вероятностей часто бывает так, что прямое вычисление шанса наступления интересующего нас события требует рассмотрения десятков сложных вариантов. В таких ситуациях на помощь приходит концепция противоположных событий, позволяющая решить задачу в одно простое действие.

Противоположные события — 8 класс

Два события называются противоположными, если в одном и том же испытании обязательно происходит ровно одно из них, а второе произойти не может.

• Если исходное событие обозначается буквой $A$ , то противоположное ему событие обозначается чертой сверху: $\bar{A}$ (читается «А с чертой» или «не А»).

Интуитивный пример: при броске монеты событие $A$ — «выпал орёл», а противоположное событие $\bar{A}$ — «выпала решка» (орёл не выпал).

Основная формула противоположных событий

Поскольку события $A$ и $\bar{A}$ несовместны и вместе образуют все возможные исходы испытания (полную группу), сумма их вероятностей всегда равна единице (100%):

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Отсюда получаем удобные формулы для практических расчётов:

Поиск вероятности противоположного события

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Если вероятность выигрыша в лотерею равна $0{,}05$ , то вероятность проигрыша равна $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ .

Поиск вероятности исходного события

P(A) = 1 - P(\bar{A})

Если вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0{,}02$ , то вероятность исправности равна $1 - 0{,}02 = 0{,}98$ .

Главный лайфхак темы: Правило «Хотя бы один»

В Заданиях ВПР и ОГЭ по математике очень часто встречается вопрос: «Найдите вероятность того, что произойдёт хотя бы одно событие» (например, «хотя бы один из 3 стрелков попадет в цель»).

Как упростить задачу?

Прямой расчёт «хотя бы одного попадания» из 3 выстрелов требует сложения 7 различных вариантов (попал 1-й, или попал 2-й, или попали 1-й и 3-й...).

Запомните: противоположным к событию «произойдёт хотя бы один» является событие «НЕ ПРОИЗОЙДЁТ НИ ОДНОГО» (все промахнулись).

Поэтому считать нужно по золотому правилу:

P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного)

Пошаговый алгоритм решения задач на противоположные события

Чтобы безошибочно решать задачи с противоположными событиями в 8 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

Определите исходное событие $A$ : чётко сформулируйте, о каком событии вас спрашивают в задаче.

Сформулируйте противоположное событие $\bar{A}$ : добавьте отрицание «НЕ» или найдите единственный альтернативный вариант (например, «ни разу не попал»).

Вычислите вероятность противоположного события $P(\bar{A})$ : перемножьте вероятности отдельных неудач по правилу умножения независимых событий.

Вычтите результат из единицы: найдите искомый ответ по формуле $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .

Типичные ошибки при решении задач

При синтаксическом и вероятностном анализе заданий восьмиклассники чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка 1: Неправильная формулировка противоположного события ❌

Считать события «выпало чётное число» и «выпала тройка» противоположными. Помните: противоположные события должны в сумме покрывать абсолютно все возможные исходы без остатка!

Ошибка 2: Забывание вычитания из единицы в конце ❌

Найти вероятность события $P(\bar{A})$ («ни разу не попал») и записать её в ответ, забыв сделать финальное вычитание из 1. Всегда перечитывайте вопрос задачи перед записью ответа!

Подробный разбор практических задач ОГЭ

Рассмотрите примеры решения задач формата ОГЭ по теме «Противоположные события».

Пример 1: Базовая задача на вычисление противоположного события

Задание: Вероятность того, что новый телевизор выйдет из строя в течение первого года эксплуатации, равна $0{,}03$ . Найдите вероятность того, что телевизор проработает весь первый год без поломок.

Подробное решение:

1) Обозначим за $A$ событие «телевизор выйдет из строя». По условию $P(A) = 0{,}03$ .
2) Событие «телевизор проработает без поломок» является противоположным, то есть $\bar{A}$ .
3) По формуле противоположного события:

P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97

Ответ: $0{,}97$ .

Пример 2: Сложная задача на правило 'Хотя бы один'

Задание: Вероятность того, что один стрелок поразит мишень, равна $0{,}8$ . Стрелок делает 3 независимых выстрела. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз.

Подробное решение:

1) Событие $A$ : мишень поражена хотя бы один раз.
2) Противоположное событие $\bar{A}$ : стрелок промахнулся при ВСЕХ трёх выстрелах (ни разу не попал).
3) Вероятность одного промаха равна $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ .
4) По правилу умножения независимых событий вероятность 3 промахов подряд равна:

P(\bar{A}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008

5) Находим вероятность искомого события $A$ :

P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992

Ответ: $0{,}992$ .

Задания на противоположные события для 8 класса на Экзамео

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Противоположные события» для 8 класса. Систематическая практика на нашей платформе поможет научиться легко находить противоположные исходы, быстро решать задачи с формулировкой «хотя бы один», успешно готовиться к ВПР и ОГЭ по математике и получать только отличные оценки!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Противоположные события» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте высоких результатов вместе с нами!