Справочные материалы ОГЭ по математике

Справочные материалы ОГЭ по математике — это официальный раздаточный материал, разработанный ФИПИ, который выдаётся каждому девятикласснику вместе с бланками и контрольными измерительными материалами (КИМ) непосредственно на экзамене. В справочнике собраны базовые формулы и таблицы школьного курса алгебры и планиметрии 7–9 классов.

Умение быстро ориентироваться в справочных материалах позволяет сэкономить время, перепроверить вычисления и гарантированно не ошибиться в ключевых формулах. Ниже приведены все формулы, таблицы и свойства из официального демоверсионного комплекта ОГЭ, разбитые по разделам «Алгебра» и «Геометрия».

Раздел I. Алгебра

Квадратные уравнения и трёхчлен

Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ :

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad \text{где } D = b^2 - 4ac

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$ :

x_0 = -\dfrac{b}{2a}

Числовые прогрессии

Арифметическая прогрессия ( $a_n$ ) ➕

Первый член — $a_1$ , разность — $d$ .

• Формула $n$ -го члена:

a_n = a_1 + d(n - 1)

• Сумма первых $n$ членов:

S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}

Геометрическая прогрессия ( $b_n$ ) ✖️

Первый член — $b_1$ , знаменатель — $q$ .

• Формула $n$ -го члена:

b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}

• Сумма первых $n$ членов:

S_n = \dfrac{(q^n - 1)b_1}{q - 1} \quad (q \neq 1)

Формулы сокращённого умножения

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Свойства корней и степеней

Свойства арифметического квадратного корня

Свойства степени ( $a > 0, b > 0$ )

• Корень из произведения:

\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)

• Корень из дроби:

\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)

• Отрицательный показатель: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

• Произведение степеней: $a^n \cdot a^m = a^{n + m}$

• Частное степеней: $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

• Степень степени: $(a^n)^m = a^{nm}$

• Степень произведения: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

• Степень дроби: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Таблица квадратов двузначных чисел (от 10 до 99)

Десятки

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

Раздел II. Геометрия: теоремы и окружности

• Сумма углов выпуклого $n$ -угольника: равна $180^\circ(n - 2)$ .

Средняя линия треугольника и трапеции

Средняя линия треугольника 🔺

$MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ , параллельна стороне $AC$ ( $MN \parallel AC$ ).

MN = \dfrac{AC}{2}

Средняя линия трапеции 🔷

$MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ( $BC \parallel AD$ ).

MN \parallel AD, \quad MN = \dfrac{BC + AD}{2}

Окружности и правильный треугольник со стороной $a$

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ :

Для круга радиуса $r$ :

• Длина окружности: $C = 2\pi r$

• Площадь круга: $S = \pi r^2$

Теорема синусов и теорема косинусов

Для произвольного треугольника $ABC$ со сторонами $AB = c$ , $AC = b$ , $BC = a$ :

• Теорема синусов:

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

(где $R$ — радиус описанной окружности)

• Теорема косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Площади фигур, прямоугольный треугольник и тригонометрия

Формулы площадей фигур

Фигура

Формулы площади

Обозначения величин

Параллелограмм

S = a h_a, \space S = ab\sin\gamma

$a, b$ — смежные стороны, $h_a$ — высота к стороне $a$ , $\gamma$ — угол между сторонами.

Треугольник

S = \dfrac{1}{2} a h_a, \space S = \dfrac{1}{2} ab\sin\gamma

$a, b$ — стороны треугольника, $h_a$ — высота, $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$ .

Трапеция

S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

$a, b$ — основания трапеции, $h$ — высота между основаниями.

Ромб

S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2

$d_1, d_2$ — диагонали ромба (перпендикулярны друг другу).

Прямоугольный треугольник

Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $\alpha$ — угол, противолежащий катету $a$ :

Тригонометрические функции острого угла 📐

• Синус: $\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

• Косинус: $\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

• Тангенс: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему)

• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Некоторые значения тригонометрических функций

$\alpha$ (градусы)

$0^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

$180^\circ$

$270^\circ$

$360^\circ$

$\sin\alpha$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$0$

$-1$

$0$

$\cos\alpha$

$1$