Движение вдогонку: скорость сближения, формулы и задачи

На этой странице представлен исчерпывающий и понятный теоретический справочник по теме «Движение вдогонку» по математике для 4 класса. Методисты образовательной платформы Экзамео разработали этот практический материал, чтобы помочь четвероклассникам освоить один из самых интересных видов задач на движение, понять, как вычисляется скорость сближения при движении в одном направлении, выучить основные формулы и научиться без ошибок решать текстовые задачи любой сложности из школьной программы и ВПР.

Движение вдогонку происходит тогда, когда два объекта движутся в одну и ту же сторону, причём тот, кто находится сзади, двигается быстрее и постепенно уменьшает расстояние между ними, чтобы в итоге догнать первого.

Как устроено движение вдогонку?

Рассмотрим основные понятия, на которых строится решение всех задач этого типа, они просто необходимы .

Скорость сближения при движении вдогонку

Главное условие движения вдогонку: скорость догоняющего ( $v_1$ ) должна быть больше скорости переднего объекта ( $v_2$ ), то есть $v_1 > v_2$ .

Скорость сближения при движении вдогонку 🎯

Скорость сближения ( $v_{\text{сбл}}$ ) — это расстояние, на которое догоняющий объект приближается к переднему объекту за единицу времени (за $1$ час, $1$ минуту или $1$ секунду).

• Чтобы найти скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость:

$v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2$

Пример: Если велосипедист едет со скоростью $15\text{ км/ч}$ , а пешеход перед ним идёт со скоростью $5\text{ км/ч}$ , то скорость их сближения равна:

v_{\text{сбл}} = 15 - 5 = 10\text{ км/ч}

Это значит, что каждый час расстояние между ними сокращается строго на $10\text{ км}$ .

Основные формулы для задач «вдогонку»

Зная первоначальное расстояние между объектами ( $S$ ) и скорость сближения ( $v_{\text{сбл}}$ ), можно легко найти время встречания/догоняния ( $t_{\text{встр}}$ ):

Формулы движения вдогонку:

• Время догоняния (встречи):
$t_{\text{встр}} = S : v_{\text{сбл}} = S : (v_1 - v_2)$

• Первоначальное расстояние между объектами:
$S = v_{\text{сбл}} \cdot t_{\text{встр}} = (v_1 - v_2) \cdot t_{\text{встр}}$

Не путай встречное движение и движение вдогонку! 💡

• При встречном движении (объекты движутся навстречу друг другу) скорости СКЛАДЫВАЮТСЯ: $v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2$ .
• При движении вдогонку (объекты движутся в одну сторону) скорости ВЫЧИТАЮТСЯ: $v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2$ .

Пошаговый алгоритм решения задач «вдогонку»

Чтобы быстро и без ошибок решать любые задачи на движение вдогонку, придерживайся простого алгоритма:

Порядок действий:

Определи тип движения: убедись, что оба объекта движутся в одну сторону и задний объект движется быстрее.

Найди скорость сближения: вычти из большей скорости меньшую ( $v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2$ ).

Вычисли искомую величину:
- Чтобы найти время, раздели первоначальное расстояние на скорость сближения ( $t = S : v_{\text{сбл}}$ ).
- Чтобы найти расстояние, умножь скорость сближения на время ( $S = v_{\text{сбл}} \cdot t$ ).

Разбор типовых задач из самостоятельных работ за 4 класс

Рассмотрите решения задач, характерных для уроков математики и контрольных работ в 4 классе.

Пример 1: Классическая задача на нахождение времени догоняния

Задание: Из двух поселков, расстояние между которыми $60\text{ км}$ , одновременно в одном направлении выехали грузовик и легковой автомобиль. Легковой автомобиль едет сзади со скоростью $80\text{ км/ч}$ , а грузовик едет впереди со скоростью $50\text{ км/ч}$ . Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовик?

[ Место для иллюстрации: Схема к задаче 1 — легковой автомобиль (80 км/ч) догоняет грузовик (50 км/ч), исходный разрыв 60 км ]

Подробное решение:

1) Найдем скорость сближения легкового автомобиля и грузовика:
$v_{\text{сбл}} = 80 - 50 = 30\text{ (км/ч)}$ .
(Это значит, что каждый час расстояние между ними сокращается на $30\text{ км}$ ).

2) Чтобы сократить первоначальное расстояние в $60\text{ км}$ , легковому автомобилю потребуется:
$t = S : v_{\text{сбл}} = 60 : 30 = 2\text{ (часа)}$ .

Ответ: легковой автомобиль догонит грузовик через $2$ часа.

Пример 2: Задача с задержкой старта (один объект вышел раньше)

Задание: Из пункта A вышел пешеход со скоростью $4\text{ км/ч}$ . Через $3$ часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $16\text{ км/ч}$ . Через сколько часов после своего выезда велосипедист догонит пешехода?

[ Место для иллюстрации: Схема к задаче 2 — пешеход прошел за 3 часа некоторое расстояние, затем выезжает велосипедист ]

Подробное решение:

1) Найдем расстояние, которое пешеход успел пройти за $3$ часа до старта велосипедиста (это первоначальный фора-разрыв):
$S = 4 \cdot 3 = 12\text{ (км)}$ .

2) Найдем скорость сближения велосипедиста и пешехода:
$v_{\text{сбл}} = 16 - 4 = 12\text{ (км/ч)}$ .

3) Найдем время, за которое велосипедист ликвидирует этот разрыв в $12\text{ км}$ :
$t = 12 : 12 = 1\text{ (час)}$ .

Ответ: велосипедист догонит пешехода через $1$ час.

Тренажёры по теме «Движение вдогонку» на Экзамео

Задания на движение в догонку позволят вам отработать теорию и формулы и лучше запомнить материал. Каждое задание в тренажёре содержит подробное решение и объяснение, которое можно посмотреть, если у вас вдруг возникнут проблемы.

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы