11 задание ОГЭ по математике - разбор графиков функций из открытого банка ФИПИ

Задание 11 ОГЭ по математике входит в базовый блок первой части (модуль «Алгебра») и приносит 1 первичный балл. Оно проверяет умение «читать» графики элементарных функций и устанавливать взаимно однозначное соответствие между графическими изображениями и аналитическими формулами либо знаками коэффициентов. В экзаменационных бланках ФИПИ это задание традиционно формулируется в виде сопоставления: графики под буквами А, Б, В и формулы (или наборы знаков) под цифрами 1, 2, 3.

В 11 линии встречаются всего три базовых класса функций: прямая (линейная функция), парабола (квадратичная функция) и гипербола (обратная пропорциональность). Для безошибочного выполнения не требуется строить графики по точкам — достаточно понимать геометрический смысл ключевых коэффициентов ( $k$ и $b$ для прямой; $a$ , $c$ и вершины для параболы; $k$ для гиперболы).

Отработать все существующие прототипы одиннадцатого номера помогут интерактивные тренажёры Задания 11 ОГЭ по математике с мгновенной проверкой и подробными комментариями.

Три базовых типа функций в Задании 11 ОГЭ

Все задания открытого банка ФИПИ делятся на четыре вида. Разберем теорию для каждого из них отдельно, вспомним на что влияют коэффициенты и как будет меняться график.

Линейная функция (прямая)

y = kx + b

Графиком является прямая линия.

Поведение прямой определяют угловой коэффициент $k$ (наклон) и свободный член $b$ (точка пересечения с осью $Oy$ ).

Квадратичная функция (парабола)

y = ax^2 + bx + c

Графиком является парабола.

Старший коэффициент $a$ задаёт направление ветвей,

Свободный член $c$ — пересечение с осью $Oy$ ,

Коэффициент b влияет на положение абсциссы (координаты X) вершины $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$ — смещение влево/вправо.

Обратная пропорциональность (гипербола)

y = \dfrac{k}{x}

Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей. Коэффициент $k$ определяет четверти (I и III при $k > 0$ ; II и IV при $k < 0$ ), а также степень прижатости к осям координат.

Смешанный тип (разные семейства)

Даны три совершенно разных графика, это могут быть прямая ( $y = kx + b$ ), парабола ( $y = ax^2 + \dots$ ) и гипербола ( $y = \frac{k}{x}$ ) либо корень ( $y = \sqrt{x}$ ).

Разные виды графиков в 11 задании ОГЭ по математике

Это самый простой прототип 11 задания - вам просто нужно не перепутать функцию.

Роль коэффициентов в графиках функций

Чтобы моментально сопоставлять знаки и формулы, используйте следующую шпаргалку по коэффициентам:

Функция

Коэффициенты

Геометрический смысл на чертеже

Линейная
$y = kx + b$

• $k$ (угловой коэффициент)

• $b$ (свободный член)

• $k > 0$ : прямая возрастает (идёт снизу вверх слева направо, острый угол с $Ox$ ).

• $k < 0$ : прямая убывает (идёт сверху вниз, тупой угол с $Ox$ ).

• $b > 0$ : пересекает ось $Oy$ выше нуля; $b < 0$ — ниже нуля.

Парабола
$y = ax^2 + bx + c$

• $a$ (старший коэффициент)

• $c$ (пересечение с $Oy$ )

• $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$

• $a > 0$ : ветви направлены вверх ∪; $a < 0$ — ветви вниз ∩.

• $c > 0$ : парабола пересекает $Oy$ выше нуля; $c < 0$ — ниже нуля.

• Если $a$ и $b$ одного знака $\implies x_{\text{в}} < 0$ (вершина слева от $Oy$ ). Если разных $\implies x_{\text{в}} > 0$ (справа).

Гипербола
$y = \dfrac{k}{x}$

• $k$ (коэффициент пропорциональности)

• $k > 0$ : ветви расположены в I и III четвертях.

• $k < 0$ : ветви расположены во II и IV четвертях.

• Чем больше $|k|$ , тем дальше ветви от начала координат $(0;0)$ .

Секретные лайфхаки Задания 11 ОГЭ! 💡

1. Метод «уникального графика» (правило белой вороны): Почти во всех комплектах из трёх графиков два имеют ветви в одну сторону, а один — в противоположную (например, две параболы ветвями вверх, а одна — ветвями вниз). Найдите формулу с уникальным знаком ( $a < 0$ ) — это сразу даст одну готовую пару!

2. Точка $x = 0$ — мгновенная проверка: Подставьте $x = 0$ в формулу. То, что получится, равно $y(0)$ — высоте точки пересечения графика с вертикальной осью $Oy$ . Для прямой это число $b$ , для параболы — число $c$ .

3. Проверочная контрольная точка: Если сомневаетесь между двумя похожими формулами, выберите на графике удобную точку в узле сетки (например, точку $(1; 2)$ или $(2; 1)$ ) и подставьте её координаты $x$ и $y$ в формулу. Верное равенство подтвердит выбор.

Пошаговый алгоритм решения Задания 11

При выполнении Задания 11 на экзамене придерживайтесь простого порядка действий:

Определите семейство функций:
поймите, с чем вы работаете — со всеми прямыми, со всеми параболами, гиперболами или с фигурами разных видов.

Определите глобальные знаки ( $k$ или $a$ ):
по возрастанию/убыванию прямой, направлению ветвей параболы или четвертям гиперболы отделите знаки $+$ от знаков $-$ .

Найдите точку пересечения с осью $Oy$ или вершину:
используйте знаки $b$ или $c$ , либо формулу вершины $x_{\text{в}} = -\dfrac{b}{2a}$ для различения схожих графиков.

Запишите трёхзначный номер в бланк № 1:
запишите цифры строго в порядке соответствия буквам А, Б, В без пробелов, запятых и дополнительных символов (например, $132$ ).

Разбор типовых прототипов Задания 11 из банка ФИПИ

Рассмотрите решения характерных вариантов 11 линии открытого банка ФИПИ на все три семейства функций.

Пример 1: Квадратичная функция (параболы и знаки a и c)

Задание: Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $a$ и $c$ .

Графики парабол и коэффициенты в 11 задании

Подробное решение:

1) График 1: Ветви параболы направлены вверх $\implies a<0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ лежит ниже оси $Ox$ $\implies c < 0$ . Это соответствует пункту A.

2) График 2: Ветви параболы направлены вверх $\implies a > 0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ лежит ниже оси $Ox$ $\implies c < 0$ . Это соответствует пункту В.

3) График 3: Ветви параболы направлены вверх $\implies a > 0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ лежит выше оси $Ox$ $\implies c > 0$ . Это соответствует пункту Б.

Ответ: 312.

Пример 2: Линейная функция (прямые и коэффициенты k и b)

Задание: На рисунках изображены графики функций вида $y = kx + b$ . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов $k$ и $b$ .

Задание на графики прямых и коэффициенты

Коэффициенты:

1) $k > 0, \; b < 0$

2) $k<0,\;b<0$

3) $k > 0, \; b > 0$

Подробное решение:

1) График А: Прямая идёт сверху вниз (убывает) $\implies k < 0$ . Она пересекает ось $Oy$ ниже начала координат $\implies b < 0$ . Значит, А соответствует 2.

2) График Б: Прямая идёт снизу вверх (возрастает) $\implies k > 0$ . Она пересекает ось $Oy$ ниже нуля $\implies b<0$ . Значит, Б соответствует 1.

3) График В: Прямая возрастает $\implies k > 0$ . Она пересекает ось $Oy$ выше нуля $\implies b > 0$ . Значит, В соответствует 3.

Ответ: 213.

Пример 3: Обратная пропорциональность (гиперболы)

Такие задачи не входят в открытый банк ФИПИ значит их не будет на экзамене в 11 задании, но они очень часто встречаются в сборниках и на пробниках в школах, поэтому давайте разберем тоже

Задание: Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Гиперболы в 11 задании ОГЭ по математике

Подробное решение:

1) График А: ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Следовательно, коэффициент перед дробью отрицательный. Из формул знак «минус» имеет только формула 2 и 3 ( $y = -\dfrac{2}{x}$ ). Сравним графики А и В, в графике В парабола располагается ближе к осям - значит коэффициент k в графике В меньше по модулю. Следовательно график А соответствует формуле под номером 3, а график В - формуле 2. Поскольку в формуле 2 $k=-\frac12$ , а в формуле 3 $k=4$

2) График Б - гипербола располагается во II и IV четверти, значит коэффициент k > 0, следовательно это функция под цифрой 1

Ответ: 312.

Тренажёры по 11 заданию на ОГЭ по математике

Ниже собраны все варианты 11 задания из открытого банка ФИПИ по математике и сборников по подготовке к ОГЭ на графики функций в первой части. Для каждого задания вы найдете подробное пояснение в решении и автоматическую проверку ответов.

Задача 1

Графики и формулы базовых функций

Темы3

Вариант 1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

ФОРМУЛЫ

y = x + 2

y = \frac{2}{x}

y = \frac{3}{2}\sqrt{x}

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Задача 2

Графики функций на клетках

Темы2

Задание на сопоставление формул и графиков базовых математических функций из открытого банка ФИПИ ОГЭ по математике, изображённых на клетчатой сетке с единичными отрезками и засечками.Вариант 1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

ФОРМУЛЫ

y = x + 2

y = \frac{2}{x}

y = \frac{3}{2}\sqrt{x}

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ваш ответ

Три базовых типа функций в Задании 11 ОГЭ

Роль коэффициентов в графиках функций

Пошаговый алгоритм решения Задания 11

Разбор типовых прототипов Задания 11 из банка ФИПИ

Тренажёры по 11 заданию на ОГЭ по математике

Темы, которые встречаются в этом задании