15 задание ЕГЭ по математике база: части, доли и проценты и разбор задач

Задание 15 ЕГЭ по математике базового уровня входит в блок практических текстовых задач и приносит 1 первичный балл. Оно проверяет умение оперировать понятиями частей, долей, отношений и процентов в контексте реальных жизненных ситуаций: расчёта скидок и наценок в магазинах, начисления банковских процентов, определения доли голосов на выборах, состава сплавов или распределения площадей.

Многие выпускники, сдающие базовый ЕГЭ по математике путают, когда величину нужно умножать на дробь, когда делить, а когда составлять пропорцию. На этой странице подробно разобраны законы работы с долями и частями, классический алгоритм нахождения части от целого и целого по его части, а также все 3 фундаментальных типа задач на проценты с пошаговыми примерами из открытого банка ФИПИ.

Отработать навыки решения задач пятнадцатого номера помогут тренажёры Задания 15 базового ЕГЭ по математике с мгновенной проверкой ответов.

Основные виды 15 задания на базовом ЕГЭ по математике

Задачи на доли и части

Доля — это одна из равных частей, на которые разделено единое целое (например, $\frac{1}{2}$ — половина, $\frac{1}{3}$ — треть, $\frac{1}{4}$ — четверть). Часть выражается обыкновенной дробью $\dfrac{m}{n}$ или десятичной дробью, где знаменатель $n$ показывает, на сколько равных долей разделили целое, а числитель $m$ — сколько таких долей взяли.

В задачах на части встречаются две взаимно обратные операции:

1 Нахождение части от целого

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью $\frac{m}{n}$ , нужно умножить целое число на эту дробь:

B = A \cdot \dfrac{m}{n}

• Смысл: целое число $A$ делим на $n$ равных долей и умножаем на $m$ .

2 Нахождение целого по его части

Чтобы найти целое число по известной его части $B$ , составляющей дробь $\frac{m}{n}$ , нужно разделить эту часть на дробь:

A = B : \dfrac{m}{n} = B \cdot \dfrac{n}{m}

• Смысл: число $B$ делим на $m$ (находим одну долю) и умножаем на $n$ (все доли).

Смысл всех этих делений и умножений заключается в одном - вам нужно найти одну часть или долю и затем просто умножить на необходимое количество долей

Место под иллюстрацию: круговая диаграмма или отрезок, разбитый на равные доли, показывающий переход от целого к части умножением на $\frac{m}{n}$ и обратно делением на $\frac{m}{n}$ .

Пример задачи на части и доли

Условие: В школьной библиотеке $480$ учебников. Учебники по математике составляют $\dfrac{3}{8}$ всех книг, а остальное — учебники по гуманитарным предметам. Сколько учебников по гуманитарным предметам в библиотеке?

Способ 1 (через количество учебников):

1) Найдём количество учебников по математике (часть от числа):

480 - это общее число учебников. Учебники по математике составляют $\dfrac{3}{8}$ - значит всего 8 частей, найдем сначала одну часть.

480:8=60

Учебники по математике это $\dfrac{3}{8}$ от общего числа, то есть 3 части из 8, значит надо одну часть умножить на 3

60\cdot3 = 180

Эти же вычисления можно провести в одно действие, умножив на дробь, фактически умножая на $\dfrac{3}{8}$ вы умножаете на 3 и делите на 8.

480 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{480 \cdot 3}{8} = 60 \cdot 3 = 180\text{ учебников}

2) Чтобы найти количество учебников по гуманитарным предметам нужно вычесть учебники по математике из общего количества:

480 - 180 = 300\text{ учебников}

Способ 2 (через доли):

1) Всё количество книг принимаем за $1$ (единое целое). Доля гуманитарных предметов равна:

1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}

2) Найдём $\dfrac{5}{8}$ от общего числа $480$ :

480 \cdot \dfrac{5}{8} = 60 \cdot 5 = 300\text{ учебников}

Ответ: $300$ .

Проценты в базовом ЕГЭ по математике

Одна из самых нужных вещей в математике это проценты, в базе они используются не только в 15 задании, давайте разберем что это:

Процент ( $1\%$ ) — это просто специальное название для одной сотой части величины:

1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01 \implies p\% = \dfrac{p}{100} = 0{,}01 \cdot p

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно число процентов разделить на $100$ (например, $25\% = 0{,}25$ ; $5\% = 0{,}05$ ; $140\% = 1{,}4$ ). Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, её нужно умножить на $100\%$ .

В открытом банке ФИПИ по базовому ЕГЭ по математике существует ровно три фундаментальных типа задач на проценты:

Вид задачи на проценты

Расчётная формула

Смысл и пример вопроса

1. Нахождение процента от числа
(дано целое $A$ и процент $p\%$ )

B = A \cdot \dfrac{p}{100}

Переводим $p\%$ в дробь и умножаем на число $A$ .
«Товар стоил $800$ руб. На распродаже скидка составила $15\%$ . Сколько рублей составляет скидка?»

2. Нахождение целого числа по проценту
(известна часть $B$ , равная $p\%$ )

A = \dfrac{B}{\frac{p}{100}} = \dfrac{B \cdot 100}{p}

Делим известную часть $B$ на процент, выраженный дробью.
«В классе $6$ отличников, что составляет $20\%$ всех учеников. Сколько всего учеников в классе?»

3. Нахождение процентного соотношения чисел
(сколько процентов число $A$ составляет от $B$ )

P = \dfrac{A}{B} \cdot 100\%

Делим число $A$ на базовое число $B$ (то, от которого ищется процент!) и умножаем на $100\%$ .
«Из $50$ бросков баскетболист попал $35$ раз. Какой процент попаданий?»

