Равные множества и пустое множество - объяснение и задачи

На этой собран теоретический справочник по теме «Равные множества. Пустое множество» по математике для 3 класса, чтобы помочь третьеклассникам научиться сравнивать группы предметов (множества), освоить правило равенства множеств, познакомиться со специальным понятием пустого множества и его значком, а также без ошибок решать логические задачи из школьной программы.

Понятие множества — это основа логического мышления в математике. Умение сравнивать множества учит детей внимательно находить одинаковые элементы, работать с классификациями и подготавливает базу для освоения сложных логических тем старших классов.

Учимся сравнивать множества

Напомним, что множеством в математике называют группу предметов или объектов, объединённых общим признаком. Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами.

Что такое равные множества?

Определение равных множеств 🎯

Два множества называются равными, если они состоят из совершенно одинаковых элементов.

• Порядок записи элементов внутри множества НЕ имеет значения!

• Если множества равны, между ними ставят знак равенства ( $=$ ). Если в множествах есть хотя бы один различающийся элемент, ставят знак неравенства ( $\neq$ ).

Сравним примеры множеств:

• Множество букв в слове «КОТ»: $\{\text{К}, \text{О}, \text{Т}\}$ .
• Множество букв в слове «ТОК»: $\{\text{Т}, \text{О}, \text{К}\}$ .
Эти множества состоят из абсолютно одинаковых букв (хотя они записаны в разном порядке). Значит, эти множества равны: $\{\text{К}, \text{О}, \text{Т}\} = \{\text{Т}, \text{О}, \text{К}\}$ .

• Множество чисел $\{1, 2, 3\}$ и множество чисел $\{1, 2, 4\}$ не равны ( $\{1, 2, 3\} \neq \{1, 2, 4\}$ ), потому что в них разнятся элементы $3$ и $4$ .

Что такое пустое множество?

Представь себе пустую коробку из-под обуви, в которой ничего не лежит, или пустой класс во время каникул, где нет ни одного ученика. В математике такие группы назвали пустым множеством.

Определение пустого множества 🎯

Пустым множеством называется множество, которое не содержит ни одного элемента.

• Для обозначения пустого множества используется специальный математический знак: $\varnothing$ (перечёркнутый кружок).

Примеры пустых множеств в жизни и математике:

• Множество летающих медведей $= \varnothing$ (в природе нет летающих медведей).

• Множество двузначных чисел, которые меньше $10 = \varnothing$ (самое маленькое двузначное число — $10$ ).

• Множество живых динозавров в зоопарке $= \varnothing$ .

Самая распространенная ошибка с нолём! ⚠️

Запомни: число $0$ и пустое множество $\varnothing$ — это разные вещи!
Множество, содержащее число $0$ (например, $\{0\}$ ), НЕ является пустым: в нём есть ровно один элемент — цифра ноль!
А в пустом множестве $\varnothing$ нет вообще ничего.

Пошаговый алгоритм сравнения множеств

Чтобы без ошибок определить, равны ли два множества, используй простой алгоритм:

Порядок действий:

Выпиши элементы первого множества: перечисли все предметы или числа первого множества.

Выпиши элементы второго множества: перечисли элементы второго множества.

Сравни количество и состав элементов:
- Если количество элементов совпадает и каждый элемент из первого множества есть во втором — множества равны ( $=$ ).
- Если хотя бы один элемент отличается или элементов разное количество — множества не равны ( $\neq$ ).

Разбор типовых задач из самостоятельных работ за 3 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для уроков математики в 3 классе.

Пример 1: Проверка равенства множеств

Задание: Равны ли множества $A$ и $B$ , если:

а) $A = \{3, 6, 9\}$ , $B = \{9, 3, 6\}$ ;

б) $A = \{2, 4, 6\}$ , $B = \{2, 4, 8\}$ ?

Подробное решение:

1) а) Множество $A$ состоит из чисел $3, 6, 9$ . Множество $B$ состоит из тех же чисел $9, 3, 6$ . Порядок записи не имеет значения. Следовательно, множества равны: $A = B$ .

2) б) Множество $A$ содержит число $6$ , а в множестве $B$ вместо него записано число $8$ . Состав элементов отличается, значит, множества не равны: $A \neq B$ .

Ответ: а) $A = B$ ; б) $A \neq B$ .

Пример 2: Определение пустого множества

Задание: Какое из следующих множеств является пустым ( $\varnothing$ )?

1) Множество трёхзначных чисел, состоящих из цифр $1$ и $2$ .

2) Множество школьников 3 класса, которым меньше $2$ лет.

3) Множество дней недели, оканчивающихся на букву «г».

Подробное решение:

1) Трёхзначные числа из цифр $1$ и $2$ существуют (например, $111, 122$ ). Это множество НЕ пустое.

2) Дети идут в 1 класс в $6-7$ лет, значит, в 3 классе учителям и школьникам $8-10$ лет. Школьников 3 класса младше $2$ лет не существует. Это пустое множество ( $\varnothing$ ).

3) Дни недели «четверг» и «париг» — четверг оканчивается на «г». Элемент есть, множество не пустое.

Ответ: 2) Множество школьников 3 класса, которым меньше $2$ лет $= \varnothing$ .

Тренажёры по теме «Равные множества» на Экзамео

Ниже собраны тренажеры на сравнение множеств для учеников 3го класса - они помогут лучше разобраться с темой и подготовиться к самостоятельным и контрольным работам. Все задания составлены в соответствии со школьной программой.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы