14 задание ОГЭ по математике: прогрессии, теория и все виды задач

14 задание ОГЭ по математике представляет собой прикладную сюжетную задачу на числовые последовательности: арифметическую и геометрическую прогрессии, входит в первую часть в модуль «Алгебра» и приносит 1 первичный балл.

Отработать навыки решения задач четырнадцатой задачи помогут интерактивные тренажёры по 14 заданию ОГЭ по математике с проверкой ответов и подробными решениями.

Прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член однозначно определяется из предыдущего по фиксированному закону.

Как решать 14 задание на ОГЭ по математике

Прежде всего нужно понимать несколько основных моментов про 14 задание:

Главное преимущество 14 задания — большинство задач можно решить как с помощью классических формул $n$ -го члена и суммы $S_n$ , которые будут в справочном материале на экзамене. По сути, все, что нужно сделать - научиться использовать эти формулы и понять за что отвечают члены формулы. Более того, задачи можно решать и при помощи простых последовательных расчётов по шагам.

Всего существует два вида прогрессий, которые могут встречаться на экзамене в 9 классе - на странице разбираем оба вида и все формулы для них. Так же в решении к каждому заданию вы найдете подробное объяснение - это поможет лучше разобраться в теме.

В этом задании вам могут попасться прототипы заданий только из открытого банка ФИПИ, их всего 7 видов и все они собраны в тренажерах на этой странице с полноценными решениями. Чтобы подготовиться к 14 заданию - достаточно просто решить и запомнить способы решения конкретно этих заданий, одна из них будет на экзамене. Мы регулярно обновляем банк заданий и все тренажёры актуальны

Давайте разберем каждый вид прогрессии и формулы для него. Вам нужно научиться различать прогрессии, чтобы правильно использовать формулы.

Арифметическая прогрессия

Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же постоянного числа (разности прогрессии).

Маркеры в тексте: «на больше/меньше», «каждый день на одно и то же число метров больше».

Первый член арифметической прогрессии, то число, с которого она начинается называется $a_1$ , нижний индекс показывает номер члена прогрессии, тогда формула для любого члена прогрессии с номером n выглядит следующим образом:

Формула для n-го члена прогрессии:

a_{n}=a_1+d(n-1)

d - разность прогрессии(на сколько отличаются друг от друга члены прогрессии), n - номер члена прогрессии

Посчитать сумму первых n-членов арифметической прогрессии можно по формуле:

S_{n}=\dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n=\dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2}\cdot n

Примеры арифметических прогрессий

Пример возрастающей арифметической прогрессии

3, 5, 7, 9, 11, ...

Шаг прогрессии d=2, первый член $a_1=3_{}$

Пример убывающей арифметической прогрессии

10, 6, 2, -2, -6, ...

Шаг прогрессии d=-4, первый член $a_1=10$

Давайте так же рассмотрим задачи на арифметическую прогрессию в 14 задании:

Задачи про амфитеатр или зрительный зал

Задание: В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Подробное решение:

1) Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию:
• Первый член: $a_1 = 20$ .
• Разность прогрессии: $d = 3$ .
• Количество рядов: $n = 14$ .

2) Найдём количество мест в последнем (14-м) ряду:

a_{14} = a_1 + d \cdot (14 - 1) = 20 + 3 \cdot 13 = 20 + 39 = 59

3) Найдём общее число мест во всём амфитеатре по формуле суммы $S_{14}$ :

S_{14} = \dfrac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = \dfrac{20 + 59}{2} \cdot 14 = 79 \cdot 7 = 553

Ответ: $553$ .

Новые задачи на улитку

Задание: Улитка ползет от одного дерева к другому. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 10 метров. Сколько дней ползла улитка, если общее расстояние между деревьями равно 150 метров?

Подробное решение:

1) Расстояния, пройденные за каждый день, образуют арифметическую прогрессию.

2) По условию задачи:

• Сумма первого и последнего дней: $a_1 + a_n = 10\text{ м}$ .

• Общая сумма расстояний за все дни: $S_n = 150\text{ м}$ .

3) Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ :

150 = \dfrac{10}{2} \cdot n \implies 150 = 5 \cdot n

4) Выразим количество дней $n$ :

n = \dfrac{150}{5} = 30

Ответ: $30$ .

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия ( $\cdot q$ )

Каждый следующий член получается умножением на одно и то же постоянное число $q \neq 0$ (знаменатель прогрессии).

Маркеры в тексте: «в $k$ раз больше/меньше», «каждый час удваивается / увеличивается в 3 раза».

Формула для члена арифметической прогрессии с номером n:

b_{n}=b_1\cdot q^{n-1}

Где q - знаменатель геометрической прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $b_{n}$ - член прогрессии под номером n

Формула для суммы первых n-членов геометрической прогрессии

S_{n}=\dfrac{(q^n - 1) \cdot b_1}{q - 1}\quad(q\neq1)

Всего в открытом банке ФИПИ 2 вида задач на геометрическую прогрессию в ОГЭ по математике, разберем решение такой задачи по шагам.

Геометрическая прогрессия - деление бактерий

Задание: В ходе биологического эксперимента в пробирку поместили бактерию. Каждые 30 минут бактерия делится на две. Сколько бактерий будет в пробирке через 2 часа?

Подробное решение:

1) Вычислим, сколько циклов деления произойдет за 2 часа ( $120$ минут):

N_{\text{делений}} = \dfrac{120}{30} = 4\text{ цикла}

2) Проследим рост количества бактерий по этапам (геометрическая прогрессия с $q = 2$ ):
• В начале ( $0\text{ мин}$ ): $1$ бактерия.
• Через $30\text{ мин}$ (1 цикл): $1 \cdot 2 = 2$ бактерии.
• Через $60\text{ мин}$ (2 цикл): $2 \cdot 2 = 4$ бактерии.
• Через $90\text{ мин}$ (3 цикл): $4 \cdot 2 = 8$ бактерий.
• Через $120\text{ мин}$ (4 цикл): $8 \cdot 2 = 16$ бактерий.

3) По формуле $n$ -го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^4 = 1 \cdot 2^4 = 16$ .

Ответ: $16$ .

Справочник формул прогрессий для ОГЭ

Все формулы, необходимые для решения 14 задания присутствуют в справочных материалах ОГЭ

Формула

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Формула $n$ -го члена

a_n = a_1 + d(n - 1)

b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов ( $S_n$ )

S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \dfrac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n

S_n = \dfrac{(q^n - 1) \cdot b_1}{q - 1} \quad (q \neq 1)

Лайфхаки для Задания 14 ОГЭ! 💡

1. Если шагов мало — считайте «в лоб»: Если требуется найти значение на 4–6 день или ряд, проще расписать значения цепочкой ( $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ ) и сложить их вручную, чем вспоминать формулы суммы.

2. Различайте $a_n$ и $S_n$ : Внимательно читайте вопрос задачи! Если спрашивают «Сколько мест в 7-м ряду?» — ищем $a_7$ . Если спрашивают «Сколько мест в первых 7 рядах?» — ищем сумму $S_7$ .

3. Задачи на деление бактерий: Обратите внимание на стартовое время. Если бактерии делятся каждые $20$ минут, то за $1$ час произойдёт $60 : 20 = 3$ деления ( $n = 4$ , включая начальный момент времени $t=0$ ).

Для безошибочного решения заданий на прогрессии существует единый алгоритм, давайте рассмотрим его

Алгоритм решения 14 задания ОГЭ по математике:

Определите тип прогрессии: если прибавление постоянного числа — арифметическая ( $d$ ), если умножение — геометрическая ( $q$ ).

Выпишите начальные параметры: укажите первый член ( $a_1$ или $b_1$ ), шаг ( $d$ или $q$ ) и номер искомого элемента/периода ( $n$ ).

Вычислите ответ по формуле или цепочкой: найдите искомый элемент ( $a_n$ ) или сумму ( $S_n$ ) и запишите целое число или конечную десятичную дробь в бланк.

Все виды 14 заданий из ОГЭ по математике

Ниже собраны актуальные прототипы задач ФИПИ на арифметическую и геометрическую прогрессии (амфитеатры, колодцы, бактерии, улитки, схемы приёма лекарств). Для каждого задания доступны подробные решения и автоматическая проверка ответов.

Задача 1

Затухающие отскоки мячика

Темы1

Один из прототипов задач на геометрическую прогрессию из банка ФИПИ для ОГЭ по математикеВариант 1

Упругий резиновый шарик с силой бросили на асфальт. Отскочив, шарик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке шарик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Ваш ответ

Наберите ответ

Задача 2

Рост биомассы микроорганизмов

Темы1

Ещё один прототип задач ОГЭ на геометрическую прогрессиюВариант 1

В ходе биологического эксперимента в питательный раствор поместили дрожжевую культуру массой 4 мг. За каждые 30 минут масса культуры увеличивается в 2 раза. Найдите массу через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Ваш ответ

Наберите ответ

Полный тренажер

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

В Экзамео откроются дополнительные задания по теме, проверка прогресса и решения после попытки.

Все тренажёрыПрогресс по темеПерсональный план

Как решать 14 задание на ОГЭ по математике

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Справочник формул прогрессий для ОГЭ

Все виды 14 заданий из ОГЭ по математике

Зарегистрируйтесь, чтобы решать дальше

Темы, которые встречаются в этом задании