Первый и второй вид 15 задания на проценты направлены на нахождение сначала одного процента, а потом на нахождение нужного количества процентов.

Для всех видов заданий всегда можно пользоваться правилом пропорции, давайте подробно его разберем

Метод пропорции

Если формулу или вид задачи трудно вспомнить, запишите условие пропорцией крест-накрест:

Отсюда неизвестный член находится по правилу креста: произведение известной диагонали делим на оставшееся число.

Лайфхаки для задания 15 базового ЕГЭ!

1. Изменение величины в один шаг (множитель):

Если число увеличилось на $p\%$ , умножьте его сразу на $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ . Например, подорожание на $18\%$ — умножаем на $1{,}18$ .

Если число уменьшилось на $p\%$ , умножьте его сразу на $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ . Например, скидка $25\%$ — умножаем на $0{,}75$ .

2. Что брать за $100\%$ ? За $100\%$ всегда принимается та величина, с которой сравнивают (после предлогов «от», «по сравнению с», «чем»). Если цена снизилась по сравнению с первоначальной, то $100\%$ — это первоначальная цена.

3. :

Рассмотрим все три прототипа 15 заданий из базы ЕГЭ по математике на проценты:

Пример 1: Нахождение процента от числа (скидка и новая цена)

Задание: Футболка стоила $1200$ рублей. Во время сезонной распродажи её цена снизилась на $15\%$ . Сколько рублей стала стоить футболка во время распродажи?

Подробное решение:

1) Способ 1 (через размер скидки):
• Найдём величину скидки в рублях ( $15\%$ от $1200$ руб.):

1200 : 100 \cdot 15 = 1200 \cdot \dfrac{15}{100} = 12 \cdot 15 = 180\text{ рублей}

• Вычтем скидку из первоначальной цены:

1200 - 180 = 1020\text{ рублей}

2) Способ 2 (в одно действие через процент остатка):
Изначальная стоимость составляла $100\%$ . Новая цена составляет:

100\% - 15\% = 85\% = 0{,}85

Умножим исходную цену на коэффициент $0{,}85$ :

1200 \cdot 0{,}85 = 1020\text{ рублей}

Ответ: $1020$ .

Пример 2: Нахождение целого числа по его проценту

Задание: В городе $42\,000$ жителей составляют дети и подростки. Это составляет $28\%$ всего населения города. Сколько всего жителей в этом городе?

Подробное решение:

1) Нам известна часть ( $42\,000$ человек) и её процентная доля ( $28\%$ ). Требуется найти целое ( $100\%$ ).

2) Переведём процент в десятичную дробь: $28\% = 0{,}28$ .

3) Разделим часть на дробь:

A = \dfrac{42\,000}{0{,}28} = \dfrac{4\,200\,000}{28}

4) Сократим дробь на $14$ :

\dfrac{4\,200\,000}{28} = \dfrac{300\,000}{2} = 150\,000\text{ жителей}

(Проверка через пропорцию: $\dfrac{42\,000 \cdot 100}{28} = 150\,000$ ).

Ответ: $150000$ .

Пример 3: Процентное отношение двух чисел

Задание: В избирательном округе зарегистрировано $25\,000$ избирателей. В выборах приняли участие $16\,500$ человек. Найдите явку избирателей на выборах (в процентах).

Подробное решение:

1) Требуется найти, сколько процентов число явившихся избирателей ( $A = 16\,500$ ) составляет от общего числа избирателей ( $B = 25\,000$ ).

2) Составим отношение и умножим на $100\%$ :

P = \dfrac{16\,500}{25\,000} \cdot 100\%

3) Упростим вычисления: сократим на $100$ и на $10$ :

\dfrac{165}{250} \cdot 100\% = \dfrac{165 \cdot 10}{25} = \dfrac{1650}{25} = 66\%

Ответ: $66$ .

Пошаговый алгоритм решения Задания 15

При выполнении Задания 15 на экзамене придерживайтесь алгоритма:

Порядок действий:

Определите тип математической модели: задача на доли/части (обыкновенные дроби) или на проценты. Определите, какая величина принимается за целое ( $1$ или $100\%$ ).

Классифицируйте вид задачи:
• найти часть/процент от известного числа $\implies$ умножение;
• найти исходное целое по известной части $\implies$ деление;
• найти долю/процент одного числа от другого $\implies$ деление чисел и перевод в проценты.

Выполните расчёт и запишите ответ в бланк № 1: запишите результат в виде целого числа или конечной десятичной дроби (знак процента « $\%$ » в бланк не пишется).

Тренажёры по Заданию 15 базового ЕГЭ на Экзамео

Ниже собраны все прототипы 15 задания базового ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с пояснениями и подробными решениями двумя способами. Для каждого задания доступна автоматическая проверка.

Задача 1

Задачи на поиск новой цены товара

Темы1

Задачи на проценты, в которых нужно рассчитать новую цену товара после скидкиВариант 1

Настольная лампа стоила 4000 рублей. Во время распродажи скидка на настольную лампу составила 15 %. Сколько рублей составляет новая цена товара?

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Нахождение процента от числа

Темы1

Простейшие задачи на процентыВариант 1

В агрокомплексе собрали 500 000 килограммов овощей, причём 18 % из них — томаты. Сколько килограммов томатов собрали в агрокомплексе?

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Основные виды 15 задания на базовом ЕГЭ по математике

Задачи на доли и части

Проценты в базовом ЕГЭ по математике

Метод пропорции

Пошаговый алгоритм решения Задания 15

Тренажёры по Заданию 15 базового ЕГЭ на Экзамео

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании