Случайная величина и распределение вероятностей

На этой странице собраны подробные, доступные и систематизированные учебные материалы по теме «Случайная величина. Распределение вероятностей» для учащихся 10 класса в рамках учебных курсов базового и углублённого уровней «Вероятность и статистика». Эксперты и методисты платформы Экзамео разработали этот практический справочник, чтобы помочь старшеклассникам усвоить понятия дискретных и непрерывных случайных величин, научиться составлять ряды распределения, строить многоугольники вероятностей и успешно готовиться к контрольным работам, ВПР и ЕГЭ по математике.

В реальном мире результаты многих экспериментов и наблюдений выражаются числами: число выпавших очков на кости, количество бракованных деталей в партии, рост человека, температура воздуха. Чтобы анализировать такие результаты математически, вводится одно из центральных понятий теории вероятностей — случайная величина.

Что такое случайная величина? — 10 класс

Случайная величина — это переменная величина, которая в результате случайного эксперимента принимает то или иное значение, причём заранее (до проведения опыта) невозможно точно предсказать, какое именно.

• Обозначение: случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами: $X, Y, Z$ , а их возможные значения — строчными буквами с индексами: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ .

Пример: При трёхкратном бросании монеты число выпавших Орлов — это случайная величина $X$ , которая может принимать значения $0, 1, 2$ или $3$ .

1. Классификация случайных величин

В зависимости от множества возможных значений все случайные величины делятся на две основные группы:

1. Дискретная случайная величина (ДСВ) 🔢

Величина, возможные значения которой можно пересчитать (их множество конечно или изолированно).

Примеры:

• Число подбитых танков в бою;

• Число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за час;

• Оценка ученика за контрольную работу.

2. Непрерывная случайная величина (НСВ) 📏

Величина, значения которой сплошь заполняют некоторый числовой промежуток (интервал или отрезок).

Примеры:

• Точное время ожидания автобуса на остановке;

• Масса случайно выбранного яблока в магазине;

• Давление или температура воздуха.

2. Задание распределения вероятностей дискретной случайной величины

Знать только возможные значения случайной величины недостаточно — необходимо знать, с какими вероятностями они принимаются. Соответствие между значениями и их вероятностями называется законом распределения.

Для дискретной случайной величины закон распределения удобнее всего задавать в виде таблицы, которая называется рядом распределения:

Значения $X$

$x_1$

$x_2$

$\ldots$

$x_n$

**Вероятности $P$ **

$p_1$

$p_2$

$\ldots$

$p_n$

⚠️ Фундаментальное свойство распределения вероятностей:

Поскольку события $X = x_1, X = x_2, \ldots, X = x_n$ образуют полную группу несовместных событий, сумма всех вероятностей во второй строке всегда строго равна 1 (100%):

$p_1 + p_2 + \ldots + p_n = \sum_{i=1}^{n} p_i = 1$

3. Графический способ и функция распределения

Кроме таблицы, закон распределения можно задать графически или аналитически:

Многоугольник (полигон) распределения 📉

Это ломаная линия в прямоугольной системе координат, вершинами которой являются точки с координатами $(x_i; p_i)$ .

• На оси абсцисс откладывают значения $x_i$ ;

• На оси ординат — соответствующие вероятности $p_i$ .

Функция распределения F(x) 🔄

Универсальный способ задания как дискретных, так и непрерывных величин:

$F(x) = P(X < x)$

Она показывает вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, строго меньшее некоторого фиксированного числа $x$ .

Пошаговый алгоритм составления ряда распределения

Чтобы безошибочно построить ряд распределения дискретной случайной величины на уроке математики в 10 классе, придерживайтесь этой инструкции:

Порядок действий: Пошаговый алгоритм

**Определите исследуемую случайную величину $X$ :** четко сформулируйте, какой случайный результат измеряется в опыте.

**Выпишите все возможные значения $x_i$ в порядке возрастания:** перечислите без пропусков все варианты, которые может принять $X$ .

**Вычислите вероятности $p_i$ каждого значения:** используя классическую формулу вероятностей, комбинаторику или теоремы сложения и умножения вероятностей, найдите $p_i = P(X = x_i)$ .

Выполните обязательную самопроверку: сложите все найденные вероятности. Их сумма $\sum p_i$ должна быть строго равна 1.

Типичные ошибки десятиклассников

При синтаксическом и вероятностном анализе заданий старшеклассники чаще всего допускают следующие две ошибки:

Ошибка 1: Сумма вероятностей не равна единице ❌

Забыть проверить равенство $\sum p_i = 1$ . Если сумма вероятностей в таблице получилась больше или меньше 1, значит, допущена ошибка либо в подсчёте вероятностей, либо утеряно одно из возможных значений $x_i$ !

Ошибка 2: Пропуск нулевого значения случайной величины ❌

Забывать о значении $X = 0$ . Наприм., при исследовании количества попаданий из 3 выстрелов случайная величина принимает значение $0$ (все промахи), $1, 2$ или $3$ . Значение $0$ упускать нельзя!

Подробный разбор практических задач

Рассмотрите примеры решения практических задач из учебника вероятности и статистики для 10 класса.

Пример 1: Построение ряда распределения числа Орлов при двух бросках монеты

Задание: Симметричную монету бросают дважды. Случайная величина $X$ — количество выпавших Орлов. Составьте ряд распределения величины $X$ .

Подробное решение:

1) Выпишем пространство исходов: $\Omega = \{(\text{Р}, \text{Р}), (\text{Р}, \text{О}), (\text{О}, \text{Р}), (\text{О}, \text{О})\}$ . Всего $N = 4$ равновозможных исхода.
2) **Определим возможные значения величины $X$ :**

• $x_1 = 0$ (исход (Р, Р)): 1 способ $\implies P(X = 0) = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .

• $x_2 = 1$ (исходы (Р, О) и (О, Р)): 2 способа $\implies P(X = 1) = \frac{2}{4} = 0{,}50$ .

• $x_3 = 2$ (исход (О, О)): 1 способ $\implies P(X = 2) = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .
3) Составим таблицу ряда распределения:

$X$

$P$

4) Проверка: $0{,}25 + 0{,}50 + 0{,}25 = 1{,}00$ .

Ответ: Ряд распределения задаётся значениями $X \in \{0, 1, 2\}$ с вероятностями $0{,}25; \, 0{,}50; \, 0{,}25$ .

Пример 2: Нахождение неизвестной вероятности в ряду распределения

Задание: Дискретная случайная величина $X$ задана рядом распределения: $x_1 = 1$ с вероятностью $0{,}2$ ; $x_2 = 3$ с вероятностью $p$ ; $x_3 = 5$ с вероятностью $0{,}35$ ; $x_4 = 7$ с вероятностью $0{,}15$ . Найдите неизвестное значение $p$ .

Подробное решение:

1) По свойству ряда распределения сумма вероятностей всех возможных значений равна единице:

$0{,}2 + p + 0{,}35 + 0{,}15 = 1$ .
2) Сложим известные вероятности:

$0{,}2 + 0{,}35 + 0{,}15 = 0{,}70$ .
3) Найдём значение $p$ :

$0{,}70 + p = 1 \implies p = 1 - 0{,}70 = 0{,}30$ .

Ответ: $p = 0{,}30$ .

Задания по случайной величины распределения вероятностей за 10 класс на Экзамео

На интерактивной образовательной платформе Экзамео подготовлена масштабная база проверочных заданий и онлайн-тренажёров по теме «Случайная величина. Распределение вероятностей» для 10 класса. Систематическая практика на нашем тренажёре поможет научиться свободно строить ряды и многоугольники распределения, вычислять параметры вероятностных моделей, успешно готовиться к контрольным работам и сдать ЕГЭ по математике на высший балл!

Переходите к интерактивным тренажёрам по теме «Случайная величина 10 класс» на Экзамео. Тренируйтесь в удобном для вас ритме, повышайте уровень математической грамотности и достигайте лучших результатов вместе с нами!