Задание 11 ОГЭ по математике: графики функций, коэффициенты k, b, a, c и разбор всех прототипов ФИПИ

Задание 11 ОГЭ по математике входит в базовый блок первой части (модуль «Алгебра») и приносит 1 первичный балл. Оно проверяет умение «читать» графики элементарных функций и устанавливать взаимно однозначное соответствие между графическими изображениями и аналитическими формулами либо знаками коэффициентов. В экзаменационных бланках ФИПИ это задание традиционно формулируется в виде сопоставления: графики под буквами А, Б, В и формулы (или наборы знаков) под цифрами 1, 2, 3.

В 11 линии встречаются всего три базовых класса функций: прямая (линейная функция), парабола (квадратичная функция) и гипербола (обратная пропорциональность). Для безошибочного выполнения не требуется строить графики по точкам — достаточно понимать геометрический смысл ключевых коэффициентов ( $k$ и $b$ для прямой; $a$ , $c$ и вершины для параболы; $k$ для гиперболы).

Отработать все существующие прототипы одиннадцатого номера помогут интерактивные тренажёры Задания 11 ОГЭ по математике с мгновенной проверкой и подробными комментариями.

Три базовых типа функций в Задании 11 ОГЭ

Все задания открытого банка ФИПИ делятся на три чёткие функциональные группы:

1. Линейная функция (прямая) 📏

$$y = kx + b$$
Графиком является прямая линия. Поведение прямой определяют угловой коэффициент $k$ (наклон) и свободный член $b$ (точка пересечения с осью $Oy$ ).

2. Квадратичная функция (парабола) 🎯

$$y = ax^2 + bx + c$$
Графиком является парабола. Старший коэффициент $a$ задаёт направление ветвей, свободный член $c$ — пересечение с осью $Oy$ , а абсцисса вершины $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$ — смещение влево/вправо.

3. Обратная пропорциональность (гипербола) 🌀

$$y = \dfrac{k}{x}$$
Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей. Коэффициент $k$ определяет четверти (I и III при $k > 0$ ; II и IV при $k < 0$ ), а также степень прижатости к осям координат.

4. Смешанный тип (разные семейства) 🧩

Даны три совершенно разных графика: прямая ( $y = kx + b$ ), парабола ( $y = ax^2 + \dots$ ) и гипербола ( $y = \frac{k}{x}$ ) либо корень ( $y = \sqrt{x}$ ). Это самый простой тип прототипа.

Геометрический смысл коэффициентов: полный справочник

Чтобы моментально сопоставлять знаки и формулы, используйте следующую шпаргалку по коэффициентам:

Функция

Коэффициенты

Геометрический смысл на чертеже

Линейная
$y = kx + b$

• $k$ (угловой коэффициент)

• $b$ (свободный член)

• $k > 0$ : прямая возрастает (идёт снизу вверх слева направо, острый угол с $Ox$ ).

• $k < 0$ : прямая убывает (идёт сверху вниз, тупой угол с $Ox$ ).

• $b > 0$ : пересекает ось $Oy$ выше нуля; $b < 0$ — ниже нуля.

Парабола
$y = ax^2 + bx + c$

• $a$ (старший коэффициент)

• $c$ (пересечение с $Oy$ )

• $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$

• $a > 0$ : ветви направлены вверх ∪; $a < 0$ — ветви вниз ∩.

• $c > 0$ : парабола пересекает $Oy$ выше нуля; $c < 0$ — ниже нуля.

• Если $a$ и $b$ одного знака $\implies x_{\text{в}} < 0$ (вершина слева от $Oy$ ). Если разных $\implies x_{\text{в}} > 0$ (справа).

Гипербола
$y = \dfrac{k}{x}$

• $k$ (коэффициент пропорциональности)

• $k > 0$ : ветви расположены в I и III четвертях.

• $k < 0$ : ветви расположены во II и IV четвертях.

• Чем больше $|k|$ , тем дальше ветви от начала координат $(0;0)$ .

Место под иллюстрацию: три блока с графиками — знаки $k$ и $b$ для прямой, ветви и точка $c$ для параболы, четверти $k > 0$ и $k

Секретные лайфхаки Задания 11 ОГЭ! 💡

1. Метод «уникального графика» (правило белой вороны): Почти во всех комплектах из трёх графиков два имеют ветви в одну сторону, а один — в противоположную (например, две параболы ветвями вверх, а одна — ветвями вниз). Найдите формулу с уникальным знаком ( $a < 0$ ) — это сразу даст одну готовую пару!

2. Точка $x = 0$ — мгновенная проверка: Подставьте $x = 0$ в формулу. То, что получится, равно $y(0)$ — высоте точки пересечения графика с вертикальной осью $Oy$ . Для прямой это число $b$ , для параболы — число $c$ .

3. Проверочная контрольная точка: Если сомневаетесь между двумя похожими формулами, выберите на графике удобную точку в узле сетки (например, точку $(1; 2)$ или $(2; 1)$ ) и подставьте её координаты $x$ и $y$ в формулу. Верное равенство подтвердит выбор.

Пошаговый алгоритм решения Задания 11

При выполнении Задания 11 на экзамене придерживайтесь простого порядка действий:

Порядок действий:

Определите семейство функций: поймите, с чем вы работаете — со всеми прямыми, со всеми параболами, гиперболами или с фигурами разных видов.

Определите глобальные знаки ( $k$ или $a$ ): по возрастанию/убыванию прямой, направлению ветвей параболы или четвертям гиперболы отделите знаки $+$ от знаков $-$ .

Найдите точку пересечения с осью $Oy$ или вершину: используйте знаки $b$ или $c$ , либо формулу вершины $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$ для различения схожих графиков.

Запишите трёхзначный номер в бланк № 1: запишите цифры строго в порядке соответствия буквам А, Б, В без пробелов, запятых и дополнительных символов (например, $132$ ).

Разбор типовых прототипов Задания 11 из банка ФИПИ

Рассмотрите решения характерных вариантов 11 линии открытого банка ФИПИ на все три семейства функций.

Пример 1: Квадратичная функция (параболы и знаки a и c)

Задание: Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$ .

Место под иллюстрацию: три графика парабол:

А) ветви вверх ( $a > 0$ ), пересечение с $Oy$ ниже нуля ( $c < 0$ );

Б) ветви вверх ( $a > 0$ ), пересечение с $Oy$ выше нуля ( $c > 0$ );

В) ветви вниз ( $a < 0$ ), пересечение с $Oy$ выше нуля ( $c > 0$ ).

Коэффициенты:

1) $a > 0, \; c > 0$

2) $a < 0, \; c > 0$

3) $a > 0, \; c < 0$

Подробное решение:

1) График А: Ветви параболы направлены вверх $\implies a > 0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ лежит ниже оси $Ox$ $\implies c < 0$ . Это соответствует пункту 3.

2) График Б: Ветви параболы направлены вверх $\implies a > 0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ лежит выше оси $Ox$ $\implies c > 0$ . Это соответствует пункту 1.

3) График В: Ветви параболы направлены вниз $\implies a < 0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ лежит выше оси $Ox$ $\implies c > 0$ . Это соответствует пункту 2.

Заполняем таблицу соответствия:

| А | Б | В |
| :-: | :-: | :-: |
| 3 | 1 | 2 |

Ответ: 312.

Пример 2: Линейная функция (прямые и коэффициенты k и b)

Задание: На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$ . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$ .

Место под иллюстрацию: три прямые:

А) убывает ( $k < 0$ ), пересекает $Oy$ выше нуля ( $b > 0$ );

Б) возрастает ( $k > 0$ ), пересекает $Oy$ выше нуля ( $b > 0$ );

В) возрастает ( $k > 0$ ), пересекает $Oy$ ниже нуля ( $b < 0$ ).

Коэффициенты:

1) $k > 0, \; b > 0$

2) $k < 0, \; b > 0$

3) $k > 0, \; b < 0$

Подробное решение:

1) График А: Прямая идёт сверху вниз (убывает) $\implies k < 0$ . Она пересекает ось $Oy$ выше начала координат $\implies b > 0$ . Значит, А соответствует 2.

2) График Б: Прямая идёт снизу вверх (возрастает) $\implies k > 0$ . Она пересекает ось $Oy$ выше нуля $\implies b > 0$ . Значит, Б соответствует 1.

3) График В: Прямая возрастает $\implies k > 0$ . Она пересекает ось $Oy$ ниже нуля $\implies b < 0$ . Значит, В соответствует 3.

Заполняем таблицу:

| А | Б | В |
| :-: | :-: | :-: |
| 2 | 1 | 3 |

Ответ: 213.

Пример 3: Обратная пропорциональность (гиперболы)

Задание: Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Место под иллюстрацию: три графика гипербол:

А) ветви во II и IV четвертях (с отрицательным знаком, например $y = -\frac{2}{x}$ );

Б) ветви в I и III четвертях, сильно отдалены от центра ( $y = \frac{2}{x}$ );

В) ветви в I и III четвертях, прижаты к осям ( $y = \frac{1}{2x}$ ).

Формулы:

1) $y = \dfrac{2}{x}$

2) $y = -\dfrac{2}{x}$

3) $y = \dfrac{1}{2x}$

Подробное решение:

1) График А: Единственный график, ветви которого расположены во II и IV координатных четвертях. Следовательно, коэффициент перед дробью отрицательный. Из формул знак «минус» имеет только формула 2 ( $y = -\dfrac{2}{x}$ ). Значит, А соответствует 2.

2) Сравним графики Б и В: оба лежат в I и III четвертях ( $k > 0$ ), формулы 1 и 3. Возьмём контрольную точку с абсциссой $x = 1$ :
• По формуле 1 ( $y = \dfrac{2}{x}$ ): при $x = 1 \implies y = 2$ . Точка $(1; 2)$ принадлежит графику Б.
• По формуле 3 ( $y = \dfrac{1}{2x}$ ): при $x = 1 \implies y = 0{,}5$ . Точка $(1; 0{,}5)$ принадлежит графику В.

3) Получаем: А — 2, Б — 1, В — 3.

Ответ: 213.

Тренажёры по Заданию 11 ОГЭ на Экзамео

Довести до автоматизма считывание графиков функций и безошибочно забирать балл за Задание 11 ОГЭ по математике можно с помощью интерактивных онлайн-тренажёров на образовательной платформе «Экзамео». Наша база содержит сотни актуальных прототипов открытого банка ФИПИ на прямые, параболы, гиперболы и смешанные типы функций.

Интерактивная система проверяет ответы в реальном времени, визуально подсвечивает ключевые коэффициенты и вершины, а также даёт детальные пошаговые пояснения к каждому заданию. Занимайтесь на Экзамео в удобном темпе, учитесь безошибочно сопоставлять графики и формулы и уверенно набирайте максимальные баллы на ОГЭ по математике!

Практика

Задачи сейчас заполняются

Уже готовим задания по теме: добавляем варианты, проверку ответов и понятные разборы после попытки.

Подбираем заданияПроверяем ответыГотовим разборы